Ringe, K ¨ orper

Ringe, K ¨ orper

BeispielZ:

•Z^×={−1,1}.

•Keine Nullteiler.

BeispielZ/6Z:

•Nullteiler(2 + 6Z)·(3 + 6Z) = 0 + 6Z.

Beispiel:R,C,Q,F_p=Z/pZf ¨ur pprim.

3 21. November 2006

Homomorphismen

SeienR,SRinge und f : R→S. Gilt f (a + b) = f (a) + f (b)und f (ab) = f (a) f (b)und f (1_R) = 1_Sf ¨ur allea,b∈R, so heißt f ein Homomorphismus.

Epimorphismus = surjektiv.

Monomorphismus = injektiv.

Isomorphismus = bijektiv.

Endomorphismus =S = R.

Automorphismus =S = Rund bijektiv.

Es gilt wie eben:

• f (0_R) = 0_S, f (1_R) = 1_S(letzteres per Definition).

• f (−a) =−f (a), f (a⁻¹) = f (a)⁻¹, wenna⁻¹existiert.

4 21. November 2006

Ringe

SeiReine Menge,+ : R×R→R,·: R×R→R. Es gebe0,1∈Rmit

•(R,+)ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element0.

•(R\{0},·)ist eine Halbgruppe mit neutralem Element1.

•Distributivgesetz:(a + b)c = ac + bcundc(a + b) = ca + cbf ¨ur alle a,b,c∈R.

Dann heißtRein Ring mit Nullelement0und Einselement1.

In einem Ring gilt:

1.0x = x0 = 0, denn wegen0 + 0 = 0folgt0x = (0 + 0)x = 0x + 0xund damit 0x = 0durch K ¨urzen. Analog geht man f ¨urx0vor.

2.(−x)y = x(−y) =−(xy), dennxy + (−x)y = (x−x)y = 0y = 0, und analog mitx(−y).

3.(−x)(−y) = xy, denn nach 2. gilt(−x)(−y) =−(−x)y =−(−(xy)) = xy.

1 21. November 2006

Ringe, K ¨ orper

Ist(R\{0},·)abelsch, so heißtRkommutativ. Wir betrachten ab jetzt nur kommutative Ringe.

Die Elemente vonR\{0}, die in(R\{0},·)invertierbar sind, heißen Einheiten vonRund bilden eine Gruppe, die mitR^×bezeichnet wird.

Sinda,b∈R\{0}undc = ab, so nennen wira,bTeiler voncund schreibena|cundb|c. Giltc = 0, so heißenaundbNullteiler.

IstRkommutativ und hat keine Nullteiler, so heißtRein Integrit ¨atsring.

IstRkommutativ und jedes Element ungleich Null invertierbar - also R^×= R\{0}, so heißtRein K ¨orper. Ein K ¨orper ist auch ein

Integrit ¨atsring (wegena = (ab)b⁻¹= 0f ¨urab = 0).

2 21. November 2006

Isomorphiesatz

Thm: Ist f : R→Sein Homomorphismus, so isth : R/ker( f )∼=im( f ), x + ker( f )7→f (x)ein Isomorphismus.

Bew: Fassen wirRundSnur als additive abelsche Gruppen auf, ist der Satz bereits bewiesen. Wir m ¨ussen daher nur noch die

Multiplikativit ¨at vonh ¨uberpr ¨ufen. Es gilth((x + ker( f ))(y + ker( f ))) = h(xy + ker( f )) = f (xy) = f (x) f (y) = h(x + ker( f ))h(y + ker( f )).

7 21. November 2006

Direktes Produkt

SindR,SRinge, so k ¨onnen wirR×Sdurch

(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = (a₁+ b₁,a₂+ b₂)und(a₁,a₂)(b₁,b₂) = (a₁b₁,a₂b₂)zu einem Ring machen.

Das Nullelement und Einselement sind hier(0,0)bzw.(1,1).

Die Einheiten vonR×Ssind genau die Paare, welche an der ersten und zweiten Koordinate eine Einheit zu stehen haben. Als Formel gilt also(R×S)^×= R^××S^×.

