80 II. Funktionale und Operatoren

II.5 Aufgaben

Aufgabe II.5.1 Sei^Pder Vektorraum aller reellwertigen Polynome auf^R. F¨ur ein Polynomp(t) =_n

k=0a_kt^k setzep=_n

k=0|a_k|. (a) (^P,.) ist ein normierter Raum. Ist er vollst¨andig?

(b) Untersuche, ob folgende lineare Abbildungen:^P→^Rstetig sind, und bestimme gegebenenfalls :

(p) = ₁

0

p(t)dt, (p) =p(0), (p) =p(1).

(c) Untersuche, ob folgende lineare AbbildungenT:^P→^Pstetig sind, und bestimme gegebenenfalls T:

(T p)(t) =p(t+ 1), (T p)(t) = t

0

p(s)ds.

Aufgabe II.5.2 Auf jedem unendlichdimensionalen normierten Raum existiert eine unstetige lineare Abbildung nach^K.

(Hinweis: Man muß mit einer Basis des Vektorraums (im Sinn der linearen Alge- bra) arbeiten.)

Aufgabe II.5.3 Sei X ein normierter Raum, und seien S, T: X → X lineare Abbildungen mitST−T S= Id. Dann istSoder T unstetig.

(Hinweis: Zeige zuerstSTⁿ⁺¹−Tⁿ⁺¹S= (n+1)Tⁿ. Fortgeschrittene Leser k¨onnen die Aussage auch aus Lemma IX.1.5 herleiten.)

IstX der Raum derC^∞-Funktionen auf einem Intervall (mit irgendeiner Norm) und (Sf)(t) =f(t), (T f)(t) =t f(t), so ist die Voraussetzung erf¨ullt; f¨ur diese Wahl vonS undT istST−T S= Id eine Umformulierung der Heisenbergschen Unsch¨arferelation. Die typischen Operatoren der Quantenmechanik sind daher unbeschr¨ankt.

Aufgabe II.5.4 SeiU:L^p

R

(µ)→L^q

R

(µ) ein stetiger linearer Operator zwischen den R¨aumen reellwertiger FunktionenL^p

R

undL^q

R

. Definiere UC:L^p

C

(µ)→L^q

C

(µ) durchUC(f+ig) =U f+i U g. ZeigeUC ≤2U. Gibein Beispiel, woUC>

U.

Aufgabe II.5.5 (a) Sei

K(^R) =

f:^R→^K:f stetig, supp(f) :={t:f(t)= 0}kompakt der Vektorraum aller stetigen Funktionen mit kompaktem Tr¨ager. (Die abgeschlossene Menge supp(f) heißt derTr¨ager vonf.) Dann ist ^K(^R) dicht inL^p(^R) f¨ur 1≤p <∞.

(b) F¨urf∈L^p(^R) (1≤p≤ ∞) unds∈^Rsetze (Tsf)(t) =f(t−s).

Es ist leicht zu glauben (und auch nicht schwer, mit den Ergebnissen des Anhangs zu zeigen), daß stets

T_sfL^p=fL^p

f¨ur f ∈ L^p(^R) gilt. Offensichtlich sind die T_s lineare Operatoren auf L^p(^R). Zeige: F¨urp <∞ist

s→0limTsf−fL^p= 0 ∀f∈L^p(^R), (II.22) aber es gilt nicht

s→0limT_s−Id= 0.

(Hier ist.nat¨urlich die Operatornorm.) F¨urp=∞gilt nicht einmal

s→0limT_sf−fL^∞ = 0 ∀f∈L^∞(^R).

Wegen der BedingungT_s+t=T_s◦T_t,T₀= Id bilden dieT_s eine Gruppe von linearen Operatoren. Bedingung (II.22) wird starke Stetigkeit ge- nannt. Solche Operatorgruppen bzw. -halbgruppen sind von großer Be- deutung in der Theorie der Evolutionsgleichungen; siehe Abschnitt VII.4.

(Hinweis: Zum Beweis von (II.22) verwende (a)!) Aufgabe II.5.6 (Friedrichsscher Gl¨attungsoperator) In dieser Aufgabe sei 1≤p <∞. Setze

D(^R) ={ϕ∈C^∞(^R): supp(ϕ) kompakt}. (Hier istC^∞(^R) =

nCⁿ(^R); supp(ϕ) wurde in Aufgabe II.5.5 definiert.) Defi- niere Funktionenψ,ϕ,ϕ_ε zuε >0 durch

ψ(t) =

e^−1/t fallst >0,

0 fallst≤0, ϕ(t) =a ψ(1−t²), ϕ_ε(t) = 1 εϕ(t/ε), wobeia=

R

ψ(1−s²)ds ⁻¹.

