Definition. Sei K ein K¨ orper. Ein rechteckiges Schema

(1)

Matrizen - I

Definition. Sei K ein K¨ orper. Ein rechteckiges Schema

A =



 



a

₁₁

a

₁₂

. . . a

_1n

a

₂₁

a

₂₂

. . . a

_2n

. . . . . .

a

_m1

a

_m2

. . . a

_mn



 



wobei a

_ij

∈ K heißt Matrix bzw. eine m × n Matrix (mit Elementen aus K ).

Die Elemente a

_ij

einer Matrix heißen auch Komponenten der Matrix.

F¨ ur jedes i ∈ { 1, 2, ..., m } heißt a

i

= (a

i1

, a

i2

, . . . , a

in

)

die i-te Zeile von A bzw. der i-te Zeilenvektor von A.

F¨ ur jedes j ∈ { 1, 2, . . . , n } heißt

a

^j

=



 

 a

1j

a

2j

..

a

_mj



 



die j-te Spalte von A bzw. der j-te Spaltenvektor von A .

Somit:

• Eine m × n Matrix A hat also m Zeilen und n Spalten.

• Jede Zeile a

_i

einer m × n Matrix A kann als Element von K

ⁿ

aufgefaßt werden.

• Jede Spalte a

^j

einer m × n Matrix A kann als Element von K

^m

aufgefaßt werden.

• Das Element a

_ij

einer Matrix A ist jenes Element, welches in der

(2)

Definition. Eine m × n Matrix A = (a

_ij

) heißt quadratisch, wenn m = n .

Die Elemente a

11

, a

22

, . . . , a

nn

bilden dann die sog. Diagonalelemente (bzw. Hauptdiagonale) von A .

Gilt dar¨ uberhinaus a

_ij

= 0 f¨ ur i > j (bzw. i < j) , dann heißt die (quadratische) Matrix A eine obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix.

A heißt Diagonalmatrix, wenn A quadratisch ist und a

ij

= 0 f¨ ur i ̸ = j.

Bemerkung. Sei M (m × n; K ) die Menge aller m × n Matrizen mit Elementen aus K .

Folgende Operationen machen M (m × n; K ) zu einem K -Vektorraum:

F¨ ur A = (a

_ij

) und B = (b

_ij

) setze

A + B = (c

_ij

) mit c

_ij

= a

_ij

+ b

_ij

∀ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n λA = (d

_ij

) mit d

_ij

= λa

_ij

∀ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

Beispiel. K = R , m = 3 , n = 2 , λ = − 2 A =



 1 2 3 4 5 6



 , B =



 − 2 3 6 4 1 1



 ⇒ A + B =



 − 1 5 9 8 6 7



 und

λA =



 − 2 − 4

− 6 − 8

− 10 − 12





Der Nullvektor in M (m × n; K ) ist die Nullmatrix O (d.h. alle Matrixelemente sind 0) . Die inverse Matrix von A = (a

_ij

) bzgl. der Addition ist die Matrix − A = ( − a

ij

) .

F¨ ur jedes 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n sei E

_ij

jene Matrix, wo die ij-

te Komponente 1 ist und alle verbleibenden Komponenten Null sind.

(3)

Man sieht leicht, dass die Familie (E

_ij

) linear unabh¨ angig ist. F¨ ur eine beliebige Matrix A = (a

ij

) gilt oﬀenbar dann A =

∑

m i=1

∑

n j=1

a

ij

E

ij

, also ist die Familie E

_ij

auch ein Erzeugendensystem und damit eine Basis von M (m × n; K ) .

Somit ist dimM (m × n; K ) = m · n .

. . . .

Elementare Zeilenumformungen

Sei A = (a

ij

) eine m × n Matrix. Wir betrachten nun gewisse Umfor- mungen einer Matrix, bei der eine vorliegende Matrix in eine andere Matrix

¨

ubergef¨ uhrt wird. Dabei gibt es 4 Grundtypen:

I. Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ̸ = 0 :



 



∗ ∗

a

_i1

a

_i2

. . . a

_in

∗ ∗



 

 →



 



∗ ∗

λa

_i1

λa

_i2

. . . λa

_in

∗ ∗



 



II. Addition der j-ten Zeile zur i-ten Zeile :



 



∗

a

_i1

a

_i2

. . . a

_in

∗

a

j1

a

j2

. . . a

jn

∗



 

 →



 



∗

a

_i1

+ a

_j1

a

_i2

+ a

_j2

. . . a

_in

+ a

_jn

∗

a

j1

a

j2

. . . . a

jn

∗



 



III. Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile, λ ̸ = 0 :

(4)



 



∗

a

_i1

a

_i2

. . . a

_in

∗

a

_j1

a

_j2

. . . a

_jn

∗



 

 →



 



∗

a

_i1

+ λa

_j1

a

_i2

+ λa

_j2

. . . a

_in

+ λa

_jn

∗

a

_j1

a

_j2

. . . . a

_jn

∗



 



IV. Vertauschen der i-ten Zeile mit der j-ten Zeile :



 



∗

a

_i1

a

_i2

. . . a

_in

∗

a

j1

a

j2

. . . a

jn

∗



 

 →



 



∗

a

_j1

a

_j2

. . . a

_jn

∗

a

i1

a

i2

. . . a

in

∗



 



Bemerkung. Die Umformungen III. und IV. ergeben sich durch wiederholte Anwendungen der Umformungen I. und II. .

