Erzeuger
Seieng1, . . . ,gr∈G. Die von dengierzeugte UntergruppeU vonG besteht aus allen Elementen vonG, die durch Verkn ¨upfung und Inversion aus dengierhalten werden k ¨onnen.
SchreibweiseU =hg1, . . . ,gri.
Aquivalent kann¨ U als der Schnitt aller Untergruppen vonGdefiniert werden, welche diegienthalten.
Ist die von dengierzeugte Untergruppe gleichG, so heißen diegiein Erzeugendensystem vonG.
GiltG=hg1, . . . ,grimitr<∞, so heißtGendlich erzeugt.
GiltG=hgi, so heißtGzyklisch.
Homomorphismen sind bereits durch ihre Bildwerte auf Erzeugern definiert.
3 25. Mai 2004
Ordnungen
SeiGeine Gruppe unda∈G. Dann heißt#haidie Ordnung vona.
Es gilta#hai=eund#hai |#Gnach Lagrange.
Thm (Fermat): IstGendlich, so gilta#G=ef ¨ura∈G.
Bew: Es gilta#G= (a#hai)#G/#hai=e#G/#hai=e.
Thm: Ist#Gprim, so istGzyklisch.
Bew: F ¨ura∈G\{e}folgt#hai>1und#hai |#G, also#hai= #G.
Thm: SindU,V Untergruppen vonGmit teilerfremden Ordnungen, so giltU∩V={e}.
Bew:#(U∩V)|gcd{#U,#V}= 1.
Isomorphiesatz
Thm: Ist f :G→H ein Homomorphismus, so isth:G/ker(f)→im(f), xker(f)7→ f(x)ein Isomorphismus.
Bew: Wegen f(xn) = f(x)f ¨ur allen∈ker(f)isthwohldefiniert.
Außerdem ist es auch surjektiv. Wegenxker(f)·yker(f) = (xy) ker(f) ergibt sichh(x)h(y) =h(xy), also isthein Homomorphismus. Ferner folgt aush(xker(f)) =f(x) = 1H, daßx∈ker(f)ist, alsoxker(f) = ker(f).
Daher isthauch injektiv.
1 25. Mai 2004
Direktes Produkt
SeienGundH Gruppen. Dann inG×H koordinatenweise die Gruppengesetze definieren:(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2).
Einheitselement(1G,1H).
Damit wirdG×H zur Gruppe.
EinbettungG→G×H,x7→(x,1H)vonGist Monomorphismus.
ProjektionG×H→G,(x,y)7→xaufGist Epimorphismus.
Kern der Projektion aufGist Untergruppe{1G} ×HvonG×H.
Exponentiation in Gruppen
Wiegneffizient ausrechnen? Z.B. f ¨urn= 27354268183173165356.
Schreiben=∑ki=0ri2i,ri∈ {0,1}. Danngn=∏ri6=0g2i=g(···(rk2+rk−1)2+···)2+r0. Eingabe:gundn≥0.
Ausgabe:gn.
1. Wennn= 0dann Ausgabe von1.
2. Berechne rekursivb←gndiv2. Berechneb←b2. 3. Wennnungerade, dannb←bg.
4. Ausgabe vonb.
Aufwand≤2 log2(n) + 2Operationen (Quadrieren und Multiplizieren).
Von diesem Verfahren gibt es einige Varianten (mit vorberechneter Tabelle, links-rechts, rechts-links, sliding windows,. . .).
7 25. Mai 2004
Ringe
SeiReine Menge,+ :R×R→R,·:R×R→R. Es gebe0,1∈Rmit
•(R,+)ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element0.
•(R\{0},·)ist eine Halbgruppe mit neutralem Element1.
•Distributivgesetz:(a+b)c=ac+bcundc(a+b) =ca+cbf ¨ur alle a,b,c∈R.
Dann heißtRein Ring mit Nullelement0und Einselement1.
In einem Ring gilt:
1.0x=x0 = 0, denn wegen0 + 0 = 0folgt0x= (0 + 0)x= 0x+ 0xund damit 0x= 0durch K ¨urzen. Analog geht man f ¨urx0vor.
2.(−x)y=x(−y) =−(xy), dennxy+ (−x)y= (x−x)y= 0y= 0, und analog mitx(−y).
3.(−x)(−y) =xy, denn(−x)(−y) =−(−x)y=−(−(xy)) =xy.
8 25. Mai 2004
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
SeiGeine endlich erzeugte abelsche Gruppe.