ϕ₁ ϕ_1/2 ϕ_1/4

(a) ψ ∈ C^∞(^R), folglich ϕε ∈ ^D(^R) mit

R

ϕε(s)ds = 1 und supp(ϕε) ⊂ [−ε, ε].

(Hinweis: Zeige induktivψ⁽ⁿ⁾(t) =P_2n(1/t)e^−1/t f¨ur t >0, wo P_2n ein Polynom vom Grade≤2nist.)

(b) F¨urf∈L^p(^R) setze

(T_εf)(t) =

R

f(s)ϕ_ε(t−s)ds.

(Man nennt T_εf dieFaltung vonf und ϕ_ε.) Die Maßtheorie lehrt, daß Tεf wohldefiniert und meßbar ist und daß ebenfalls die Darstellung

(T_εf)(t) =

R

f(t−s)ϕ_ε(s)ds

gilt. Zeige durch Anwendung der H¨olderschen Ungleichung (beachteϕ_ε= ϕ^1/p_ε ϕ^1/q_ε )

TεfL^p≤ fL^p ∀f∈L^p(^R).

(c) lim

ε→0T_εf−f∞= 0 f¨ur allef ∈^K(^R) und lim

ε→0T_εf−fL^p= 0 f¨ur alle f∈L^p(^R).

(Hinweis: Aufgabe II.5.5(a).)

(d) F¨urf∈L^p(^R) istT_εf∈C^∞(^R), und gilt zus¨atzlich

∃N >0 f(t) = 0 f¨ur fast alletmit|t| ≥N (z.B.f∈^K(^R)), so ist sogarT_εf∈^D(^R).

(e) ^D(^R) liegt dicht inL^p(^R), falls 1≤p <∞.

Aufgabe II.5.7 Betrachte eine 2×2-Matrix (aij) als lineare Abbildung auf^K2. Wenn^K2die euklidische Norm tr¨agt, gilt

(a_ij)=1 2

√

τ+ 2δ+√

τ−2δ , woτ :=|a11|²+|a12|²+|a21|²+|a22|²,δ:=|a11a₂₂−a₁₂a₂₁|.

Aufgabe II.5.8 Eine lineare AbbildungA:^Km→^Knwerde als (n×m)-Matrix (aij) dargestellt.

(a) Tragen^Kmund^Kn die Summennorm(ti)1=

|ti|, so ist A= max

j≤m

n i=1

|a_ij| (Spaltensummennorm).

(b) Tragen^Kmund^Kn die Maximumsnorm(ti)∞= max|ti|, so ist A= max

i≤n

m j=1

|a_ij| (Zeilensummennorm).

Aufgabe II.5.9 Sei A ∈ ^Rn×n eine symmetrische Matrix, und es sei r(A) = max{|λ|:λEigenwert vonA}. BetrachteAals eine lineare Abbildung auf^Rn.

(a) Sei .eine Norm auf ^Rn, und sei A die zugeh¨orige Operatornorm.

Zeige, daßA ≥r(A) undA2=r(A) f¨ur die euklidische Norm.₂. (b) Aⁿ→0 (bzgl. irgendeiner Norm) genau dann, wennr(A)<1.

Aufgabe II.5.10 Betrachte den identischen Operator Id_p,q:^p(n)→^q(n) und zeigeId_p,q=n^1q−1p, fallsq≤p.

Aufgabe II.5.11

(a) Zuz∈^∞betrachteTz:^p→^p, (Tzx)(n) =z(n)x(n). BerechneTz. (b) Seien 0≤t₁< . . . < tn≤1 undα₁, . . . , αn∈^K. Betrachte:C[0,1]→^K,

(x) =n

i=1α_ix(t_i). Berechne.

Aufgabe II.5.12 Zeige^p∼=^p/U, woU ={(s_n)∈^p:s_2k−1= 0∀k∈^N}. Aufgabe II.5.13

(a) Seien X und Y normierte R¨aume, E ⊂X ein dichter Unterraum und T ∈L(X, Y). FallsT|E eine Isometrie ist, istT ebenfalls eine Isometrie.

(b) Betrachte insbesondere₁ X = L¹[0,1], Y = (C[0,1]) sowie (T f)(x) =

0 x(t)f(t)dt. BerechneT f.