8 21. November 2006

Unterringe, Ideale, Kern, Bild

SeiRein Ring undU⊆Rein Ring. Stimmen Addition und

Multiplikation vonU mit derR ¨uberein und gilt1U= 1R, so heißtU ein Unterring vonR.

SeiI⊆R. Wir schreibenRI =∑a∈IRa ={∑ⁿi=0riai|ri∈R,ai∈I,n∈Z^≥0}. GiltRI = I, so heißtIein Ideal vonR.

F ¨ur einen Homomorphismus f : R→Sdefinieren wir ker( f ) = f⁻¹({0S}). Dies ist ein Ideal vonR.

•Sinda_i∈ker( f )undr_i∈R, so gilt f (∑ir_ia_i) =∑if (r_i) f (a_i) = 0, also

∑ir_ia_i∈ker( f )undR ker( f ) = ker( f ).

Ahnlich ist im( f ) = f (R)¨ ein Unterring vonS.

5 21. November 2006

Faktorring

SeiRein Ring undIein Ideal vonR.

BezeichneR/I zun ¨achst die Faktorgruppe der additiven GruppenR undI.

F ¨ura + Iundb + Idefinieren wir(a + I)·(b + I) = ab + I.

Dies ist wohldefiniert:

•F ¨ura⁰+ I = a + Iundb⁰+ I = b + Igibt esi1,i2∈Imita⁰= a + i1und b⁰= b + i2. Dann gilta⁰b⁰= ab + ai2+ bi1+ i1i2∈ab + Iaufgrund der Idealeigenschaft, alsoa⁰b⁰+ I = ab + I.

Einselement ist1R+ I.

Damit wirdR/Izu einem Ring und f : R→R/I,x7→x + Izu einem Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).

Beispiel:R =ZundI = 5Z.Iist ein Ideal, undR/I =F₅ der Faktorring.

6 21. November 2006

Euklidischer Algorithmus

Eingabe:a1unda2ausRmita1a26= 0.

Ausgabe:c,λ1,λ2∈Rmitc =λ1a1+λ2a2 undc|a1,c|a2. 1.(u₁,u₂)←(a₁,a₂),M←

1 0

0 1

. Im folgenden zus ¨atzlichd(0) =−∞.

2. Wennd(u1)>d(u2), dann vertauscheu1,u2und die Spalten vonM.

3. Wennu₁= 0, dann schreibeM = ∗ λ1

∗ λ2

. Ausgabe vonu₂,λ1,λ2. 4. Schreibeu2= su1+ r. Setzeu2←rund subtrahiere dass-fache der

ersten Spalte vonMvon der zweiten Spalte.

5. Gehe zu 2.

11 21. November 2006

Euklidischer Algorithmus

Es gilt stets(u1,u2) = (a1,a2)M undMist invertierbar inR^2×2, da jede einzelne Transformation im Algorithmus invertierbar ist. Daher gilt stets(a₁,a₂) = (u₁,u₂)M⁻¹mitM⁻¹∈R^2×2undRu₁+ Ru₂= Ra₁+ Ra₂. Der Algorithmus terminiert, da in Schritt 4 der Wertd(u1) + d(u2)echt kleiner wird und somit irgendwannu2= 0wird.

F ¨uru₁= 0folgtRu₂= Ra₁+ Ra₂, und folglich istu₂von der Form u₂=λ1a₁+λ2a₂mitu₂|a₁undu₂|a₂.

12 21. November 2006

Euklidische Ringe

SeiRein Integrit ¨atsring. Man nenntReinen euklidischen Ring, wenn es eine Gradfunktiond : R\{0} →Z^≥0mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zua,b∈Rundb6= 0gibt ess,r∈Rmita = sb + rundr = 0oder d(r)<d(b)(Division mit Rest).

Beispiele:

•Zmit der Gradfunktion| · |.

•k[x]mit der Gradfunktiondeg.

•Jeder K ¨orper mit der konstanten Gradfunktion1.

