M g0 g1 g2 g3 Fünf-Punkte-Kreis (2)2 Beweis Bezeichnungen gemäß Figur

Fünf-Punkte-Kreise 1 Einstiegsbeispiel

Wir drehen eine Gerade g₀ um einen nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt M um die Winkel , 2 und 3 mit beliebigem Winkel . Die Bildgeraden heißen g₁, g₂ und g₃.

M

g₀

g₁

g₂

g₃

Verdrehte Geraden

Nun gibt es einen Kreis, der durch vier Schnittpunkte dieser Geraden sowie durch M verläuft.

M

g₀ g₁

g₂

g₃

Fünf-Punkte-Kreis

2 Beweis

Bezeichnungen gemäß Figur.

g₀

g₁

g₂

g₃

M

2 2

P₀ P₁ P₂ P₃

2 2

Beweisfigur

Gemäß Konstruktion schneiden sich die Geraden g₀ und g₂ unter dem Winkel 2, dasselbe tun die Geraden g₁ und g₃. Die Schnittpunkte P₁ beziehungsweise P₂ liegen also auf dem Fasskreis über der Strecke P₀P₃ für den Peripheriewinkel 2. Wegen

P₀MP₃ =2 liegt auch der Punkt M auf diesem Kreis.

3 Verallgemeinerung

Die in der Figur dargestellten Verallgemeinerungen lassen sich analog beweisen.

Verallgemeinerung

4 Sonderfälle und Bildergalerie

Die Trägergeraden eines regelmäßigen Vieleckes erfüllen die Voraussetzungen unserer Überlegungen, daher gibt es entsprechende Fünf-Punkte-Kreise.

Im Folgenden einige Beispiele.

4.1 Regelmäßiges Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck

4.2 Regelmäßiges Siebeneck

Regelmäßiges Siebeneck

4.3 Regelmäßiges Neuneck

Regelmäßiges Neuneck