(Hinweis: Beispiel II.1(g).)

Aufgabe II.5.14 Seieng₁, g₂, . . .unabh¨angige standardnormalverteilte Zufalls- variablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,^P). Zeige, daß f¨ur 1≤p <∞ und eine geeignete Konstantecpder durch (an)→cp

_∞

n=1angndefinierte Ope- ratorJ:²→L^p(^P) wohldefiniert und isometrisch ist.

[Hinweis: Diese Aufgabe setzt Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie voraus; nutze aus, daß die Verteilung des Zufallsvektors (g₁, . . . , g_n) rotationsin- variant ist. ¨Ubrigens sindL^p(^P),L^p[0,1] undL^p(^Rd) isometrisch isomorph (siehe etwa Guerre-Delabri`ere [1992], S. 134), so daß jeder dieserL^p-R¨aume einen zu² isometrischen abgeschlossenen Unterraum enth¨alt.]

Aufgabe II.5.15 .₁ und.₂ seien Normen auf dem VektorraumX. (a) Sind .₁ und .₂ ¨aquivalent, so sind (X,.₁) und (X,.₂) iso-

morph.

(b) Die Umkehrung gilt nicht. Betrachte dazu den Vektorraumdder abbre- chenden Folgen und die Normen

(sn)1 = sup{|s1|,2|s2|,|s3|,4|s4|,|s5|, . . .}, (sn)2 = sup{|s1|,|s2|,3|s3|,|s4|,5|s5|, . . .}.

Aufgabe II.5.16 (Satz von Mazur-Ulam)

SeiX ein reeller normierter Raum und Φ:X →X eine surjektive Funktion mit Φ(0) = 0 undΦ(x)−Φ(y) =x−y f¨ur alle x, y ∈ X. Dann ist Φ linear.

Beweise diese Aussage unter der Zusatzvoraussetzung, daß X strikt konvex ist (vgl. Aufgabe I.4.13); dazu zeige zuerst, daß in diesem Fall z = ¹₂(x+y) der einzige Punkt mitz−x=z−y= ¹₂x−yist. [Der Beweis des Satzes von Mazur-Ulam im allgemeinen Fall ist schwieriger und bei Banach [1932], S. 166, oder V¨ais¨al¨a (Amer. Math. Monthly 110 (2003) 633–635) zu finden.]

Aufgabe II.5.17 L¨ose die Integralgleichung x(s)−

₁

0

2st x(t)dt= sinπs, s∈[0,1],

(a) mit der Methode der Neumannschen Reihe (begr¨unde insbesondere, war- um diese konvergiert, obwohl hierTk= 1 ist),

(b) durch

”scharfes Hinsehen“.

Aufgabe II.5.18 SeienX undY normierte R¨aume, und seiT ∈L(X, Y).

(a) Es existiert ein wohldefinierter linearer OperatorT, so daß das folgende Diagramm kommutiert (d.h.T =T◦ω):

X T ^-Y

X/ker(T) ω

@

@

@

@ R

T

Hier istωdie kanonische Abbildungx→[x] vonX aufX/ker(T).

(b) T=T, undTist injektiv.

(c) T ist genau dann kompakt, wennTkompakt ist.

(d) Falls T eine Quotientenabbildung ist, ist Teine Isometrie. Also gilt in diesem FallY ∼=X/ker(T).

Aufgabe II.5.19

(a) Sei∈Xmit= 1. Dann isteine Quotientenabbildung.

(b) Schließe mit Hilfe von Aufgabe II.5.18 dieFormel von Ascoli:

|(x)|=d(x,ker()) ∀∈X, = 1.

(c) Teil (b) gestattet es, leicht Beispiele zu konstruieren, um zu zeigen, daß im Rieszschen Lemma I.2.6 im allgemeinen δ = 0 nicht zul¨assig ist. Sei n¨amlich wie oben, und setze U = ker(). Dann ist δ = 0 genau dann zul¨assig, wenn es einx₀∈BXmit=|(x0)|gibt. (In diesem Fall sagt man, daßseine Norm annimmt.)

(d) Folgende Funktionalenehmen ihre Norm nicht an:

• X=c₀,

(s_n) =_∞

n=12⁻ⁿs_n

• X=C[0,1], (x) =_1/2

0 x(t)dt−₁

1/2x(t)dt Aufgabe II.5.20 Zeige Satz II.2.3(a) f¨urp= 1 und Satz II.2.3(b).

