Zur Fortbildung Aktuelle Medizin
DEFINITION
Varianzanalyse
Im Gegensatz zu ihrem Namen ist die Varianzanalyse ein statistisches Verfahren zur Prüfung von Mittel- werten auf signifikante Unterschie- de. Sie stellt eine Verallgemeinerung des t-Testes, bei dem ja die Mittel- werte zweier Stichproben verglichen werden, auf mehr als zwei Stichpro- ben dar und prüft mehrere Mittel- werte auf Gleichheit. Liegen in der Praxis mehrere Stichproben vor, die miteinander verglichen werden sol- len, zum Beispiel mehrere Behand- lungsarten oder mehrere Medika- mente, ist es nicht erlaubt, aus dem Gesamtversuch wiederholt Einzel- paare von Stichproben auszuwählen und nacheinander mit dem t-Test zu vergleichen. Bei diesem Vorgehen wäre die bei jedem statistischen Test von vornherein festzulegende Irr- tumswahrscheinlichkeit nicht be- kannt. Nur in dem Sonderfall, daß nur zwei Stichproben verglichen werden, führt die Varianzanalyse zu demselben Ergebnis wie der t-Test.
Prüfung der Voraussetzungen Voraussetzung für einwandfreie Er- gebnisse bei der Varianzanalyse sind Normalverteilung der Variablen in der Grundgesamtheit, Gleichheit der Varianzen bei den verschiede- nen Grundgesamtheiten, denen die einzelnen Stichproben entnommen wurden und Unabhängigkeit der Be- obachtungen. Da die Varianzanalyse aber ein robustes Verfahren ist, kann man auch noch bei kleineren Abweichungen von den Vorausset- zungen einigermaßen zuverlässige Ergebnisse erwarten. Darüberhin- aus stellt die Statistik auch Verfah- ren zur Verfügung, mit denen zu- nächst geprüft werden kann, ob die erforderlichen Voraussetzungen für eine Varianzanalyse gegeben sind:
mit dem Kolmogorow-Smirnow-Test kann geprüft werden, ob Abwei- chungen von der Normalität vorlie- gen. Mit dem Bartlett-Test kann die
Konstanz der Varianzen getestet werden. Gegebenenfalls kann man durch eine Transformation der Va- riablen, zum Beispiel durch Loga- rithmierung, die Voraussetzung der Normalverteilung schaffen und an- schließend eine Varianzanalyse durchführen.
Der Name Varianzanalyse erklärt das Verfahren: Mit ihr wird untersucht, welcher Anteil der Gesamtstreuung aller Einzelwerte um den Mittelwert, die statistisch durch die Varianz be- schrieben wird, auf zufällige Abwei- chungen entfällt und welcher Anteil auf Unterschiede zwischen den ein- zelnen Stichproben zurückgeführt werden muß: die Gesamtvarianz wird analysiert.
Dabei nutzt man die Tatsache aus, daß die Varianz additive Eigenschaf- ten hat; daß die Gesamtvarianz aller Stichproben sich additiv aus zwei Komponenten zusammensetzt, man sie also auch additiv in zwei Kompo- nenten zerlegen kann, die einmal die Varianz innerhalb der einzelnen Stichproben und zum anderen die Varianz zwischen den Stichproben beschreiben. Ist die Varianz zwi- schen den einzelnen Stichproben wesentlich größer als die innerhalb der Stichproben, wird man anneh- men, daß zwischen den Stichproben signifikante Unterschiede bestehen und nicht alle aus der gleichen Grundgesamtheit stammen, also nicht alle den gleichen Mittelwert haben.
Einfache und doppelte Varianz Bei der einfachen Varianzanalyse unterteilt man die Varianz in zwei Teile, von denen die eine die zufälli- gen Abweichungen beschreibt und die andere die signifikanten Unter- schiede zwischen den einzelnen Stichproben. Bei der doppelten Va- rianzanalyse unterteilt man die Va- Pubertätsentwicklung
Für die Pädiatrie ist die kongenitale Nebenn ieren rindenhyperplasie die bedeutendste Ursache, wobei die vi- rilisierenden Formen (C21-, C11-Hy- droxylierungsdefekt) durch ihre re- lative Häufigkeit und ihre Mani- festationsformen im Vordergrund stehen.
Hodentumoren fallen klinisch ver- hältnismäßig prompt auf (cave ver- sprengtes NNR-Gewebe bei AGS!).
Bei Mädchen mit vorzeitiger Ge- schlechtsentwicklung muß man im- mer nach ovariellen Neubildungen fahnden. Nebennierenrindentumo- ren haben häufig eine virilisierende Aktivität. Ektopische Produktion von gonadotropinähnlichen Substanzen bei Neoplasie ist eine Rarität.
