Stöße zwischen Teilchen

Stöße zwischen Teilchen

Wir betrachten den Stoß zweier Körper mit den Massen m₁ und m₂. Bei einem Stoß, einer kurzzeitigen Wechselwirkung, wirken nur inne- re Kräfte, so dass der Gesamtimpuls aller Teilchen erhalten bleibt:

( p &

)

( p &

)

=

Während des Stoßes bleibt die mechanische Energie nur in speziellen Fällen erhalten, da ein Teil der Energie während des Stoßes in andere Energieformen, wie Wärme oder Deformationsenergie umgewandelt wird. Es gilt jedoch der Satz von der Erhaltung der Gesamtenergie:

( ^E

)

⁼ ( ^E

)

^{+ Q}

Mechanische Energie ist hier im allgemeinen kinetische Energie und unter Q ist eine nichtmechanische Energieform, z.B. Wärme, zu ver- stehen. Eges, mech beinhaltet die gesamte mechanische Energie aller am Stoß beteiligten Teilchen. In Abhängigkeit vom Betrag der Größe Q unterscheidet man folgende Fälle:

Q

0

Q =

0

Q >

0

Q <

Der zentrale, elastische Stoß zweier Körper

Bei einem zentralen Stoß sind die Impulsvektoren aller am Stoß betei- ligten Körper vor und nach dem Stoß parallel zueinander. Das Prob- lem kann eindimensional behandelt werden, so dass sich die aus dem Impulserhaltungssatz folgenden drei Gleichungen auf eine reduzieren.

Es gelten mit dem Energie- und Impulserhaltungssatz folgende Bezie- hungen:

n 2 2 n

1 1 v

2 2 v

1

1

v m v m v m v

m + = +

2 n 2 2 2

n 1 1 2

v 2 2 2

v

1 1

v

2 v m

2 v m

2 v m

2

m

Die Indizes v und n bedeuten vor dem Stoß und nach dem Stoß. Sind die Geschwindigkeiten vor dem Stoß bekannt, so kann man aus obi- gem Gleichungssystem die Geschwindigkeiten nach dem Stoß be- rechnen:

( )

2 1

v 2 2 v

1 2 n 1

1

m m

v m 2 v

m v m

+ +

= −

( )

2 1

v 1 1 v

2 1 n 2

2

m m

v m 2 v

m v m

+ +

= −

Der nichtzentrale, elastische Stoß zweier Körper

Wir behandeln den Spezialfall des nichtzentralen Stoßes zweier Ku- geln gleicher Masse m, wobei eine Kugel (Nr. 2) vor dem Stoß ruht.

Mit den Erhaltungssätzen

n 2 n 1 v

1

p p

p & & &

+

=

2 n 2 2

n 1 2

v 1 2

n 2 2

n 1 2

v

1

bzw . p p p

m 2 p m 2 p m 2

p

erhält man folgendes Bild:

Die Summation dreier Impulse lässt sich als ebenes Problem behan- deln. Damit kann man bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems die drei Impulsgleichungen (die aus der Vektorgleichung p&1v p&1n p&2n

+

=

folgen) auf zwei Gleichungen reduzieren. Des weiteren schließen die beiden Impulsvektoren p1n und p2n einen rechten Winkel ein. Dies ist eine Folge der gleichen Massen. Nur in diesem Fall können die Beträ- ge der Impulse entsprechend der Energiegleichung 2 ²2n

n 1 2

v

1 p p

p = + py-

thagoräisch addiert werden. Damit lassen sich die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Stoß sofort ermitteln, wenn der Winkel α2 (bzw.

α₁) bekannt ist (hängt von den Bedingungen beim Stoß ab):

2 v

1 n

1 v sin

v = α v_2n = v_1vcosα₂ Außerdem gilt

°

= α +

α

90

2 r

sin

d

Der Winkel α₁ ergibt sich aus der Neigung der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Kugeln zur Impulsrichtung p_1v.

stoss\stoss.html

Der vollkommen unelastische Stoß

Die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes setzt nicht voraus, dass der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie gilt. Auch für den Fall Q ≠ 0 gilt deshalb für den St0ß zweier Körper:

n 2 2 n

1 1 v

2 2 v

1

1

v m v m v m v

m & & & &

+

= +

Die allgemeine Energieerhaltung bedingt:

Q 2 v

v m 2 v m

2 v m

2

m

n 2 2 2

n 1 1 2

v 2 2 2

v

1 1 + = + +

Ein Spezialfall des unelastischen Stoßes liegt vor, wenn sich die bei- den Körper nach dem Stoß gemeinsam (mit gleicher Geschwindigkeit vn) fortbewegen. In diesem Fall ist der maximal mögliche Teil von ki- netischer Energie in Deformationsenergie umgewandelt worden. Hät- ten sich die Körper wenigstens zum Teil elastisch deformiert, wäre ein Teil der mechanischen Deformation wieder in kinetische Energie zu-

rückgeführt worden, was ungleiche Geschwindigkeiten der beteiligten Körper zur Folge gehabt hätte. Es gilt in diesem speziellen Fall also:

n 2 1

v 2 2 v

1

1

v m v ( m m ) v

m & & &

+

= +

Q 2 v

m v m

2 v m

2

m

2 n 2 1

v 2 2 2

v

1 1  +



 



 +

= +

Gilt weiterhin v&1v ||v&2v

, so erhält man folgende Beziehungen :

2 1

v 2 2 v

1 n 1

m m

v m v

v m

+

= +

(

)

2 1

2

1

v v

m m

m m 2

Q 1 −

= +

stoss.htm