Ringe, K ¨ orper
BeispielZ:
•Z×={−1,1}.
•Keine Nullteiler.
BeispielZ/6Z:
•Nullteiler(2 + 6Z)·(3 + 6Z) = 0 + 6Z.
Beispiel:R,C,Q,Fp=Z/pZf ¨ur pprim.
3 20. November 2007
Homomorphismen
SeienR,SRinge und f : R→S. Gilt f (a + b) = f (a) + f (b)und f (ab) = f (a) f (b)und f (1R) = 1Sf ¨ur allea,b∈R, so heißt f ein Homomorphismus.
Epimorphismus = surjektiv.
Monomorphismus = injektiv.
Isomorphismus = bijektiv.
Endomorphismus =S = R.
Automorphismus =S = Rund bijektiv.
Es gilt wie eben:
• f (0R) = 0S, f (1R) = 1S(letzteres per Definition).
• f (−a) =−f (a), f (a−1) = f (a)−1, wenna−1existiert.
4 20. November 2007
Ringe
SeiReine Menge,+ : R×R→R,·: R×R→R. Es gebe0,1∈Rmit
•(R,+)ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element0.
•(R,·)ist eine Halbgruppe mit neutralem Element1.
•Distributivgesetz:(a + b)c = ac + bcundc(a + b) = ca + cbf ¨ur allea,b,c∈R.
Dann heißtRein Ring mit Nullelement0und Einselement1.
In einem Ring gilt:
1.0x = x0 = 0, denn wegen0 + 0 = 0folgt0x = (0 + 0)x = 0x + 0xund damit 0x = 0durch K ¨urzen. Analog geht man f ¨urx0vor.
2.(−x)y = x(−y) =−(xy), dennxy + (−x)y = (x−x)y = 0y = 0, und analog mitx(−y).
3.(−x)(−y) = xy, denn nach 2. gilt(−x)(−y) =−(−x)y =−(−(xy)) = xy.
1 20. November 2007
Ringe, K ¨ orper
Ist(R,·)abelsch, so heißtRkommutativ. Wir betrachten ab jetzt nur kommutative Ringe.
Ein Elementa∈Rheißt eine Einheit vonR, wenn esb∈Rmitab = 1 gibt. Die Menge der EinheitenR×vonRbildet eine Gruppe bzgl.·.
Sinda,b∈R\{0}undc = ab, so nennen wira,bTeiler voncund schreibena|cundb|c. Giltc = 0, so heißenaundbNullteiler.
IstRkommutativ und hat keine Nullteiler, so heißtRein Integrit ¨atsring.
IstRkommutativ undR×= R\{0}, so heißtRein K ¨orper.
Ein K ¨orper ist auch ein Integrit ¨atsring (wegena = (ab)b−1= 0f ¨ur ab = 0).
2 20. November 2007
Isomorphiesatz
Thm: Ist f : R→Sein Homomorphismus, so isth : R/ker( f )∼=im( f ), x + ker( f )7→f (x)ein Isomorphismus.
Bew: Fassen wirRundSnur als additive abelsche Gruppen auf, ist der Satz bereits bewiesen. Wir m ¨ussen daher nur noch die
Multiplikativit ¨at vonh ¨uberpr ¨ufen. Es gilth((x + ker( f ))(y + ker( f ))) = h(xy + ker( f )) = f (xy) = f (x) f (y) = h(x + ker( f ))h(y + ker( f )).
7 20. November 2007
Direktes Produkt
SindR,SRinge, so k ¨onnen wirR×Sdurch
(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1,a2+ b2)und(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2)zu einem Ring machen.
Das Nullelement und Einselement sind hier(0,0)bzw.(1,1).
Die Einheiten vonR×Ssind genau die Paare, welche an der ersten und zweiten Koordinate eine Einheit zu stehen haben. Als Formel gilt also(R×S)×= R××S×.
8 20. November 2007
Unterringe, Ideale, Kern, Bild
SeiRein Ring undU⊆Rein Ring. Stimmen Addition und
Multiplikation vonU mit derR ¨uberein und gilt1U= 1R, so heißtU ein Unterring vonR.