Thm (Version 1): Es gibt ein eindeutig bestimmtesnund eindeutig bestimmteci∈Z≥0mitci|ci+1f ¨ur1≤i≤n−1, so daß gilt:
G∼=
n
∏
i=1
Z/ciZ.
Thm (Version 2): Es gibt Primzahlenpiund Exponentenei≥1, so daß G∼=
m
∏
i=1
Z/peiiZ
gilt. Die Paare(pi,ei)sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Bemerkung: Die ¨Aquivalenz von Version 1 und 2 beruht auf dem chinesischen Restsatz.
5 25. Mai 2004
Beispiel
G=Z,H=Z/25Z, f :Z→Z/25ZRestklassenhomomorphismus.
IsomorphiesatzZ/ker(f)∼=Z/25Z. Ist hier klar.
Ein direktes ProduktZ/3Z×Z×5Z.
Erzeuger:(1 + 3Z,0,0),(0 + 3Z,1,0),(0 + 3Z,0,5).
Ist nicht zyklisch.
Z/5Zhat Erzeuger1 + 5Z. Ist zyklisch.
Z/2Z×Z/3Zist auch zyklisch (!):
Erzeuger(1 + 2Z,1 + 3Z).
Als Gruppen sindZund5Zunterx7→5xisomorph.
F ¨ur einen endlichen K ¨orperFqgiltF×q ∼=Z/(q−1)Z.
6 25. Mai 2004
Homomorphismen
SeienR,SRinge und f :R→S. Gilt f(a+b) =f(a) +f(b)und f(ab) =f(a)f(b)und f(1R) = 1Sf ¨ur allea,b∈R, so heißt f ein Homomorphismus.
Epimorphismus = surjektiv.
Monomorphismus = injektiv.
Isomorphismus = bijektiv.
Endomorphismus =S=R.
Automorphismus =S=Rund bijektiv.
Es gilt wie eben:
• f(0R) = 0S, f(1R) = 1S.
• f(−a) =−f(a), f(a−1) = f(a)−1, wenna−1existiert.
11 25. Mai 2004
Unterringe, Ideale, Kern, Bild
SeiRein Ring undU⊆Rein Ring. Stimmen Addition und
Multiplikation vonU mit derR ¨uberein und gilt1U= 1R, so heißtU ein Unterring vonR.
SeiI⊆R. Wir schreibenRI=∑a∈IRa={∑ni=0riai|ri∈R,ai∈I,n∈Z≥0}.
GiltRI=I, so heißtIein Ideal vonR.
F ¨ur einen Homomorphismus f :R→Sdefinieren wir ker(f) =f−1({0S}). Dies ist ein Ideal vonR.
•Sindai∈ker(f)undri∈R, so gilt f(∑iriai) =∑if(ri)f(ai) = 0, also
∑iriai∈ker(f)undRker(f) = ker(f).
Ahnlich ist im(¨ f) = f(R)ein Unterring vonS.
Ringe, K ¨orper
Ist(R\{0},·)abelsch, so heißtRkommutativ. Wir betrachten ab jetzt nur kommutative Ringe.
Die Elemente vonR\{0}, die in(R\{0},·)invertierbar sind, heißen Einheiten vonRund bilden eine Gruppe, die mitR×bezeichnet wird.
Sinda,b∈R\{0}undc=ab, so nennen wira,bTeiler voncund schreibena|cundb|c. Giltc= 0, so heißenaundbNullteiler.
IstRkommutativ und hat keine Nullteiler, so heißtRein Integrit ¨atsring.
IstRkommutativ und jedes Element ungleich Null invertierbar - also R×=R\{0}, so heißtRein K ¨orper. Ein K ¨orper ist auch ein
Integrit ¨atsring (wegena= (ab)b−1= 0f ¨urab= 0).
9 25. Mai 2004
Ringe, K ¨orper
BeispielZ:
•Z×={−1,1}.
•Keine Nullteiler.
BeispielZ/6Z:
•Nullteiler(2 + 6Z)·(3 + 6Z) = 0 + 6Z.
Beispiel:R,C,Q,Fp=Z/pZf ¨ur pprim.
Direktes Produkt
SindR,SRinge, so k ¨onnen wirR×Sdurch
(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+b1,a2+b2)und(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2)zu einem Ring machen.
Das Nullelement und Einselement sind hier(0,0)bzw.(1,1).
