Maschinelle Repräsentation

Was bisher geschah

I Motivation, Beispiele

I geometrische Objekte imR²:

Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon

I maschinelle Repräsentation geometrischer Objekte

effiziente Algorithmen und Datenstrukturen zur Berechnung

I der konvexen Hülle conv(P)endlicher Punktmengen P ⊆R²

I aller Schnittpunkte aller Strecken aus einer endlichen Menge von Strecken imR²

Motivation

Art Gallery Problem (Wächterproblem):

Überwachung eines Museums (evtl. mit stark verwinkelten Räumen) durch möglichst wenige Kameras (omnidirektional)

I gegeben: Grundriss des Museums

begrenzt durch einfachen geschlossenen Polygonzug

I gesucht: Menge (minimaler Mächtigkeit) von Positionen der Überwachungskameras

Abschätzung der notwendigen Kameraanzahl

Beobachtung:

Jedes Dreieck lässt sich durch eine Kamera überwachen

Idee:

I Zerlegung des Polygons in Dreiecke

I |Kameras| ≤ |Dreiecke|

AG-AufgabeTriangulierung

Triangulierung einfacher Polygone

einfaches Polygon P:

durch einen geschlossenen Polygonzug, deren nicht benachbarte Kanten keinen gemeinsamen Punkte enthalten, begrenztes Gebiet imR² Repräsentation als GraphP= (V,E)(Kreis) Diagonale in einem einfachen PolygonP:

vollständig inP enthaltene Strecke zwischen zwei Ecken vonP

Triangulierung eines einfachen PolygonsP= (V,E):

Zerlegung vonPin Dreiecke durch maximale Menge (bzgl.⊆) von Diagonalen, die einander paarweise nicht schneiden

(GraphT = (V⁰,E⁰)mitV⁰ =V undE ⊆E⁰ )

Maschinelle Repräsentation

Begrenzung von Polygonen und Triangulierungen sind planare GraphenP= (V,E).

Begrenzung von Polygonen: Kreise

maschinelle Repräsentation von Kreisen(V,E)als

I einfach verkettete Liste von Ecken (oder Kanten) z.B. als Ergebnis der Berechnung der konvexen Hülle (Angabe der Durchquerungsrichtung wichtig)

I doppelt verkettete Liste von Ecken oder Kanten (Angabe der Durchquerungsrichtung wichtig) Vereinbarung: Kantee_i = (v_i,v_i+1)

Transformation der einfach in eine doppelt verkettete Liste in O(|V|)möglich.

maschinelle Repräsentation planarer Graphen als doppelt verkettete Liste von Kanten

Anzahl der Dreiecke in Triangulierungen

Satz

I Jedes einfache Polygon hat wenigstens eine Triangulierung.

I Jede Triangulierung eines einfachen Polygons mit n Ecken besteht aus n−2Dreiecken.

Beweis durch Induktion übern

Kamerapositionen in Triangulierungen

Beobachtungen:

I Jede Kamera auf einer Diagonalen überwacht (wenigstens) zwei Dreiecke.

I Jede Kamera in einer Eckep des Polygons überwacht (wenigstens) alle Dreiecke mit Eckep.

Bestimmung der Kamerapositionen bei gegebener TriangulierungT vonP:

1. 3-Färbung der Ecken der TriangulierungT = (V⁰,E⁰) Wie ?

2. Bestimmung der am seltensten vorkommenden Farbec (höchstensbn/3cEcken haben Farbec)

3. Kamerapositionen: Ecken mit Farbec Anzahl der Kameras≤ bn/3c(optimal)

Triangulierung – Schritte

I gegeben: einfaches PolygonP

I gesucht: TriangulierungT vonP Beobachtung:

Konvexe Polygone lassen sich einfach triangulieren.

Wie? Laufzeit?

Idee:

Triangulierung beliebiger einfacher PolygoneP in zwei Schritten

1. Zerlegung vonP in MengeP⁰einfach triangulierbarer Polygone

2. (einfache) Triangulierung aller Polygone inP⁰ Problem: Zerlegung in konvexe Polygone aufwendig

Monotone Polygone

PolygonP heißtmonoton(y-monoton) gdw.

∀y ∈R:P∩ {(x,y)|x ∈R}(Schnitt vonPmit horizontaler Linie) ist zusammenhängend (also Strecke, Punkt oder leer)

Idee: Triangulierung vonPin zwei Schritten

1. Zerlegung vonP in MengeP⁰monotone Polygone 2. (einfache) Triangulierung aller monotonen Polygone inP⁰

Triangulierung monotoner Polygone

Idee:

falls möglich, Diagonalen zwischen Paaren aus je einer Ecke auf demrechten Randund demlinken Randeinfügen

Problem bei Ecken mit Innenwinkeln> π

Sweep-Line-Algorithmus (absteigendey-Koordinate)

I Ereignisse:

geordnete Liste aller Ecken des Polygons

I Zustand:

Verwaltung der Ecken oberhalb der Sweep-line, die noch Eckpunkte neuer Diagonalen werden könnten, als Stack

Triangulierung monotoner Polygone

Algorithmus : Triangulierung-monoton

Eingabe: monotones PolygonP= (VP,EP)(als doppelt verkettete Liste) Ausgabe: TriangulierungTvonP(als doppelt verkettete Liste)

