Oberschule Pieschen. Lineare Gleichungen und Lineare Funktionen Umstellen von Formeln

Lineare Gleichungen und Lineare Funktionen

Umstellen von Formeln

1. Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen löst du, indem du die Variable (oft als x bezeichnet) durch Äquivalenzumformung separierst („alleine stellst“). (Äquivalenz: Gleichwertigkeit)

Lösungsschritte: (1) ausmultiplizieren und zusammenfassen

(2) Variable allein auf eine Seite bringen. Dabei sind folgende Rechenoperationen erlaubt (Äquivalenzumformungen):

 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren

 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit der gleichen Zahl (≠0) multiplizieren

 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch die gleiche Zahl (≠0) dividieren

Beispiel 1: −𝑥+ 3+ 3𝑥 = 11 zusammenfassen 2𝑥 + 3 = 11 − 𝟑

2𝑥 + 3− 𝟑 = 11− 𝟑

2𝑥 = 8 ∶𝟐 2𝑥 ∶𝟐 = 8 ∶ 𝟐

𝑥 = 4

Beispiel 2: − 3 (6 − 5𝑥) = −198 ausmultiplizieren

−18 + 15 𝑥 = −198 + 𝟏𝟖

−18+ 𝟏𝟖+ 15 𝑥 = −198+ 𝟏𝟖

15 𝑥 = −180 ∶ 𝟏𝟓 15 𝑥 ∶𝟏𝟓 = −180 ∶𝟏𝟓

𝑥 = −12

Beispiel 3: −6 +₁₅ ^𝑏 = −3 + 𝟔

−6+ 𝟔+₁₅ ^𝑏 = −3+ 𝟔

₁₅^𝑏 = 3 ∙ 𝟏𝟓 ₁₅^𝑏 ∙ 𝟏𝟓 = 3∙ 𝟏𝟓

𝑏 = 45

Dein Ergebnis kontrollierst du über die Probe. Dabei setzt du dein Ergebnis in die Ausgangs- gleichung ein:

Beispiel 1: −4+ 3+ 3 ∙ 4= 11 ?

−4 + 3 + 12 = 11

11 = 11 𝑤𝑎ℎ𝑟𝑒 𝐴𝑢𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 → 𝐿 = {4}

Beispiel 2: − 3 (6 − 5 ∙(−𝟏𝟐)) = −198 ? −3 (6 + 60) = −198 ? −3 ∙ 66 = −198

−198 = −198 𝑤𝑎ℎ𝑟𝑒 𝐴𝑢𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 → 𝐿 = {−12}

Beispiel 3: −6 +^𝟒𝟓₁₅= −3 ?

−6 + 3 = −3

−3 = −3 𝑤𝑎ℎ𝑟𝑒 𝐴𝑢𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒 → 𝐿 = {45}

Erhältst du bei der Probe eine falsche Aussage, dann hast du dich entweder bei der Lösungsfindung oder bei der Probe verrechnet.

Übungsaufgaben:

1. 3𝑥 + 2 = 11 9. 5𝑝 + 2 + 𝑝 = 20

2. 4𝑥 + 6 = 13 10. 60 − 8(6 − 2𝑟) = 44

3. 6 − 3𝑎 = 9𝑎 11. 52 − (2𝑦 − 3) ∙ 8 = 12

4. 0 = 12𝑥 − 30 12. 8,58 + 1,2x = 2,4x + 9,3

5. 𝑥

18= 4,2 13. −8 =16

𝑥 6. 2

𝑥= 5 14. 𝑥

−4+ 3 = 7

7. 3(2𝑏 − 1) = 69 15. 2(x + 1) = (x − 7) ∙ 4

8. 15 − 9(𝑠 − 7) = 24 16. 4(5 − 2𝑥) = 10 ∙ (1 − 𝑥)

2. Formeln umstellen

Auch Formeln stellst du mit Hilfe von Äquivalenzumformungen um.