Notation:s = a div bundr = a mod b(sofernsundrdurch eine Zusatzregel eindeutig bestimmt sind).

9 21. November 2006

Euklidische Ringe

SeiRein euklidischer Ring mit Gradfunktiond.

Thm: F ¨ur jedes IdealIvonRgibt es einb∈RmitI = Rb(das heißtI ist ein Hauptideal).

Bew: Ein Elementb∈I\{0}mit dem kleinstend-Wert ist ein

Erzeuger, da es jedes weitere Elementa∈Iteilt. Sonst h ¨atte der Rest r = a−sb∈I\{0}n ¨amlich einen kleinerend-Wert.

Sinda1,a2∈R, so gibt es daher einc∈RmitRc = Ra1+ Ra2. Es gibt alsoλ1,λ2∈Rmitc =λ1a1+λ2a2 undc|a1,c|a2. Die Elementeλi

k ¨onnen mit dem euklidischen Algorithmus ausgerechnet werden.

Die Verallgemeinerung aufnElementea_iist induktiv m ¨oglich.

10 21. November 2006

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Seic = a₁a₂/gcd{a1,a₂}=∏ip^max{v_i ^{pi(a1),vpi(a2)}}.

•Es gilta1|cunda2|cund f ¨ur jedesd∈Rmita1|dunda2|dfolgt c|d. Damit istcein kleinstes gemeinsames Vielfaches vona1und a2, geschriebenc =lcm{a1,a2}.

•Es gilt entsprechendRlcm{a1,a₂}= Ra₁∩Ra₂.

•Sinda₁unda₂teilerfremd, so folgtRa₁∩Ra₂= Ra₁a₂.

15 21. November 2006

Beispiele

InZgiltZ^×={−1,1}. Die Primelemente sind±2,±,3,±5, . . .. Ink[x]giltk[x]^×= k^×. Die Primelemente vom Grad eins sindu(x−x0) f ¨uru∈k^×undx₀∈k.

InF₂[x]istx²+ x + 1ein Primelement vom Grad zwei.

InZist±6ein ggT und±210ein kgV von42und30.

Ink[x]giltv_x+1(x²−1) = 1undv_x(x²−1) = 0.

Es gilt3Z+ 2Z=Zund2Z∩3Z= 2Z·3Z= 6Z.

16 21. November 2006

Primelemente und Faktorisierung

Seic∈R\({0} ∪R^×). Folgt ausc|(ab)bereitsc|aoderc|bf ¨ur alle a,b∈R, so heißtcPrimelement vonR. Folgt ausc = abbereitsa∈R^× oderb∈R^×, so heißtcirreduzibel.

Thm: SeiReuklidisch.

i) Die Menge der Primelemente ist gleich der Menge der irreduziblen Elemente.

ii) F ¨ur jedesa∈R\{0}gibt esu∈R^×, Primelementep_iunde_i∈Z^≥1mit a = u

∏

p^e_iⁱ.

Diee_iund p_i(bis auf Elemente inR^×) sind eindeutig bestimmt.

Wir erhalten Funktionenv_pi: R\{0} →Zmitv_pi(a) = e_i.

13 21. November 2006

Gr ¨ oßter gemeinsamer Teiler

Seic =λ1a1+λ2a2die Ausgabe des euklidischen Algorithmus.

•F ¨urd|a1undd|a2 gilt wegenc =λ1a1+λ2a2auchd|c. Daher istc ein gr ¨oßter gemeinsamer Teiler vona1unda2, geschrieben c = gcd{a1,a₂}.

•Andererseits giltgcd{a1,a2}=∏ip^min{v_i ^{pi(a1),vpi(a2)}}, wenn die pidie in a₁a₂vorkommenden Primelemente bezeichnen.

•Es giltR gcd{a1,a₂}= Ra₁+ Ra₂.

Zwei Elementea,b∈Rheißen teilerfremd, wenngcd{a,b}= 1oder

¨aquivalenterweiseR = Ra + Rb.

gcd{a1,a₂}ist (eigentlich) nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.

14 21. November 2006