III. :



 



∗ a

i

* a

_j

*



 

 →



 



∗ a

i

* λa

_j

*



 

 →



 



∗ a

i

+ λa

j

* λa

_j

*



 

 →



 



∗ a

i

+ λa

j

* a

_j

*



 



IV. :



 



∗ a

_i

* a

_j

*



 

 →



 



∗ a

_i

*

− a

_j

*



 

 →



 



∗ a

_i

* a

_i

− a

_j

*



 

 →



 



∗

a

_i

− (a

_i

− a

_j

)

* a

_i

− a

_j

*



 

 =

(5)



 



∗ a

_j

* a

_i

− a

_j

*



 

 →



 



∗ a

_j

* a

_i

*



 



Bemerkung. Auf analoge Weise kann man damit nat¨ urlich auch soge- nannte elementare Spaltenumformungen deﬁnieren.

Sei A eine m × n Matrix.

Durch die m Zeilen a

₁

, a

₂

, . . . , a

_m

erhalten wir m Vektoren des K

ⁿ

. Durch die n Spalten a

¹

, a

²

, . . . , a

ⁿ

erhalten wir n Vektoren des K

^m

.

Definition. Sei A eine m × n Matrix.

1) Der Zeilenraum von A ist ZR(A) = Span(a

₁

, . . . , a

_m

) ▹ K

ⁿ

. 2) Der Spaltenraum von A ist SR(A) = Span(a

¹

, . . . , a

ⁿ

) ▹ K

^m

. 3) (Zeilenrang , Spaltenrang)

Zeilenrang(A) = dim

_K

ZR(A) (ist stets ≤ min { m, n } ) Spaltenrang(A) = dim

_K

SR(A) (ist stets ≤ min { m, n } )

Lemma. Die Matrix B entstehe aus der Matrix A durch eine elementare Zeilenumformung vom Typ I oder Typ II.

Dann ist ZR(A) = ZR(B) . Beweis.

(a) (Umformung vom Typ I)

A habe die Zeilenvektoren a

₁

, . . . , a

_i

, . . . , a

_m

B habe die Zeilenvektoren a

₁

, . . . , λa

_i

, . . . , a

_m

(λ ̸ = 0)

(6)

Ist nun v ∈ ZR(A) , dann gibt es µ

₁

, . . . , µ

_m

∈ K mit

v = µ

1

a

1

+ . . . + µ

i

a

i

+ . . . + µ

m

a

m

= µ

1

a

1

+ . . . +

^µ_λⁱ

(λa

i

) + . . . + µ

m

a

m

. Also ist auch v ∈ ZR(B) und damit gilt ZR(A) ⊆ ZR(B) .

Ist v ∈ ZR(B) , dann gibt es µ

₁

, . . . , µ

_m

∈ K mit

v = µ

₁

a

₁

+ . . . + µ

_i

(λa

_i

) + . . . + µ

_m

a

_m

= µ

₁

a

₁

+ . . . + (µ

_i

λ)a

_i

+ . . . + µ

_m

a

_m

. Also ist auch v ∈ ZR(A) und damit gilt ZR(B) ⊆ ZR(A) , insgesamt also ZR(A) = ZR(B) .

(b) (Umformung vom Typ II)

A habe die Zeilenvektoren a

₁

, . . . , a

_i

, . . . , a

_j

, . . . , a

_m

B habe die Zeilenvektoren a

1

, . . . , a

i

+ a

j

, . . . , a

j

, . . . , a

m

Ist nun v ∈ ZR(A) , dann gibt es µ

₁

, . . . , µ

_m

∈ K mit

v = µ

₁

a

₁

+ . . . + µ

_i

a

_i

+ . . . + µ

_j

a

_j

+ . . . + µ

_m

a

_m

= µ

₁

a

₁

+ . . . + µ

_i

(a

_i

+ a

_j

) + . . . + (µ

_j

− µ

_i

)a

_j

+ . . . + µ

_m

a

_m

.

Also ist auch v ∈ ZR(B) und damit gilt ZR(A) ⊆ ZR(B) . In gleicher Weise kann gezeigt werden, dass ZR(B) ⊆ ZR(A) gilt, und damit ist ZR(A) = ZR(B ) .