Beispiel an der Formel zur Berechnung der Dichte (Umstellen nach V):

𝜌 =

I ∙ 𝑽 𝜌 ∙ 𝑽 =

𝑉

∙ 𝑽

𝜌 ∙ 𝑉 = 𝑚 I ∶ 𝝆 𝜌 ∙ 𝑉

𝝆 = 𝑚 𝝆

𝑉 =

Übungsaufgaben 1. 𝐴 = 𝑐 ∙ ℎ_𝑐

2 (ℎ_𝑐) 9. 𝑎²+ 𝑏² = 𝑐² (𝑐)

2. 𝐴 = 𝑎 + 𝑐

2 ∙ ℎ (ℎ) 10. 𝑎²+ 𝑏² = 𝑐² (𝑏)

3. 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° (𝛽) 11. Δ𝑙 = 𝛼 ∙ 𝑙 ∙ΔT

(𝑙)

4. 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 (𝑐) 12. A =𝑒 ∙ 𝑓

2 (𝑓) 5. 𝑣 =𝑠

𝑡 (𝑠) 13. 𝑃 =𝐹

𝐴 (𝐴) 6. 𝑃 =𝑊

𝑡 (𝑡) 14. ^𝐹1

𝐹2

=

𝑙1

(𝑙

)

7. 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 (𝑏) 15. ^𝐹1

𝐹₂

=

1

(𝑙

)

8. 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝑚 ∙ΔT (ΔT) 16. ^𝐹1

𝐹₂

=

1

(𝐹

)

3. Lineare Gleichungssysteme lösen

Ein Lineares Gleichungssystem ist eine Menge an Gleichungen mit mehreren Unbekannten (z. B. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten oder 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten usw.), die gleichzeitig erfüllt werden sollen.

Lineare Gleichungssysteme kannst du rechnerisch lösen oder grafisch.

3.1. Grafische Lösung

Lineare Gleichungssysteme, welche aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten bestehen, löst du wie folgt: (1) beide Gleichungen in die Form 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 umformen

(2) beide Gleichungen als Grafen in dasselbe Koordinatensystem eintragen (3) Schnittpunkt ablesen  Lösung des Gleichungssystems

 Das Einzeichnen von Grafen in das Koordinatensystem kannst du im Abschnitt 4 nachlesen.

Beispiele:

(Quelle: www.schulminator.com/mathematik/lineares-gleichungssystem; 18.09.2016)

Wie du der Abbildung entnehmen kannst, können lineare Gleichungssysteme verschiedene Lösungsmöglichkeiten haben:

 genau eine Lösung (als Schnittpunkt erkennbar)

 keine Lösung (Anstieg m ist in beiden Gleichungen gleich, y-Achsenabschnitt n ist unterschiedlich  die Grafen verlaufen parallel)

 unendlich viele Lösungen (die eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen Gleichung  die Grafen liegen exakt aufeinander)

Übungsaufgaben

Zeichne das Koordinatensystem auf Millimeterpapier. Wähle für die linearen Gleichungssysteme eine geeignete Achseneinteilung.

𝐼 𝑦 = −𝑥 + 8 𝐼𝐼 𝑦 = −¹₂𝑥 + 5

𝐼 2𝑦 = 𝑥 + 2

𝐼𝐼 𝑦 − 3 = −1,5𝑥 𝐼 𝑥 = −𝑦 + 8 𝐼𝐼 −6𝑦 = 57 − 𝑥

𝐼 4𝑥 + 𝑦 = 13

𝐼𝐼 10𝑥 + 2𝑦 = 30 𝐼 𝑥 + 3𝑦 = 6

𝐼𝐼 2𝑥 + 6𝑦 = 12 𝐼 𝑦 = 3𝑥 − 5 𝐼𝐼 2𝑦 − 6𝑥 = −12

𝐼 3𝑥 + 2𝑦 = 11

𝐼𝐼 4𝑥 + 2𝑦 = 12 𝐼 2𝑥 + 6𝑦 = 24

𝐼𝐼 2𝑥 + 8𝑦 = 28 𝐼 𝑥 + 𝑦 = 3 𝐼𝐼 𝑦 = 𝑥 + 1

𝐼 −3𝑥 + 2𝑦 = 3

𝐼𝐼 3𝑥 − 1,5𝑦 = −2

𝐼 𝑥 − 𝑦 = 2 𝐼𝐼 𝑦 = 𝑥 − 1

𝐼 𝑦 = 3𝑥 − 5 𝐼𝐼 2𝑦 − 6𝑥 = −10

3.2. Rechnerische Lösungen

Für eine rechnerische (algebraische) Lösung stehen dir 3 Varianten zur Verfügung:

a) Das Gleichsetzungsverfahren.

