SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 6
Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 1.6.2004, vor den ¨Ubungen 1. Es sei K ein K¨orper undA∈Kz×s, B ∈Ks×r. Zeigen Sie.
(i) Rang(A·B)≤min{Rang(A),Rang(B)}.
(ii) In obiger Ungleichung kann sowohl
”<“ als auch
”= “ stehen.
(3+2 P.) 2. Bestimmen Sie jeweils den Rang der Matrix A.
(i) A:=
1 1 1 1
a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3
∈R4×4, wobei a, b, c, d∈R.
(ii) A:=
2 3 2 1 2 2 1 1 2 3 2 0 3 5 0 1
∈F74×4.
(iii) A:=
θ 2 θ4 θ3 θ 1 2 θ θ3
∈F93×3, wobei θ2+θ+ 2 = 0.
(3+2+2 P.) 3. Es seiϕ :V →W eine lineare Abbildung zwischenK-Vektorr¨aumen, wobei dimV = dimW <∞. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen ¨aquivalent sind.
(i) ϕ ist Isomorphismus.
(ii) ϕ ist injektiv.
(iii) ϕ ist surjektiv.
(3 P.) 4. Es sei K ein K¨orper und A ∈Kn×n eine quadratische Matrix. Zeigen Sie,
daß folgende Aussagen ¨aquivalent sind.
(i) RangA=n.
(ii) A ist invertierbar.
(iii) Es gibt eine Matrix B ∈Kn×n so, daßA·B =In. (iv) Es gibt eine Matrix B ∈Kn×n so, daßB ·A=In.
(4 P.)
5. Es seien
U :=h
2 3 1
,
1 4 2
i, V :=h
6 8 3
,
1 2 1
i
Unterr¨aume desR3. Bestimmen Sie Basen von U ∩V und U +V.
(5 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la
Tutoriumsaufgaben:
1. Es seien
V :={p∈R[x]| Gradp≤n}, ϕ:V →V, p7→p′+p′′′ , wobein ∈N. Bestimmen Sie dim Bild(ϕ).
2. Bestimmen Sie jeweils den Rang der Matrix.
(i) A:=
a b · · · b ... ... ... ...
... . .. b a · · · a
∈Kn×n, wobei a, b∈K.
(ii) A:=
η4 η3 η 1 η3 η 1 η4 η6 1 η3 η5
∈F83×4, wobei η3+η+ 1 = 0.
3. Es sei K ein K¨orper und A ∈ Kz×s. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen
¨aquivalent sind.
(i) RangA=z.
(ii) F¨ur jedes b∈Kz ist das Gleichungssystem Ax=b l¨osbar mit x∈Ks. (iii) Es gibt eine Matrix B ∈Ks×z so, daßA·B =Iz.