Folgerung. Die Matrix B entstehe aus der Matrix A durch endlich viele elementare Zeilenumformungen.

Dann gilt: ZR(A) = ZR(B) .

Man sagt, eine Matrix B ∈ M (m × n; K ) , B ̸ = O liegt in Zeilen- stufenform vor, wenn es Spaltenindizes j

₁

< j

₂

< . . . < j

_k

gibt, sodass b

_1j₁

̸ = 0 , b

_2j₂

̸ = 0 , . . . , b

_kj_k

̸ = 0 und

f¨ ur j < j

₁

: b

_ij

= 0 ∀ i

f¨ ur j

_m

≤ j < j

_m+1

: b

_ij

= 0 ∀ i > m

f¨ ur j ≥ j

_k

: b

_ij

= 0 ∀ i > k

(7)

Das heißt: durch die Elemente b

_1j₁

, b

_2j₂

, . . . , b

_kj_k

wird eine ”Stufenlinie”

gebildet, sodass alle Elemente unterhalb der Stufenlinie = 0 sind.

(Veranschaulichung siehe Tafel.)

Behauptung. Sind dann b

₁

, b

₂

, . . . , b

_k

die ersten k Zeilenvektoren von B, dann bilden (b

1

, b

2

, . . . , b

k

) eine Basis von ZR(B) , und im besonderen gilt damit Zeilenrang(B) = k .

Beweis. Weil b

_i

= 0 f¨ ur i > k , ist zu zeigen, dass (b

₁

, b

₂

, . . . , b

_k

) linear unabh¨ angig ist.

Sei also λ

₁

b

₁

+ . . . + λ

_k

b

_k

= 0 .

Weil b

₁

= (0, . . . , b

_1j₁

, . . . , b

_1n

) , b

₂

= (0, . . . , b

_2j₂

, . . . , b

_2n

) etc., ist die j

₁

-te Komponente von λ

₁

b

₁

+ . . . + λ

_k

b

_k

gleich λ

₁

b

_1j₁

. Somit λ

₁

b

_1j₁

= 0 und weil b

_1j₁

̸ = 0 , ist λ

₁

= 0 .

Damit ist λ

₂

b

₂

+ . . . + λ

_k

b

_k

= 0 . Die Pr¨ ufung der j

₂

-ten Komponente ergibt λ

₂

b

_2j₂

= 0 und weiters λ

₂

= 0 .

Fortf¨ uhrung dieses Verfahrens ergibt λ

₂

= λ

₃

= . . . = λ

_k

= 0 .

Satz. Sei A eine m × n Matrix. Dann kann A durch endlich viele elementare Zeilenumformungen vom Typ III und Typ IV in eine Matrix B in Zeilenstufenform ¨ ubergef¨ uhrt werden.

Gem¨ aß vorher ist dann ZR(A) = ZR(B) und weiters Zeilenrang(A)=Zeilenrang(B) .

Beweis bzw. Illustration. (siehe Tafel)

Damit kann nun folgende Problemstellung gel¨ ost werden:

Seien v

₁

, v

₂

, . . . , v

_m

∈ K

ⁿ

. Bestimme eine Basis von Span(v

₁

, . . . , v

_m

) .

L¨ osung. Bilde eine m × n Matrix A , welche als Zeilenvektoren v

₁

, v

₂

, . . . , v

_m

hat. F¨ uhre A in Zeilenstufenform ¨ uber, die resultierende Matrix sei mit

(8)

B bezeichnet. Dann bilden die Nicht-Nullzeilen von B die gesuchte Basis.

Beispiel. (siehe Tafel)

Als eine weitere Konsequenz des Vorhergehenden sei folgendes Ergebnis erw¨ ahnt (Beweis als ¨ Ubung). Damit kann dann etwa entschieden werden, ob eine gegebene Familie von Vektoren eine Basis bildet oder nicht.

Korollar. Seien v

₁

, v

₂

, . . . , v

_n

∈ K

ⁿ

. Dann sind folgende Aussagen

¨

aquivalent:

1) (v

1

, v

2

, . . . , v

n

) ist eine Basis von K

ⁿ

2) Die Matrix A mit den Zeilenvektoren v

₁

, v

₂

, . . . , v

_n

kann durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix ¨ ubergef¨ uhrt werden, wobei alle Diagonalelemente ̸ = 0 sind.

Beispiel. (siehe Tafel)

Bemerkung. In analoger Weise k¨ onnen nat¨ urlich auch elementare

Spaltenumformungen und die Spaltenstufenform deﬁniert werden. Wir

werden sp¨ ater zeigen, dass Zeilenrang=Spaltenrang .