Die Einheiten vonR×Ssind genau die Paare, welche an der ersten und zweiten Koordinate eine Einheit zu stehen haben. Als Formel gilt also(R×S)×=R××S×.
15 25. Mai 2004
Euklidische Ringe
SeiRein Integrit ¨atsring. Man nenntReinen euklidischen Ring, wenn es eine Gradfunktiond:R\{0} →Z≥0mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zua,b∈Rundb6= 0gibt ess,r∈Rmita=sb+rundr= 0oder d(r)<d(b)(Division mit Rest).
Beispiele:
•Zmit der Gradfunktion| · |.
•k[x]mit der Gradfunktiondeg.
•Jeder K ¨orper mit der konstanten Gradfunktion1.
16 25. Mai 2004
Faktorring
SeiRein Ring undIein Ideal vonR.
BezeichneR/I zun ¨achst die Faktorgruppe der additiven GruppenR undI.
F ¨ura+Iundb+Idefinieren wir(a+I)·(b+I) =ab+I.
Dies ist wohldefiniert:
•F ¨ura0+I=a+I undb0+I=b+I gibt esi1,i2∈Imita0=a+i1und b0=b+i2. Dann gilta0b0=ab+ai2+bi1+i1i2∈ab+Iaufgrund der Idealeigenschaft, alsoa0b0+I=ab+I.
Einselement ist1R+I.
Damit wirdR/Izu einem Ring und f :R→R/I,x7→x+Izu einem Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).
Beispiel:R=ZundI= 5Z.Iist ein Ideal, undR/I=F5 der Faktorring.
13 25. Mai 2004
Isomorphiesatz
Thm: Ist f :R→Sein Homomorphismus, so isth:R/ker(f)∼=im(f), x+ ker(f)7→f(x)ein Isomorphismus.
Bew: Fassen wirRundSnur als additive abelsche Gruppen auf, ist der Satz bereits bewiesen. Wir m ¨ussen daher nur noch die
Multiplikativit ¨at vonh ¨uberpr ¨ufen. Wegen
(x+ ker(f))(y+ ker(f)) = (xy+ ker(f))folgt diese direkt aus der Multiplikativit ¨at von f.
14 25. Mai 2004
Euklidischer Algorithmus
Es gilt stets(u1,u2) = (a1,a2)MundMist invertierbar inR2×2, da jede einzelne Transformation im Algorithmus invertierbar ist. Daher gilt stets(a1,a2) = (u1,u2)M−1mitM−1∈R2×2undRu1+Ru2=Ra1+Ra2. Der Algorithmus terminiert, da in Schritt 4 der Wertd(r)echt kleiner ist als der Wertd(u2), außer wennu1= 0.
F ¨uru1= 0folgtRu2=Ra1+Ra2, und folglich istu2von der Form u2=λ1a1+λ2a2mitu2|a1undu2|a2.
19 25. Mai 2004
Euklidische Ringe
SeiRein euklidischer Ring mit Gradfunktiond.
Thm: F ¨ur jedes IdealIvonRgibt es einb∈RmitI=Rb(das heißtI ist ein Hauptideal).
Bew: Ein Elementb∈Imit dem kleinstend-Wert ist ein Erzeuger, da es jedes weitere Elementa∈Iteilt. Sonst h ¨atter=a−sb∈I n ¨amlich einen kleinerend-Wert.
Sinda1,a2∈R, so gibt es daher einc∈RmitRc=Ra1+Ra2. Es gibt alsoλ1,λ2∈Rmitc=λ1a1+λ2a2 undc|a1,c|a2. Die Elementeλi k ¨onnen mit dem euklidischen Algorithmus ausgerechnet werden.
Die Verallgemeinerung aufnElementeaiist induktiv m ¨oglich.
17 25. Mai 2004
Euklidischer Algorithmus
Eingabe:a1unda2ausR.
Ausgabe:c,λ1,λ2∈Rmitc=λ1a1+λ2a2 undc|a1,c|a2. 1.(u1,u2)←(a1,a2),M←
1 0
0 1
. Im folgenden zus ¨atzlichd(0) =−∞.
2. Wennd(u1)>d(u2), dann vertauscheu1,u2und die Spalten vonM.
3. Wennu1= 0, dann schreibeM= ∗ λ1
∗ λ2
. Ausgabe vonu2,λ1,λ2. 4. Schreibeu2=su1+r. Setzeu2←rund subtrahiere dass-fache der
ersten Spalte vonMvon der zweiten Spalte.
5. Gehe zu 2.