T←P,E = [v1, . . . ,vn]←Vp(sortierte Liste oder PQ) S← ∅,S←push(S,v1),S←push(S,v2)(Zustand, Stack) für jedesj←3, . . . ,n−1:

wenn vjund top(S)auf verschiedenen Randseitendann solange pop(S)6=∅:

p←top(S),S←pop(S)

T ←T∪(p,vj)(Diagonalen hinzufügen) S←pop(S),S←push(vj−1),S←push(vj) sonst

p←top(S),S←pop(S)

solangeS6=∅und Diagonale(vj,top(S))innerhalb P: p←top(S),S←pop(S)

T ←T∪(p,vj)(Diagonalen hinzufügen) S←push(p),S←push(vj)

S←pop(S)

solangepop(S)6=∅:

p←top(S),S←pop(S),T←T∪(p,vn)(Diagonalen hinzufügen)

Zerlegung in y -monotone Polygone

Beobachtung:

In nichty-monotonen PolygonenP

(dargestellt als Kreis(V,E)) existierenturn points, d.h. Eckenp∈V, in denen sich die

Richtung (nach oben, nach unten) ändert

Idee zur Zerlegung beliebiger einfacher PolygoneP in y-monotone Polygone:

Zerlegung der Winkel an den turn points inV durch Hinzufügen geeigneter Diagonalen

Zerlegung in y -monotone Polygone

Klassifikation der turn pointsq in einem PolygonP= (V,E) abhängig von

I y-Koordinaten vonpund seinen Nachbar-Eckenq,r

I Winkelϕzwischenpqundqr innerhalb des Polygons Klassen von turn points

start :p,r beide unterhalbqundϕ < π end :p,r beide oberhalbq undϕ < π split :p,r beide unterhalbq undϕ > π merge :p,r beide oberhalbq undϕ > π alle übrigen Ecken heißen regulär

Problem nur bei turn poins mitϕ > π

Sweep-line-Algorithmus

I gegeben: einfaches PolygonP

I gesucht: TriangulierungT vonP

Idee: Sweep-line-Algorithmus (fallendey-Koordinate) mit Ereignisse: geordnete Menge aller Ecken vonP

(PQ oder sortierte Liste)

Zustand: nachx-Koordinate geordnete Menge von Paaren

I KantesausP

I Helfer-Punkthszur Kantes:

zuletzt gefundener nächster Punkt rechts von der Seite sim Inneren des Polygons,

potentieller Endpunkt einer Diagonalen zur Trennung eines turn points oberhalb oder unterhalb der aktuellen Sweep-line (balancierter Suchbaum)

Zerlegung in monotone Polygone

Algorithmus : Mono

Eingabe: PolygonPals doppelt verkettete Liste von Kanten Ausgabe: ZerlegungP⁰ vonPals doppelt verkettete Liste von

Kanten

P⁰←P (doppelt verkettete Liste von Kanten) E ← ∅(Priority queue oder sortierte Liste) Z ← ∅(binärer Suchbaum)

für jedess∈P :

E ←E ∪ {s_a,s_b}mity-Koordinate als Priorität solangeE 6=∅:

p←max(E) E ←E \ {p}

(E,Z)←Mono-Ereignisbehandlung(p,E,Z)

Mono-Ereignisbehandlung

Mono-Ereignisbehandlung(p,E,Z)

abhängig vom Eckentyp des Ereignissesp=vi

start : Kanteei(= (vi,vi+1)) mit Helferhe_j =viinZeinfügen end : Kanteei−1(= (vi−1,vi)) ausZ löschen

fallshe_i−1merge-Punkt: Diagonale(vi,he_i−1)inP⁰einfügen split : Kanteejdirekt links vonviinZ finden

Diagonale(vi,he_j)inP⁰einfügen

he_j ←vi(Helfer für Kanteejaktualisieren) Kanteeimithe_i =vi inZ einfügen merge : Kanteei−1ausZ löschen

fallshe_i−1merge: Diagonale(vi,he_i−1)inP⁰einfügen Kanteejdirekt links vonvi inZ finden

fallshe_j merge: Diagonale(vi,he_j)inP⁰einfügen he_j ←vi(Helfer für Kanteejaktualisieren) regulär : falls Inneres vonPrechts vonvi:

fallshe_i−1merge: Diagonale(vi,he_i−1)inP⁰einfügen, ei−1ausZlöschen undeimit Helferhe_i←viinZ einfügen sonst (Inneres vonPlinks vonvi):

Kanteejdirekt links vonvi inZ finden und

fallshe_j merge: Diagonale(vi,he_j)inP⁰einfügen und

Triangulierung – Laufzeit

Triangulierung beliebiger einfacher PolygoneP mitnEcken in zwei Schritten:

1. Zerlegung vonP in MengeP⁰monotoner Polygone O(nlogn)(für Sortieren / Verwaltung der Ereignismenge) 2. (einfache) Triangulierung aller Polygone inP⁰

O(m_i)je PolygonP_i ∈P⁰ (insgesamtO(n) =P

Pi∈P⁰O(m_i)

Ordnung der Ereignisse (Ecken inP⁰) kann aus vorigem Schritt übernommen werden (kein erneutes Sortieren notwendig)

GesamtlaufzeitO(nlogn)