Aufgabe II.5.21 Sei 1< p <∞undk∈C([0,1]²). Zeige, daß der Integralope- rator

T_kf(s) = ₁

0

k(s, t)f(t)dt

ein stetiger Operator vonL^p[0,1] in sich ist, f¨ur dessen Norm T_k ≤sup

s

₁

0

|k(s, t)|dt 1/q

sup

t

₁

0

|k(s, t)|ds 1/p

gilt, wo 1/p+ 1/q= 1. Ferner istT_k:L^p[0,1]→L^p[0,1] kompakt.

(Tip: Betrachte

(T_kf)(s)g(s)dsf¨urg∈L^q[0,1], oder benutze (II.2).)

Aufgabe II.5.22 SeiM ⊂C[a, b] relativkompakt. Dann istM gleichgradig ste- tig.

Aufgabe II.5.23 Sei 1≤p <∞undA⊂^p. Dann sind ¨aquivalent:

(i) Aist relativkompakt.

(ii) Aist beschr¨ankt und lim

n→∞sup

x∈A

∞ i=n

|x(i)|^p _1/p

= 0.

(Hinweise: (i)⇒(ii): Versuche einen Widerspruchsbeweis.

(ii) ⇒(i): Benutze die Beschr¨anktheit, um aus einer Folge inAeine punktwei- se konvergente Teilfolge auszusondern (Diagonalfolgentrick!); zeige mit Hilfe der Limesbedingung, daß die Teilfolge auch in^pkonvergiert.)

Aufgabe II.5.24

(a) Seiz ∈^∞ undT_z:^p→^p,T_z(x) =z·x(vgl. Aufgabe II.5.11). T_z ist kompakt dann und nur dann, wennz∈c₀ist.

(b) C¹[0,1] trage (wie ¨ublich) die Norm f=f∞+f∞. Dann ist die Inklusionsabbildung (C¹[0,1],.)→(C[0,1],._∞) kompakt.

(Tip: Arzel`a-Ascoli!)

Aufgabe II.5.25 Betrachte die Kernfunktionk(s, t) =|s−t|^−αf¨urs=tbzw.

k(s, s) = 0 auf [0,1]².

(a) Sei 0< α <1/2. Dann ist der zugeh¨orige Integraloperator T_k ein kom- pakter Operator vonL²[0,1] nachL²[0,1].

(b) Was passiert im Fall 1/2≤α <1?

(Tip: H¨oldersche Ungleichung.)

Aufgabe II.5.26 Seik∈C([0,1]²). Der IntegraloperatorT_k:C[0,1]→C[0,1], (Tkx)(s) =

_s

0

k(s, t)x(t)dt,

heißt dannVolterrascher Integraloperator. Zeige, daßT_k wohldefiniert und kom- pakt ist.

Aufgabe II.5.27 Betrachte die normierte SummeZ=X⊕pY zweier normierter R¨aumeX undY, wo 1≤p≤ ∞. Beschreibe den Dualraum vonZ mit Hilfe der Dualr¨aume vonX undY.

Aufgabe II.5.28 SeiE₁, E₂, . . .eine Folge von Banachr¨aumen, und sei 1≤p≤

∞. Man setzt

pEn=

(xn):xn∈En, (xn)p= ∞

n=1

xn^p _1/p

<∞

f¨urp <∞und

∞E_n=

(x_n):x_n∈E_n, (x_n)∞= sup

n

x_n<∞

.

(a)

pEn,._p ist ein Banachraum.

(b) F¨ur 1≤p <∞und ¹_p+¹_q = 1 ist (

pEn)∼=

qE_n. (c) Sei (Ω,Σ, µ) ein Maßraum, und sei Ω =_∞

n=1Ω_nmit paarweise disjunk- ten Ωn∈Σ. Dann gilt (mit naheliegenden Bezeichnungen)

pL^p(Ωn)∼=L^p(Ω).

(d) Im Text wurde Satz II.2.4 nur f¨ur endliche Maßr¨aume bewiesen. Mit Hilfe von (b) und (c) komplettiere den Beweis f¨ur denσ-endlichen Fall.

Aufgabe II.5.29 Zeige F

X, L^p(^R) =K

X, L^p(^R) f¨ur alle Banachr¨aume X und 1≤p <∞.

Aufgabe II.5.30 (Approximationszahlen)

Seien X undY Banachr¨aume sowie T ∈L(X, Y). Dien-te Approximationszahl vonT ist definiert als

a_n(T) := inf{T−A:A∈F(X, Y), dim(ranA)< n}. Zeige (W undZ bezeichnen weitere Banachr¨aume):

(a) T=a₁(T)≥a₂(T)≥. . ..

