Aufgabe Sei X :=H1(L2)∩L2(H1

TU Wien SS 2009 Institute for Analysis and Scientific Computing

Prof. A. Arnold, Dipl.-Math. J. Sprenger

9. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen”

(Nichtlineare parabolische Gleichungen, Wellengleichungen, Erhaltungsgr¨oßen)

1. Aufgabe

Sei X :=H¹(L²)∩L²(H¹).

• Berechnen sie die Fr´echet-Ableitungen folgender Funktionale auf X:

E₁(u) :=

Z

Rⁿ⁺¹

−¹₂u²_t + ¹₂|∇u|²+F(u) d(x, t), F :R→R

E₂(u) :=

Z

Rⁿ⁺¹ 1

2Im(u_tu) +¯ ¹₂|∇u|²+F(u) d(x, t), F :C→C

• Zeigen Sie, dass die OrtsverschiebungT(s) :u(x, t)7→u(x₁, . . . , x_k+s, . . . , x_n, t) f¨ur festes k ∈ {1, . . . , n}, mit Generator ∂k, f¨ur E1 zur Impulserhaltung f¨uhrt. Die Impulsdichte ist durch p_k(u) =u_t∂_ku gegeben.

2. Aufgabe

Gegeben sei die lineare Wellengleichung auf Rⁿ×R:

u_tt−∆u = 0 u(t = 0) = 0 u_t(t = 0) = u₁

Es gilt* f¨ur geeignete Paare (¹_p,¹_q):

ku(t)k_L^q_(Rⁿ₎ ≤Ct^bku₁k_L^p_(Rⁿ₎.

• Bestimmen Sie b=b(n, p, q) aus der Skalierungx7→λx, t7→λt, λ∈R in der Wellengleichung.

• In welchen L^p-R¨aumen muß u₁ liegen, damit

ku(t)k_L²_(Rⁿ₎ ≤C, t∈R gilt?

*Bew.: W.A.Strauss: Nonlinear Wave Equations

3. Aufgabe

Zeigen Sie durch formale Rechnung, dass die L¨osung der linearen Wellengleichung in R³×R

u_tt = ∆u u(t = 0) = u₀ u_t(t = 0) = u₁

durch

u(x, t) =∂_t

1 4πt

Z

|y−x|=t

u₀(y) dS_y

+ _4πt¹ Z

|y−x|=t

u₁(y) dS_y

gegeben ist.

Hinweis: Kugelkoordinaten.

4. Aufgabe *

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand und u₀ ∈L^∞(Ω) mit u₀ >0.

Betrachten Sie das Problem

u_t = ∆ lnu in Ω×(0, T)

u = 0 auf ∂Ω

u(0) = u0 in Ω.

Unter der Annahme, dass dieses Problem f¨ur t∈(0, T) eine regul¨are und in Ω positive L¨osung besitzt, zeigen Sie die Absch¨atzungen u≤sup_Ωu₀ und

k∇√

uk_L²_(Ω×(0,T)) ≤ 1

√8ku₀k_L²_(Ω),

k∇lnuk_L²_(Ω×(0,T)) ≤ ku₀(lnu₀−1)k_L¹_(Ω).

Besprechung in der ¨Ubung am 05.06. Die mit * gekennzeichnete Aufgabe ist zu Beginn der ¨Ubung in schriftlicher Ausarbeitung abzugeben.