Dieses Lösungsverfahren bietet sich zur Lösung an, wenn bei beiden Gleichungen der linke oder der rechte Term identisch ist. Sollte dies nicht der Fall sein, kannst du dies mit Hilfe von Äquivalenzumformungen erreichen.

Beispiel 1:

𝐼 𝑥 =−4𝑦 − 3

𝐼𝐼 𝑥 =−3𝑦 − 2

𝐼 =𝐼𝐼 −4𝑦 − 3 =−3𝑦 − 2 + 3 (𝑢𝑚𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑦) −4𝑦 = −3𝑦 + 1 + 3𝑦

−1𝑦 = 1 ∶ (−1) 𝑦 = −𝟏

𝑦 → I 𝑥 = −4 ∙ (−𝟏) − 3

x =𝟏  𝐿 = {(𝟏|−𝟏)}

Beispiel 2:

𝐼 𝟐𝒚= 6𝑥 − 10

𝐼𝐼 4𝑥 − 6= 𝟐𝒚

𝐼 =𝐼𝐼 6𝑥 − 10 =4𝑥 − 6 + 10 (𝑢𝑚𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑦) 6𝑥 = 4𝑥 + 4 − 4x

2𝑥 = 4 ∶ 2 𝑥 = 𝟐

𝑥 → I 2𝑦 = 6 ∙ 2 − 10 2𝑦 = 12 − 10 2y = 2 ∶ 2

𝑦 =𝟏  𝐿 = {(𝟐|𝟏)}

b) Das Einsetzungsverfahren

Bei diesem Lösungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen

umgestellt. Der Termwert dieser umgestellten Variablen wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Vor allem bietet sich dieses Lösungsverfahren an, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist.

Beispiel 1:

𝐼 2 𝒙+ 𝑦 = 1

𝐼𝐼 𝒚 + 𝟐= 𝒙

𝒙 → 𝐼 2 (𝒚 + 𝟐)+ 𝑦 = 1 𝑎𝑢𝑠𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑙𝑝𝑖𝑧𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛 2𝑦 + 4 + 𝑦 = 1 𝑧𝑢𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛𝑓𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛

3𝑦 + 4 = 1 − 4 3𝑦 = −𝟑 ∶ 𝟑 𝑦 =−1

𝑦 → II − 1+ 𝟐 = 𝒙

𝟏= x  𝐿 = {(𝟏|−𝟏)}

Beispiel 2:

𝐼 4𝑎 + 𝑏 = 33

𝐼𝐼 9𝑎 + 2𝑏= 73

𝐼´ 4𝑎 + 𝑏 = 33 − 4𝑎 𝐼´ 𝑏 =33 − 4𝑎

𝐼´ → 𝐼𝐼 9𝑎 + 2(33 − 4𝑎) = 73 𝑎𝑢𝑠𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑧𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛 9𝑎 + 66 − 8𝑎 = 73 𝑧𝑢𝑠𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛𝑓𝑎𝑠𝑠𝑒𝑛.

𝑎 + 66 = 73 − 66 𝒂 = 𝟕

𝑎 → 𝐼´ 𝑏 = 33 − 4 ∙𝟕

𝑏 =𝟓  𝐿 = {(𝟕|𝟓)}

Tipp: Am einfachsten lässt sich die Gleichung I nach b umstellen.

c) Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass eine Variable beim Addieren der beiden Gleichungen wegfällt. Somit entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Variablen.

Beispiel 1:

𝐼 6 𝑥+ 𝟒𝒚= 4

𝐼𝐼 9𝑥− 𝟒𝒚= 1

𝐼 + 𝐼𝐼 15𝑥 = 5 ∶ 15 𝑥 = ^𝟏_𝟑

𝑥 → I 6 ∙ ^𝟏_𝟑+ 4𝑦 = 4

2 + 4𝑦 = 4 − 2 4𝑦 = 2 ∶ 4

𝑦 = 0,5  𝐿 = {(^𝟏_𝟑|^𝟏_𝟐)}

Beispiel 2:

