9 Strömende Fluide

(1)

9 Strömende Fluide

9.1 Euler- und Navier-Stokes-Gleichung

Kräfte auf Massenelement Dm = r DV - Druckgradient

- Schwerkraft - Reibung

- elektromagnetische Kräfte

bewirken Bewegung der Flüssigkeit, gegeben durch Feld der Geschwindigkeitsvektoren

stationäre Strömung: zeitunabhängig, Stromlinien (Bahnen von Teilchen) fallen mit u(r) zusammen.

 

^r ^t

u ,

Ideale Flüssigkeiten

Reibung vernachlässigbar. Euler-Gleichung:

Viskose Flüssigkeit

mit Reibung. Navier-Stokes-Gleichung:

Lösung

 

 u  u g p u

t u dt

u d

p g

u t u

u dt

u d



 



 



D









 



 



   



 





 



 



   



 

 r

r r

r

grad grad

zeitabhängige Geschwindigkeit

ortsabhängige

Geschwindigkeit Schwerkraft

Druckgradient

Reibung

  r t

u  ,

(2)

2 Linke Seite:

Änderung der Geschwindigkeit = zeitliche Änderung (nicht stationär) + Änderung durch Ortsänderung

 

z z

z

y y

y

x x

x

z u dt dz y dt dy x

dt dx t

u dt

du

z u dt dz y dt dy x

dt dx t

u dt

du

z u dt dz y dt dy x dt dx t

u dt

du

z y u x

t u u dt

u d

 

 







 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 



 



 



 





 

    



Rechte Seite:

Kraft pro Volumen = Gewicht / Volumen + Druckgradient + Viskosität ∙ Laplace(Geschwindigkeit)

2 2 2

2 2

2

z y

u x



 



 



  D D

 

 p

g  grad r 

dx x x

dx u x x

u dz dx

dy x dF

A u F

u

F

_y _y _y ^y _y ^y ^y

  

 







 

 

 





 

 





 1 ( ) ( )

: und für

z.B.  

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)

George Gabriel Stokes (1819-1903)

(3)

9.2 Die Kontinuitätsgleichung

 u  dV S

d u t dV

t M

V S

V













 

 



  ^r  ^r ^ ^  ^div ^r ^

  0

div  

 

 u

t

r  r

Änderung der Masse in einem gegebenen Volumen V

= Massenstromdichte r∙u integriert über die Oberfläche

= Divergenz der Massenstromdichte integriert über V (Gaußscher Satz)

Eindimensionaler Fall:

  0 0

div 



 



 u r t

r ^

Inkompressible Flüssigkeit:

1 2 2

1 2

2 1

0

1

A A u

u u A u

dt A dM

t          



 r r r

Beispiel:

9 3

14 3 5

2 2

1 1

4 1

2 11 2

2

1 2

4 2

1

10 /s 4

m 10 5 , 2

/s m 10 4 , 9

Kapillaren der

Anzahl

m/s 10 5 m

10 03 , 5 m) 4 (

Kapillare

m/s 30 , 0 m

10 14 , 3 cm) 1 (

Aorta



 

 

























u A

u N A

u A





(4)

Wenn bei infinitesimalem Abstand dx

dann befindet sich im betrachteten Volumen eine Quelle oder Senke des Feldes

(z.B. beim elektrischen Feld eine Ladung)

4 Zum Gaußschen Integralsatz (Satz von Gauß-Ostrogradski)

u.s.w.

) ( )

( mit

div )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

div

x dx x E

E dx x E

dV E dz

dy z dx

E y

E x

E

dy dx z E dy dx dz z E

dz dx y E dz dx dy y E

dz dy x E dz dy dx x E

dV E A

d E

x x

x

y z x

z z

y y

x x

V A

 

 











 



 







 



 



 





























 

 ^ ^

0 div

0 ) ( )

(

_, _,

,

x  dx  E x   E 

E

_x _y _z _x _y _z

Johannes Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Michail Wassilijowitsch Ostrogradski (1801-1862)

(5)

9.3 Die Bernoulli-Gleichung

Betrachte stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit Arbeit, die von der Flüssigkeit links von 1 verrichtet wird

Arbeit, die an der Flüssigkeit rechts von 2 verrichtet wird

1 1 1 1 1

1

F l p A l

W   D    D

2 2 2 2

2

F l p A l

W    D     D

Gewinn/Verlust an potenzieller Energie durch Höhenunterschied

   

2 2 1

1

1 2 1

2 3

l A l

A V

y y g V y

y g m W

D



 D



 D





 D













 r

Änderung der kinetischen Energie = geleistete Arbeit

 

0 2

1 2

1 1

2 2

1 2 2

1 2 1 2

2

const 2

1 2 1 2

1 p y

g v

p

y g v

p y

g v

p

y y g V V

p V p

v V v

V

































 D



 D



 D





 D





 D



r r

r

 0 v

( hydrostatischer Druck) Bei konstanter Höhe y: Bei schnellerer Strömung (Verengung des Rohrs) ist der Druck niedriger.

Dieses Ergebnis, das zunächst der Erwartung widerspricht, gibt Anlass zu verblüffenden Versuchen (hydrostatisches Paradoxon).

(6)

6

Anwendung der Bernoulli-Gleichung, aber schon 100 Jahre vorher formuliert:

) (

2 2 0 1

1 2 1

2 1

y y g v

y g p

y g v

p



















 r r r

Gesetz von Torricelli: Die Geschwindigkeit des ausströmenden Wassers ist dieselbe, die ein aus derselben Höhe y₂-y₁ fallender Köper hätte.