SeiI⊆R. Wir schreibenRI =∑a∈IRa ={∑ni=0riai|ri∈R,ai∈I,n∈Z≥0}. GiltRI = I, so heißtIein Ideal vonR.
I,JIdeale⇒I + J :={a + b|a∈I,b∈J}Ideal.
F ¨ur einen Homomorphismus f : R→Sdefinieren wir ker( f ) = f−1({0S}). Dies ist ein Ideal vonR.
•Sindai∈ker( f )undri∈R, so gilt f (∑iriai) =∑if (ri) f (ai) = 0, also
∑iriai∈ker( f )undR ker( f ) = ker( f ).
Ahnlich ist im( f ) = f (R)¨ ein Unterring vonS.
5 20. November 2007
Faktorring
SeiRein Ring undIein Ideal vonR.
BezeichneR/I zun ¨achst die Faktorgruppe der additiven GruppenR undI.
F ¨ura + Iundb + I definieren wir(a + I)·(b + I) = ab + I.
Dies ist wohldefiniert:
•F ¨ura′+ I = a + I undb′+ I = b + I gibt esi1,i2∈Imita′= a + i1und b′= b + i2. Dann gilta′b′= ab + ai2+ bi1+ i1i2∈ab + Iaufgrund der Idealeigenschaft, alsoa′b′+ I = ab + I.
Einselement ist1R+ I.
Damit wirdR/I zu einem Ring und f : R→R/I,x7→x + I zu einem Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).
Beispiel:R =ZundI = 5Z.Iist ein Ideal, undR/I =F5 der Faktorring.
6 20. November 2007
Euklidischer Algorithmus
Eingabe:a1unda2ausRmita1a26= 0.
Ausgabe:c,λ1,λ2∈Rmitc =λ1a1+λ2a2 undc|a1,c|a2. 1.(u1,u2)←(a1,a2),M←
1 0
0 1
. Im folgenden zus ¨atzlichd(0) =−∞.
2. Wennd(u1)>d(u2), dann vertauscheu1,u2und die Spalten vonM.
3. Wennu1= 0, dann schreibeM = ∗ λ1
∗ λ2
. Ausgabe vonu2,λ1,λ2. 4. Schreibeu2= su1+ r. Setzeu2←rund subtrahiere dass-fache der
ersten Spalte vonMvon der zweiten Spalte.
5. Gehe zu 2.
11 20. November 2007
Euklidischer Algorithmus
Es gilt stets(u1,u2) = (a1,a2)M undMist invertierbar inR2×2, da jede einzelne Transformation im Algorithmus invertierbar ist. Daher gilt stets(a1,a2) = (u1,u2)M−1mitM−1∈R2×2undRu1+ Ru2= Ra1+ Ra2. Der Algorithmus terminiert, da in Schritt 4 der Wertd(u1) + d(u2)echt kleiner wird und somit irgendwannu2= 0wird.
F ¨uru1= 0folgtRu2= Ra1+ Ra2, und folglich istu2von der Form u2=λ1a1+λ2a2mitu2|a1undu2|a2.
12 20. November 2007
Euklidische Ringe
SeiRein Integrit ¨atsring. Man nenntReinen euklidischen Ring, wenn es eine Gradfunktiond : R\{0} →Z≥0mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zua,b∈Rundb6= 0gibt ess,r∈Rmita = sb + rundr = 0oder d(r)<d(b)(Division mit Rest).
Beispiele:
•Zmit der Gradfunktion| · |.
•k[x]mit der Gradfunktiondeg.
•Jeder K ¨orper mit der konstanten Gradfunktion1.
Notation:s = a div bundr = a mod b(sofernsundrdurch eine Zusatzregel eindeutig bestimmt sind).
9 20. November 2007
Euklidische Ringe
SeiRein euklidischer Ring mit Gradfunktiond.
Thm: F ¨ur jedes IdealIvonRgibt es einb∈RmitI = Rb(das heißtI ist ein Hauptideal).
Bew: Ein Elementb∈I\{0}mit dem kleinstend-Wert ist ein
Erzeuger, da es jedes weitere Elementa∈Iteilt. Sonst h ¨atte der Rest r = a−sb∈I\{0}n ¨amlich einen kleinerend-Wert.