Literaturhinweise
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Anschrift des Verfassers:
Professor Dr. med.
Herbert Stolecke
Kinderklinik der Universität Essen Abteilung für
pädiatrische Endokrinologie Hufelandstraße 55
4300 Essen
Ein statistisches Verfahren zur Prüfung von Mittelwerten auf signifikante Unterschiede
2834 Heft 47 vom 23. November 1978 DEUTSCHES ÄRZTEBLATT
X2r1 2
Tabelle: Schema und Bezeichnungen bei einer Varianzanalyse
Einzel- meßwerte
Stichprobe Nr.
2 3 k
X, X,2 X13
X21 X22 X23
X3, X32 X33
X3 n ,
Xkl Xk2 Xk3
Xk nk
Stichproben- umfang arithm.
Mittel der StichprobQ
Varianz der Stichprobe
n, n2 n3 n,
Xk
Gesamtvarianz: s 21
n 1 (x u )7)2 Varianz innerhalb: s2innerna,b = n 1 ,
— k (x,1 '92 Varianz zwischen: s 2z„,,sc,..„= i+
k 1 — 1 n; ' _,,2
F S2zwiscnen
Prüfgröße: —
$ Innerhalb
E E
x,,Gesamtmittel: z — ' n Mittel
der Stichproben
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Varianzanalyse
rianz in drei Teile: Zufallseinfluß und Einfluß der zwei zu untersuchenden Faktoren. Zum Beispiel könnte man mit der einfachen Varianzanalyse prüfen, ob verschiedene Diätarten — bei gleicher Kalorienzufuhr — ver- schiedene Gewichtsabnahmen ver- ursachen; mit der doppelten Va- rianzanalyse könnte man untersu- chen, ob verschiedene Diätarten und zusätzlich verschiedene Medi- kamente unterschiedliche Ergebnis- se zeitigen.
Berechnung der Prüfgrößen Zur Durchführung der Varianzanaly- se berechnet man zunächst die Mit- telwerte der einzelnen Stichproben und den Mittelwert aller Stichproben zusammen. Man kann die Gesamt- varianz der vereinigten Stichproben berechnen, indem man zunächst einmal die Abweichungen aller Ein- zelwerte vom Gesamtmittelwert qua- driert und aufsummiert; außerdem die Varianzen innerhalb der einzel- nen Stichproben, indem man die Ab- weichungen der Einzelwerte von den jeweiligen Stichprobenmittel- werten quadriert und addiert;
schließlich werden die Abweichun- gen der Stichprobenmittelwerte vom Gesamtmittelwert quadriert und ad- diert. Teilt man jetzt noch die Ge- samtzahl der Freiheitsgrade ent- sprechend auf, erhält man durch Di- vision der quadrierten Mittelwerte durch die Anzahl der Freiheitsgrade die Varianz. Mit diesen Ergebnissen kann man die Prüfgröße berechnen, die der Quotient der Varianzen zwi- schen den Gruppen und innerhalb der Gruppen ist. Man vergleicht die berechnete Prüfgröße mit einem dem gewählten Signifikanzniveau entsprechenden Tabellenwert und entscheidet, ob die Hypothese, daß alle Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen, also auch alle den gleichen Mittelwert haben, verworfen werden kann oder nicht (Darstellung).
Als Ergebnis gewinnt man eine Aus- sage darüber, ob die Nullhypothese nicht abgelehnt werden kann oder ob mindestens zwei der Mittelwerte voneinander verschieden sind. Mit
der Varianzanalyse kann also ge- prüft werden, ob überhaupt Unter- schiede zwischen den Stichproben bestehen; sie macht noch keine Aussage darüber, welche Stichpro- ben sich eventuell unterscheiden.
Aus diesem Grunde schließt sich im allgemeinen eine Untersuchung an, welche Gruppen differieren.
Liefert ein Experiment ordinalska- lierte Daten oder sind die für eine Varianzanalyse erforderlichen Vor- aussetzungen, Normalverteilung
und gleiche Varianzen, nicht gege- ben, kann man als parameterfreie Prüfverfahren zum Vergleich mehre- rer Stichproben den H-Test für un- abhängige und den Friedman-Test zum Vergleich von abhängigen Stichproben einsetzen. Sie entspre- chen dem parametrischen Testver- fahren Varianzanalyse. A. Habermehl
Literatur:
Clauß, G. und Ebner, H.: Grundlagen der Stati- stik, Verlag Harri Deutsch, Zürich und Frank- furt/Main
DEUTSCHES ÄRZTEBLATT Heft 47 vom 23. November 1978 2835
