P7.1 - Kanonische Zustandssumme aus der großkanonischen Zustandssumme

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 7 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Nikolaustag Pr¨ asenz¨ ubungen

P7.1 - Kanonische Zustandssumme aus der großkanonischen Zustandssumme

a) Zeigen Sie, dass sich die kanonische Zustandssumme Z N (T,V ) aus der großkanonischen Zu- standssumme Z _GroKa (T,µ,V ) mittels des Wegintegrals

Z _N (T,V ) = 1 2πi

I

C

Z _GroKa (T,µ,V )

z ^N+1 dz , mit der Fugazit¨ at z = e ^βµ schreiben l¨ asst, wobei C ein geschlossener Weg in der komplexen Ebene um z = 0 ist.

b) ¨ Uberpr¨ ufen Sie Ihr Ergebnis f¨ ur das ideale Gas f¨ ur das wir in der letzten ¨ Ubung das Ergebnis Z _GroKa (T,µ,V ) = exp[z V /λ ³ ] erhalten haben, wobei λ = h/ √

2πmkT die thermische de Broglie Wellenl¨ ange ist.

c) Werten Sie das Integral im allgemeinen Fall mittels der Sattelpunktsmethode aus, indem Sie die großkanonische Zustandssumme mittels des großkanonischen Potenzials schreiben als Z GroKa = exp[−βΦ] und ausn¨ utzen, dass Φ extensiv ist. Hiebei sollten Sie finden, dass die Sattelpunktsbedingung gerade

N = hN i := − ∂ Φ

∂µ

T,V

ist und die Sattelpunktsn¨ aherung auf

F = Φ + µhN i f¨ uhrt.

P7.2 - Ideales Spin 1/2 Quantengas in zwei Dimensionen

Wir wollen ein ideales Quantengas aus Spin 1/2 Teilchen betrachten, die auf einer L × L qua- dratischen Ebene mit periodischen Randbedingungen gebunden sind. Die Einteilchenenergien lauten

(~ p,s) = ~ p ²

2m , mit ~ p = p _x ~ e _x + p _y ~ e _y , s = ±1/2

a) Geben Sie die mittlere Besetzungszahl hn(~ p,s)i von Teilchen mit Impuls ~ p und Spin s in der großkanonischen Gesamtheit an!

b) Berechnen Sie die mittlere Teilchenzahl hN i aus diesem Ergebnis!

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Haus¨ ubungen

H17 - Riemannsche Zeta-Funktion und Polylogarithmen [1P]

Die Riemannsche ζ-Funktion ist definiert durch ζ(x) = 1

Γ(x) Z ∞

0

du u ^x−1 e ^u − 1 und besitzt f¨ ur x > 1 die Reihendarstellung ζ(x) = P ∞

l=1 1 l

.

a) Leiten Sie die Reihendarstellung aus der Integraldarstellung her!

b) Wir definieren nun die Polylogarithmen f¨ ur Re(ν) > 1 durch die Reihe Li _ν (z) =

∞

X

l=1

z ^l l ^ν ,

offensichtlich gilt ζ(x) = Li _x (1). Zeigen Sie nun f¨ ur |z| < 1 den Zusammenhang mit den in der Vorlesung definierten verallgemeinerten Zetafunktionen g _ν (z) und f _ν (z)

g _ν (z) = 1 Γ(ν)

Z ∞

0

du u ^ν−1

e ^u z ⁻¹ − 1 = Li _ν (z) , f _ν (z) = 1

Γ(ν) Z ∞

0

du u ^ν−1

e ^u z ⁻¹ + 1 = −Li _ν (−z) . Es sei auch an die Definition der Gammafunktion Γ(ν) = R ∞

0 dt t ^ν−1 e ^−t erinnert.

H7.2 - Zweidimensionales Spin 1/2 Quantengas [2P]

Wir betrachen wiederum das ideale Spin 1/2 Quantengas aus der Aufgabe P7.2.

a) Bestimmen Sie nun auch das großkanonische Potential Φ ! Hierf¨ ur starten Sie am besten von der Impulssummendarstellung f¨ ur Φ aus (IV.4) im Skript und nehmen den Kontinuumlimes in 2D. Dr¨ ucken Sie Ihr Ergebnis mittels dem Dilogarithmus Li 2 aus!

b) Bestimmen Sie weiterhin die innere Energie E des 2d Gases!

c) Wie lautet die Zustandsgleichung dieses Gases?

H7.3 - Schwankung der Besetzungszahlen [2P]

Zeigen Sie,dass die mittlere Schwankung der Besetzungszahlen (∆¯ n _p ) ² = hn ² _p i − hn _p i ²

hn p i ²

f¨ ur ideale Quantengase im großkanonischen Ensemble f¨ ur Bosonen und Fermionen denselben Wert exp[β( p − µ)] annimmt.

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