𝐼 8𝑎 + 2𝑏 = 58

𝐼𝐼 𝟑𝒂+ 𝒃 = 𝟕𝟑

𝐼 8𝑎 + 2𝑏 = 58 𝐼𝐼 −𝟔𝒂− 𝟐𝒃 =−𝟏𝟒𝟔

𝐼 + 𝐼𝐼 2𝑎 = −88 ∶ 2 𝑎 = −44

𝑎 → 𝐼𝐼 3 ∙ (−44) + 𝑏 = 73 −132 + 𝑏 = 73 + 132

𝑏 = 205  𝐿 = {(−𝟒𝟒|𝟐𝟎𝟓)}

+

∙ (−2)

Man multipliziert hier z. B. die Gleichung II mit (-2), damit b im Anschluss bei der Addition der beiden Gleichungen weg fällt.

+

+2𝑏 + (−2𝑏) = 0 und 58 + (−146) = −88

Übungsaufgaben

𝐼 𝑦 = 8𝑥 − 11 𝐼𝐼 𝑦 = 5𝑥 − 5

𝐼 12𝑥 + 𝑦 = 40

𝐼𝐼 𝑦 = 3𝑥 − 5 𝐼 𝑥 = −𝑦 + 8 𝐼𝐼 −6𝑦 = 57 − 𝑥

𝐼 𝑥 = −4𝑦 − 3 𝐼𝐼 𝑥 = −3𝑦 − 2

𝐼 𝑥 + 3𝑦 = 26

𝐼𝐼 2𝑥 + 6𝑦 = 60 𝐼 8𝑦 = 24𝑥 − 44 𝐼𝐼 2𝑦 = 6𝑥 − 11

𝐼 2𝑎 − 𝑏 = 2

𝐼𝐼 6𝑎 + 5𝑏 = 38 𝐼 2𝑟 + 4𝑠 = 18

𝐼𝐼 6𝑟 + 12𝑠 = 54 𝐼 4𝑒 + 3𝑓 = 8

𝐼𝐼 3𝑒 + 2𝑓 = 11

𝐼 𝑥 = 2𝑦 − 1 𝐼𝐼 𝑥 −²₃𝑦 = 3

𝐼 −3𝑥 + 𝑦 = 5

𝐼𝐼 6𝑥 − 2𝑦 = 10 𝐼 −7𝑘 − 2𝑦 = −25

𝐼𝐼 −2𝑘 + 5𝑦 = 4

3.3. Textaufgaben mit linearen Gleichungsystemen lösen

In Klasse 8 und 9musst du nur lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten (also

bestehend aus 2 Gleichungen) lösen. Somit musst du beim Lösen von Textaufgaben aus den Angaben im Text zwei Gleichungen erstellen.

Beispiel:

Familie Kowalski (2 Erwachsene und 2 Kinder) geht in den Zoo und bezahlt 36€.

Familie Schmidt (1 Erwachsener und 3 Kinder) zahlt im selben Zoo 30 €. Wieviel kosten die Eintrittskarten für Erwachsene und Kinder?

Bezeichne die eine gesuchte Größe mit x.

Bezeichne die andere gesuchte Größe mit y.

Eintrittspreis Erwachsener: x Eintrittspreis Kind: y

Stelle zu der Aufgabe zwei Gleichungen auf:

erste Aussage – erste Gleichung

zweite Aussage – zweite Gleichung

2 Erwachsene und 2 Kinder kosten 36 €:

𝐼 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 = 36

1 Erwachsener und drei Kinder kosten 30 €:

𝐼𝐼 𝑥 + 3 ∙ 𝑦 = 30 Löse das lineare Gleichungssystem. 𝐼 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 = 36

𝐼𝐼 𝑥 + 3 ∙ 𝑦 = 30

𝐼𝐼´ 𝑥 + 3𝑦 = 30 𝑥 = 30 − 3𝑦

𝐼𝐼´ → 𝐼 2 ∙ (30 − 3𝑦) + 2𝑦 = 36 60 − 6𝑦 + 2𝑦 = 36 60 − 4𝑦 = 36 −4𝑦 = −24 𝑦 = 6

𝑦 → 𝐼𝐼´ 𝑥 = 30 − 3 ∙ 6 𝑥 = 12

Verfasse einen Antwortsatz. Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen beträgt 12 € und für ein Kind 6 €.

z. B. mit Einsetzungs- verfahren

Übungsaufgaben

1. Die 5. Klassen gehen ins Schülertheater. Die Klasse 5a bezahlt für 1 Lehrerin und 25 Schüler 133 €. Die Klasse 5b zahlt für 2 Lehrkräfte und 26 Schüler 146 €. Wie viel kostet die Karte für einen Erwachsenen bzw. für einen Schüler?

