Bestimmen Sie die Temperatur T 0 bei der die Bose–Einstein–Kondensation einsetzt. Diese Temperatur ist durch die Teilchendichte N/V bestimmt

Ubungen zur Thermodynamik ¨

11. Blatt 29. Juni. 2005

Abgabe 6. Juli. 2005, Postfach Thermodynamik gegen¨ uber Raum 1.4.18

1. Bose–Einstein–Kondensation

Bestimmen Sie die Temperatur T 0 bei der die Bose–Einstein–Kondensation einsetzt. Diese Temperatur ist durch die Teilchendichte N/V bestimmt

N

V = 4 π √

2 m ^3/2 (k B T 0 ) ^3/2 h ³

∞

Z

0

√ x dx

e ^x − 1 (∗)

wobei die Teilchen mit Masse m keinen Spin haben wie die Heliumatome (He ⁴ ).

(a) Leiten Sie also die Formel (∗) her, wobei das chemische Potential µ, das bei h¨ oheren Temperaturen als T 0 negativ ist, µ < 0, bei der Kondensationstemperatur T 0 gleich Null gesetzt worden ist, so daß es in der Formel (∗) nicht mehr auftaucht. Die Formel (∗) enth¨ alt statt e ^x eigentlich e ^x−µ/(k

^{T )} f¨ ur T > T 0 . Mit der thermischen Wellenl¨ ange λ =

q 2 π¯ h ²

(m k B T ) l¨ aßt sich (∗) “eleganter” schreiben

N V = 1

λ ³ ζ ( ³ ₂ ) (∗∗)

mit der ζ –Funktion und ζ ( ³ ₂ ) = 2.612 . . .

(b) Nehmen Sie die Dichte von fl¨ ussigen Helium und bestimmen Sie mit der Formel (∗∗) die Temperatur T 0 , die in der Tat nicht weit vom Temperaturwert T λ f¨ ur den ¨ Ubergang in den suprafluiden Zustand von He ⁴ wegliegt. Dies ist nat¨ urlich nicht wirklich vern¨ unftig, denn He ⁴ ist kein ideales Bosegas.

Seit einigen Jahren, kann man in “Fallen” ganz verd¨ unnte System von Natrium und Lithi- umpartikeln bei extrem tiefen Temperaturen mit wenigen µK pr¨ aparieren. Sehen Sie sich z.B.

den folgenden Artikel an “Bose–Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms”, Davis,

Mewes, Andrews, van Druten, Durfee, Kurn & Ketterle Phys.Rev.Lett. 75 3969 (1995). Pr¨ ufen

Sie also nach, ob mit der in diesem Artikel gegebenen Absch¨ atzung von 4 × 10 ¹⁴ cm ⁻³ f¨ ur die

Teilchendichte sich tats¨ achlich eine µK–Temperatur f¨ ur T 0 ergibt.