Komplexe Differenzierbarkeit
Eine komplexe Funktion f ist im Punktz komplex differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert
f0(z) = lim
|∆z|→0
f(z+ ∆z)−f(z)
∆z existiert und unabh¨angig von der Folge ∆z ist.
Ist f in jedem Punkt einer offenen MengeD ⊆C komplex differenzierbar, so heißt f komplex differenzierbar oder analytisch in D.
Komplexe Differenzierbarkeit 1-1
Beispiel:
(i) f(z) =z2: f0(z) = lim
|∆z|→0
(z+ ∆z)2−z2
∆z = lim
|∆z|→0
2z∆z + (∆z)2
∆z = 2z
=⇒ f komplex differenzierbar∀ z ∈C (ii) f(z) = 1/z:
f0(z) = lim
|∆z|→0
1/(z + ∆z)−1/z
∆z = lim
|∆z|→0− 1
(z+ ∆z)z =−1 z2
=⇒ f komplex differenzierbar∀ z ∈C\{0}
Komplexe Differenzierbarkeit 2-1
Beispiel:
f(z) = Rez (i) ∆z =t ∈R:
∆z→0lim
Re(x+t+ iy)−Re(x+ iy)
t = lim
t→0
x+t−x
t = 1
(ii) ∆z = it,t∈R:
∆z→0lim
Re(x+ i(t+y))−Re(x+ iy)
it = lim
it→0
x−x it = 0
=⇒ f an keinem Punktz =x+ iy komplex differenzierbar
Komplexe Differenzierbarkeit 3-1