2. Maria kauft 3 Lilien und 1 Rose. Sie bezahlt dafür 7 €. Frank kauft 9 Lilien und 2 Rosen.

Er bezahlt dafür 20 €. Wie viel kostet eine Lilie bzw. eine Rose?

3. Frau May bezahlt für sich und ihre beiden Kinder für eine Busfahrt 4,80 €. Familie Schulz (2 Erwachsene und 3 Kinder) bezahlt für die gleiche Strecke 8,10 €. Wie viel kostet der Fahrschein für einen Erwachsenen, wie viel für ein Kind?

4. Ein kleiner Hase und 2 kleine Meerschweinchen wiegen 2,1 kg. Zwei Hasen und ein Meerschweinchen wiegen 3,3 kg. Wie viel wiegt ein Hase bzw. ein Meerschweinchen?

Wieviel wiegen drei Hasen und drei Mehrschweinchen?

5. Clara kauft für einen Mädels-Abend 10 Dosen Cola und 4 Packungen Pizza für 20,50 €.

Johannes kauft im gleichen Laden 20 Dosen Cola und 3 Packungen Pizza für 28,50 €.

Wie viel kosten 5 Dosen Cola und 2 Packungen Pizza?

6. Sabine ist die große Schwester von Lara. Zusammen sind Sabine und Lara 26 Jahre alt.

Die Differenz zwischen Lara und Sabines Alter beträgt 2 Jahre. Wie alt sind die beiden?

7. Ein Stempel und ein Stempelkissen kosten zusammen 7,80 €. Das Stempelkissen kostet dreimal so viel wie der Stempel. Wie viel kosten die beiden Gegenstände?

8. Die Summe zweier Zahlen ist 128, ihre Differenz ist 24.

9. Die Summe zweier Zahlen beträgt 40, ihre Differenz ist 6.

10. Friedrich ist halb so alt wie sein Vater. Zusammen sind sie75 Jahre alt. Wie alt sind die beiden?

11. Erika ist 15 Jahre älter als Charlotte. Zusammen sind beide 41 Jahre alt. Wie alt sind die beiden?

12. Bank A bietet ein Konto für 3,50 € im Monat an. Für jede Buchung werden 0,50 € berechnet. Bei Bank B kostet ein Konto monatlich 5 €. Die Buchung kostet hier jedoch nur 25 ct. Ermittle zeichnerisch und rechnerisch ab wie viel Buchungen sich Bank B lohnt.

13. Marlene vergleicht zwei Handytarife. Angebot A: Grundgebühr 5,95 €, Minutenpreis 12ct. Angebot B: Grundgebühr 9,95 €, Minutenpreis 8ct.

Zeichne zwei Grafen in ein Koordinatensystem und ermittle somit zeichnerisch, ab wie viel Minuten sich Angebot B lohnt. Prüfe dein Ergebnis durch Rechnung.

4. Lineare Funktionen

Lineare Funktionen haben die Form:

𝑓(𝑥) = 𝑦 =𝒎𝑥 +𝒏 𝒎 =^𝜟𝒚_𝜟𝒙=^𝒚_𝒙^{𝟐−𝒚𝟏}

𝟐−𝒙𝟏 …ist der Anstieg

𝒏 ist der y-Achsenabschnitt

(dort schneidet der Graf die y-Achse)

𝑃₁(𝟐|𝟑)

𝑃₂(𝟓|𝟔)

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑓(𝑥) =𝟏𝑥 + 1 = 𝒙 +𝟏

𝑚 =

=

𝟐−𝒙_𝟏

=

=

= 𝟏

Den Wert für n kannst du zeichnerisch oder rechnerisch ermitteln.

Rechnerische Bestimmung von n:

Setze die Werte eines Punktes und den berechneten Wert für den Anstieg m in die Gleichung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ein. Dann kannst du die Gleichung umstellen und nach n auflösen.