(b) a_n+k−1(T₁+T₂)≤a_n(T₁) +a_k(T₂), ∀k, n∈^N,T₁, T₂∈L(X, Y).

(c) a_n+k−1(ST)≤a_n(S)a_k(T), ∀k, n∈^N,T ∈L(X, Y),S∈L(Y, Z).

(d) a_n(RT S)≤ Ra_n(T)S ∀S∈L(W, X), R∈L(Y, Z).

(e) an(IdX) = 1, falls dimX≥n.

(Tip:A= Id_X−(Id_X−A); beachte die Neumannsche Reihe.) (f) Fallsa_n(T)→0, istT kompakt.

Aufgabe II.5.31 (Lemma von Ehrling)

Seien X, Y und Z Banachr¨aume und T ∈ K(X, Y) sowie J ∈ L(Y, Z); J sei injektiv. Dann existiert f¨ur alleε >0 eine KonstanteCεmit

T x ≤εx+C_εJT x ∀x∈X.

(Hinweis: Versuche einen Widerspruchsbeweis!)

Aufgabe II.5.32 SeiX ein Banachraum undT ∈K(X).

(a) Dann ist der Kern von Id−T endlichdimensional.

(b) Ist Id−T bijektiv, so ist (Id−T)⁻¹ stetig.

(Bemerkung: Das gilt auch f¨ur bloß stetigeT, ist aber wesentlich schwie- riger zu beweisen; siehe Korollar IV.3.4.)

(c) FallsX unendlichdimensional ist, istd(Id, K(X)) = 1.

(Tip:K= Id−(Id−K); beachte die Neumannsche Reihe.) Aufgabe II.5.33 Sei (a_mn)_m,n∈Neine unendliche Matrix ¨uber^C mit

α:= sup

m,n

|a_mn|<∞, ∞

n=1

amnapn=δmp=

1 m=p.

0 m=p.

Sei 1≤p≤2 und ¹_p+_p¹ = 1. Dann definiertA: (sn)n →(

namnsn)meinen stetigen Operator von^pnach^p mit

A:^p→^p ≤α^1/p−1/p.

(Tip: Betrachte zuerstA:¹→^∞,A:²→² und interpoliere.)

Aufgabe II.5.34 SeiY ein Banachraum undTeine lineare Abbildung, die stetig als OperatorT:L¹(µ)→Y mit NormM₀ und als Operator T:L^∞(µ)→Y mit NormM₁ wirkt. Dann istT:L^p(µ)→Y stetig mit Norm≤M₀^1/pM₁^1−1/p. Anleitung: Betrachte eine Treppenfunktionf mitfL^p= 1. Seiλ >0 ein noch freier Parameter. Setzeg=f χ_{|f|≤λ}∈L^∞(µ) undh=f−g∈L¹(µ). Schließe T f ≤ M₁λ+M₀hL¹ und hL¹ =

{|f|>λ}|f|^1−p|f|^pdµ ≤ λ^1−p. Durch geschickte Wahl vonλerzieleT f ≤M₀^1/pM₁^1−1/p.

II.6 Bemerkungen und Ausblicke

Die Untersuchung von Integraloperatoren stand von Anfang an im Zentrum der Funktionalanalysis. Hilbert und Schmidt befaßten sich – im Prinzip – in ihren im Kapitel VI genauer vorgestellten Arbeiten mit Operatoren auf L²[a, b]. F. Riesz studierte 1918 (Acta Math. 41 (1918) 71–98) kompakte Operatoren – pars pro toto – aufC[a, b]; aber er erkannte bereits, daß die

”in der Arbeit gemachte Einschr¨ankung [. . .] auf stetige Funktionen oh- ne Belang“ ist, wie bereits in Abschnitt I.5 zitiert wurde. Die Arbeit von Riesz kann also als Ausgangspunkt der Theorie kompakter Operatoren auf Banachr¨aumen angesehen werden. Die ¨altere Nomenklatur f¨ur kompakte Operatoren lautet ¨ubrigens vollstetige Operatoren; mehr dazu in den Be- merkungen zum n¨achsten Kapitel.

Das Problem, ob kompakte Operatoren stets durch endlichdimensionale approximiert werden k¨onnen, mit anderen Worten, ob Korollar II.3.6 f¨ur jeden BanachraumY gilt, wurde erst 1973 von Enflo (Acta Math.130 (1973)