Daniel Bernoulli (1700-1782) Evangelista Torricelli

(1608-1647)

Dhlinear

linearer Druckabfall

Dhv Dh

V V

V3 2 1

Platte 1 Platte 2

Hydrodynamisches Paradoxon: Platte 2 wird entgegen der Richtung des Luftstroms angesaugt und hochgehoben, weil die hohe

Geschwindigkeit des Luftstroms einen Unterdruck bewirkt (Bernoulli-Gleichung: hohe Geschwindigkeit - niedriger Druck)

Kontinuitätsgleichung und Bernoulli-Gleichung: an der Engstelle (Mitte) ist die Strömungsgeschwindigkeit höher und damit der Druck geringer, angezeigt durch die Steighöhe im vertikalen Rohr. Ferner gibt es einen Druckabfall in Strömungsrichtung (nach links) aufgrund von Reibung

(7)

9.4 Hagen-Poiseuille-Gesetz



² ²



2 2

2

) 4 (

const 2 0

) ( const

4 ) 2

(

2 2

r L R

r p u

L R R p

u L r

dr p L r

r p u

L r p dr

du dr

L du dr r

A du p

r

 

 D



 D





 

 D



 

 D





 D













 D







 





 

4

0 3 2

2

0

2 2 0

8 2 2 2 2

2 4 ) (

L R p t

V

dr L r

p R

L dr pR

r r

L R dr p

r r

t u

V

^R ^R ^R











 

 

 D

 

 D

 

 D



 

 D



   

Durchflussmenge in der Zeit t durch ein zylindrisches Rohr Strömung in einem zylindrischen Rohr:

Nettokraft auf Fläche eines (gedachten) Zylinders mit Radius r = Reibungskraft

Versuch (nicht in der Vorlesung gezeigt, weil nicht immer so gelungen wie auf diesen Bildern):

(8)

8 9.5 Zirkulation und dynamischer Auftrieb

y x x

x E y y

E

y x

E x y

E y x

E x y

E

x y

y x

D

 D

 

  D

 D

 

 



D



 D



 D



 D

 ( ) ( ) ( )

)

(

₁ ₂ ₂ ₁

Linienintegral

Grenzwert für Linienintegral / Fläche

 

E

y E x

E

x E z

E

z E y

E

E y E E x

E

y x

z x

z y

z y x

 







 









 









 



 

 



 

 





 

 



rot

Rotation, Maß für die "Wirbelstärke" Beispiel für ein Vektorfeld mit Rotation ungleich null:

Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter (s. nächstes Semester)

(9)

Satz von Stokes

A d u s

d u

A Z

S

 









    

 ^rot

Z : Zirkulation

Winkelgeschwindigkeit für eine kreisförmige Strömung, die sich wie ein starrer Körper verhält (Geschwindigkeit wächst linear mit dem Radius):

u

A d A u

s d r u

s r d r u

u r s

d u

A S

S S



 



2 rot 1

2 rot 1 2

1 1

2 1

2









 



 



 



 

 













Auch für Wirbel in einer Flüssigkeit gilt die Drehimpulserhaltung.

Wenn ein Wirbel entsteht, bildet sich auch ein Wirbel mit entgegengesetztem Drehsinn.

In einer "idealen" (reibungsfreien) Flüssigkeit bleibt die Zirkulation konstant.

(10)

Rotorschiff Buckau (1924): Die rotienden Zylinder

10

wurden mit Elektromotoren angetrieben (je 10 PS).

Rotierender Zylinder, der mit Geschwindigkeit u₀ umströmt wird (Anwendung der Bernoulli-Glecichung):

       

) 2

(

2 2

2 2 2 2

1 2

1

2 0

0 0

0 2

1 2 2

r Z

Z L u F

r L u

r L r u

A p F

r u

p

r u

u u p







 D









 D

 D



 D

















 D



 r

 r



 r

r

(Abschätzung der Größenordnung, keine exakte Rechnung)

Kutta-Jukowski-Formel

Heinrich Gustav Magnus (1802-1870)

Anton Flettner (1885-1961)

Magnus-Effekt (B. Kosiorek, Wikipedia)

Magnus-Effekt

Auftrieb eines rotierenden Zylinders. Anwendung: Flettner-Rotor.

(11)

Erweiterung auf nicht-zylindrische Körper: Flugzeugflügel, Segel.

Beim Start eines Flugzeugs entsteht am Ende des Flügelprofils ein "Anfahrwirbel", der Flügel selbst wird von einem entgegengesetzten Wirbel umströmt (Z ungleich 0).

9.6 Reynolds-Zahl

Strömungen sind

- laminar (große Reibung, geringe Geschwindigkeit, keine Wirbel) - turbulent (geringe Reibung, hohe Geschwindigkeit, Wirbelbildung)

Die Reynoldszahl ist ein Maß dafür, ob eine Strömung laminar oder turbulent ist:

 r



r

u L u

L u L

u L u

A W

u L u

m E



 



 



2 2 3

2 Reibung

2 3 2

kin

Re

~

^r^{: Dichte}

 : Viskosität

u : charakteristische Geschwindigkeit

L : charakteristische Ausdehnung (Durchmesser etc.) Reynoldszahl Re > einige 10³ → turbulente Strömung