𝟔= 1 ∙𝟓+ 𝑛  𝒏 = 𝟏 Somit heißt die Funktion:

𝒏 = 𝟏

Steigung 2 bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 2

Längeneinheiten nach oben"

Steigung -1 bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 1 Längeneinheit nach rechts und 1

Längeneinheiten nach nach unten"

Steigung ⅔ bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2

Längeneinheiten nach nach oben"

Steigung −⅔ bedeutet:

"Gehe von einem Punkt auf der Gerade 3 Längeneinheit nach rechts und 2

Längeneinheiten nach nach unten"

Quelle:

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige- funktionstypen-ihre-eigenschaften/lineare-funktionen- geraden/geradensteigung;

Jede Lineare Funktion mit einem Anstieg ungleich Null (𝑚 ≠ 0) schneidet sowohl die x-Achse als auch die y-Achse. Überall auf der x-Achse gilt 𝑦 = 0 und überall auf der y-Achse gilt 𝑥 = 0.

Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst du ganz leicht aus der Funktionsgleichung ablesen, denn der y-Achsenabschnitt n ist (wie es der Name eigentlich schon verrät) die Schnittstelle mit der y-Achse. Es gilt also: 𝑆_𝑦 = (0|𝒏).

Für die Schnittpunktbestimmung mit der x-Achse berechnet man die sogenannte Nullstelle.

Beachte:

Ist nach dem Schnittpunkt mit der x-Achse gefragt, musst du einen Punkt 𝑆_𝑥(𝑥₀|𝑦₀)

angeben. Ist nach der Nullstelle gefragt, reicht es, wenn du 𝑥₀ = ⋯ doppelt unterstreichst.

Da überall auf der x-Achse "𝑦 = 0" gilt, berechnest du die Nullstelle von (linearen) Funktionen immer mit: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Beispiel 1: Berechne die Nullstelle von 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5.

Es gilt: 𝑓(𝑥) = 0 → 0 = 4𝑥 − 5 + 5 5 = 4𝑥 ∶ 4 5

4= 𝑥₀ Beispiel 2: Berechne die Nullstelle von 𝑦 = 2,5𝑥 + 2.

Es gilt: 𝑓(𝑥) = 0 → 0 = 2,5𝑥 + 2 − 2

−2 = 2,5𝑥 ∶ 2,5 −0,8 = 𝑥

Quelle:

http://www.matheretter.de/funktionen/lineare-funktionen-in-normalform

Übungsaufgaben

1. Berechne zunächst die Anstiege. Berechne dann den y-Achsenabschnitt n und stelle die Funktionsterme 𝑓₁₋₇(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 auf.

a) 𝑃₁(10|20) 𝑃₂(5|10) e) 𝑃₁(8|1) 𝑃₂(−8|−3) b) 𝑃₁(2|5) 𝑃₂(−1|−1) f) 𝑃₁(−3|3) 𝑃₂(3|−1) c) 𝑃₁(2|5) 𝑃₂(4|2) g) 𝑃₁(4|0) 𝑃₂(−6|5) d) 𝑃₁(−3|3) 𝑃₂(3|−1) h) 𝑃₁(−1|4) 𝑃₂(−2|6)

2. Gib die Funktionsterme der im Koordinatensystem eingezeichneten Grafen an. Lies, wenn möglich, die Nullstellen der Funktionen ab und gib sie an.

3. Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. (Stelle, wenn nötig, zuerst nach y um.)

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4 d) 𝑓(𝑥) = −0,5𝑥 + 2,2

b) 𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 2,1 e) 𝑥 − 2𝑦 = 6

c) 𝑓(𝑥) = −³₄𝑥 +¹₂ f) 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0

4. Stelle folgende lineare Funktionen grafisch dar. Zeichne dazu ein geeignetes Koordinatensystem. Beschrifte die eingezeichneten Grafen.

a) 𝑓₁(𝑥) = 3𝑥 e) 𝑓₅ = −⁷₂𝑥 + 6

b) 𝑓₂(𝑥) = −3𝑥 f) 𝑓₆ = ⁵₆𝑥 − 1

c) 𝑓₃(𝑥) = −𝑥 + 4 g) 𝑓₇ = 0,5𝑥 − 3

d) 𝑓₄(𝑥) = −²₇𝑥 + 5 h) 𝑓₈ = −0,2𝑥 − 6