Bergische Universit¨at Wuppertal Fachbereich C, Mathematik/Stochastik
Prof. Dr. Barbara R¨udiger WS 2010/2011
Nachklausur Wahrscheinlichkeitstheorie
I. Sei
Xk=k21[0;1 k4]
Untersuchen Sie{Xk}k∈N nach der Konvergenz:
a) P - f. s. [3 Punkte]
b) inLp f¨urp= 1,2,3, . . . [3 Punkte]
c) in Wahrscheinlichkeit [3 Punkte]
f¨ur den Fall, wo der Definitionsraum
1) (Ω,F, P) = ([0,1], B([0,1]), µ[0,1]∪ ) wobeiµ[0,1]∪ die uniforme Verteilung auf [0,1] ist.
2) (Ω,F, P) = ([0,1], B([0,1]), δ{0})
II. Erkl¨aren Sie ob F(y) = (1 +e−y)−1 eine Verteilungsfunktion ist.
Beweisen Sie Ihre Aussage. [2 Punkte]
III. Beweisen Sie: SeiF eineσ-Algebra auf Ω. SeiA⊂Ω. Dann ist FA≡ {B=A∩C:C∈ F }
eineσ-Algebra aufA [3 Punkte]
IV. Beweisen Sie an Hand eines Gegenbeispiels, dass nicht jede Verteilung eine
Dichte hat. [4 Punkte]
V Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen die uniform auf
I= [0,2] verteilt ist. [2 Punkte]
(Es gen¨ugt nicht das Resultat zu zeigen, es soll auch bewiesen werden).
VI Finden Sie eine Zufallsvariable mit der Eigenschaft E[X2] < ∞, und
E[X3] =∞ [4 Punkte]
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VII. Seien X1 und X2 stochastisch unabh¨angig und Poisson verteilt mit Pa- rameter 2. Berechnen SieE[e−(X1+X2)] [2 Punkte]
Maximale Punktzahl 26. Sie bekommen eine eins, falls Sie 24 Punkte erre- ichen. Zeit: Zwei Stunden
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