Sinda1,a2∈R, so gibt es daher einc∈RmitRc = Ra1+ Ra2. Es gibt alsoλ1,λ2∈Rmitc =λ1a1+λ2a2undc|a1,c|a2. Die Elementeλi
k ¨onnen mit dem euklidischen Algorithmus ausgerechnet werden.
Die Verallgemeinerung aufnElementeaiist induktiv m ¨oglich.
10 20. November 2007
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Seic = a1a2/gcd{a1,a2}=∏ipmax{vi pi(a1),vpi(a2)}.
•Es gilta1|cunda2|cund f ¨ur jedesd∈Rmita1|dunda2|dfolgt c|d. Damit istcein kleinstes gemeinsames Vielfaches vona1und a2, geschriebenc =lcm{a1,a2}.
•Es gilt entsprechendRlcm{a1,a2}= Ra1∩Ra2.
•Sinda1unda2teilerfremd, so folgtRa1∩Ra2= Ra1a2. Mehrfache Anwendung:
•R gcd{a1, . . . ,an}= Ra1+· · ·+ Ran,Rlcm{a1, . . . ,an}= Ra1∩ · · · ∩Ran.
•a1, . . . ,anpaarweise teilerfremd, dann
Rlcm{a1, . . . ,an}= Ra1∩ · · · ∩Ran= Ra1· · ·Ran= R(a1· · ·an).
Beweis induktiv f ¨ur jeweils zwei Elemente, daa1· · ·aiteilerfremd zu ai+1ist, alsoRa1∩ · · · ∩Rai∩Rai+1= R(a1· · ·ai)∩Rai+1= R(a1· · ·aiai+1) gilt.
15 20. November 2007
Beispiele
InZgiltZ×={−1,1}. Die Primelemente sind±2,±,3,±5, . . .. Ink[x]giltk[x]×= k×. Die Primelemente vom Grad eins sindu(x−x0) f ¨uru∈k×undx0∈k.
InF2[x]istx2+ x + 1ein Primelement vom Grad zwei.
InZist±6ein ggT und±210ein kgV von42und30.
Ink[x]giltvx+1(x2−1) = 1undvx(x2−1) = 0.
Es gilt3Z+ 2Z=Zund2Z∩3Z= 2Z·3Z= 6Z.
16 20. November 2007
Primelemente und Faktorisierung
Seic∈R\({0} ∪R×). Folgt ausc|(ab)bereitsc|aoderc|bf ¨ur alle a,b∈R, so heißtcPrimelement vonR. Folgt ausc = abbereitsa∈R× oderb∈R×, so heißtcirreduzibel.
Thm: SeiReuklidisch.
i) Die Menge der Primelemente ist gleich der Menge der irreduziblen Elemente.
ii) F ¨ur jedesa∈R\{0}gibt esu∈R×, Primelemente piundei∈Z≥1mit a = u
∏
n i=1peii.
Dieeiund pi(bis auf Elemente inR×) sind eindeutig bestimmt.
Wir erhalten Funktionenvpi: R\{0} →Zmitvpi(a) = ei.
13 20. November 2007
Gr ¨ oßter gemeinsamer Teiler
Seic =λ1a1+λ2a2die Ausgabe des euklidischen Algorithmus.
•Es giltRc = Ra1+ Ra2, also speziellc|a1undc|a2.
•F ¨urd|a1undd|a2gilt wegenc =λ1a1+λ2a2auchd|c. Daher istc ein gr ¨oßter gemeinsamer Teiler vona1unda2, geschrieben c = gcd{a1,a2}.
•Andererseits giltgcd{a1,a2}=∏ipmin{vi pi(a1),vpi(a2)}, wenn die pidie in a1a2vorkommenden Primelemente bezeichnen.
•Es giltR gcd{a1,a2}= Ra1+ Ra2.
Zwei Elementea,b∈Rheißen teilerfremd, wenngcd{a,b}= 1oder
¨aquivalenterweiseR = Ra + Rb.
gcd{a1,a2}ist (eigentlich) nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.
14 20. November 2007