eine reguläre Grammatik Gmit L(G) =L\ {ε} b

HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de 8. Übung zu Theoretische Informatik: Automaten und formale Sprachen

Wintersemester 2020/21 zu lösen bis 6. Dezember 2020

Aufgabe 8.1:

Konstruieren Sie nach den in der Vorlesung vorgestellten Verfahren für die Sprachen L={w∈ {a, b}^∗ | |w|_a≡0 (mod 2)} und L⁰ ={w∈ {a, b}^∗ | |w| ≥2∧w₁ =w₂}

a. eine reguläre Grammatik Gmit L(G) =L\ {ε}

b. einen NFA A mit L(A) =L\L⁰

c. den Minimalautomaten B mit L(B) =L\L⁰ d. einen regulären Ausdruck E mit L(E) = L∩L⁰

e. eine reguläre Grammatik Gmit L(G) =L∆L⁰

Aufgabe 8.2:

a. Geben Sie je einen Algorithmus an, mit welchem sich mit den in der Vorlesung vorgestellten Verfahren zu jeder beliebigen gegebenen regulären Grammatik G

(a) die Äquivalenzklassen der Relation ∼L(G)

(b) ein regulärer Ausdruck E mit L(E) = L(G), bestimmen lassen.

b. Demonstrieren Sie Ihr Verfahren an der Grammatik

G= ({S, A, B, C},{a, b}, P, S)mit P ={S →bA|aB, A →aA|a, B →b|bS}

c. Überprüfen Sie Ihre Konstruktion an den Wörtern ε, ab, ba, bb, bab, abba, abbbabbaa

Aufgabe 8.3:

Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind

∀L, L⁰, L⁰⁰⊆X^∗ : (( L∩L⁰ =L⁰⁰∧L∈REC(NFA)∧L⁰ ∈REC(NFA) )→L⁰⁰ ∈REC(NFA))

∀L, L⁰, L⁰⁰⊆X^∗ : (( L∩L⁰ =L⁰⁰∧L⁰ ∈REC(NFA)∧L⁰⁰6∈REC(NFA) )→L6∈REC(NFA))

Selbsttest-Aufgabe 8.4:

Geben Sie zu jeder der folgenden Sprachen L_i a. eine reguläre Grammatik G_i mit L_i =L(G_i), b. alle ∼L-Äquivalenzklassen,

c. einen NFA A_i mit L_i =L(A_i), d. den Minimalautomaten B_i für L_i,

e. und einen möglichst kurzen regulären Ausdruck E_i mit L_i =L(E_i)an.

L₁ = {w∈ {a, b}^∗ | |w|= 3}

L2 = {w∈ {a, b}^∗ | |w|b = 3}

L₃ = {w∈ {a, b}^∗ | |w|_a ≡1 (mod 2)}

L₄ = {w∈ {a, b}^∗ | |w|_a <3∧ |w|_b ≡1 (mod 2)}

L₅ = {w∈ {a, b}^∗ | |w|_a ≡0 (mod 2)∧ |w|_b ≡1 (mod 2)}

L₆ =

w∈ {0,1}⁺ |w ist die Binärdarstellung eines n ∈N mit 4|n L₇ =

w∈ {0,1, . . . ,9}⁺ |w ist die Dezimaldarstellung eines n∈N mit 4|n L₈ =

w∈ {a, b, c}^∗ |w₁ =w_|w|

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter https://informatik.htwk-leipzig.de/schwarz/lehre/ws20/tib