Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren II

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren II

Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 18.06.2008 Till Dieckmann

§ 1 Ganzheitsbasen

(1.1) Definition (Ganze Modulformen mit ganzen Fourier-Koeffizienten) Fürk∈ _N0definiert man

M^Z_k :={f ∈_Mk; α_f(m) ∈_Z für allem∈ _Z} sowie

S^Z_k :=_M^Z_k ∩_Sk.

Hierbei sei wie gewohnt Mk beziehungsweise Sk der Raum der ganzen Modulfor- men beziehungsweise der Spitzenformen vom Gewicht k. Für m ∈ _Z bezeichne αf(m) denm-ten Fourier-Koeffizienten von f. (1.2) Bemerkungen

a) Die Mengen M^Z_k und S^Z_k bilden zusammen mit der gewöhnlichen Addition eine abelsche Gruppe, also einen Modul über Z. Später werden wir sehen, dass M^Z_k sogar frei ist und eine Z-Basis besitzt, welche auch gleichzeitig eine C-Basis von Mk ist. Indem man die Fourier-Entwicklungen formal ausmulti- pliziert, erhält man noch

M^Z_k ·_M^Z_l ⊆_M^Z_k+l für allek,l ∈ _N0.

b) Für die normierten Eisenstein-Reihen G^∗₄ und G₆^∗ gelten gemäß [K] III. 2.1 (10),(11) die Fourier-Entwicklungen

G^∗₄(τ) =1+240

∑

σ3(m)e^2πimτ für alle τ ∈ _H sowie

G₆^∗(_τ) = 1−504

∑

σ5(m)e^2πimτ für alle τ ∈ _H,

wobei σ_k(m) := _∑d|md^k für alle m ∈ N. Insbesondere gehört G₄^∗ zu M^Z₄ und G^∗₆ zuM^Z₆.

Hecke-Theorie § 1 Ganzheitsbasen c) Nach [K] III. 2.2 (4) besitzt die normierte Diskriminante ∆^∗ die Fourier-

Entwicklung

∆^∗(_τ) =

∑

τ(m)e^2πimτ für alle τ ∈_H,

mitτ(m) ∈ _Zfür alle m∈ _Nundτ(1) = 1. Da∆^∗ zuS12 gehört, schließt man

auch∆^∗ ∈_S^Z₁₂.

Wir berechnen die ersten Räume.

(1.3) Lemma a) Es gilt

M^Z₀ =_Z, M^Z₂ ={0}, M^Z₄ =_ZG4^∗_, M^Z₆ =_ZG6^∗, M^Z₈ =_ZG4^∗2, M^Z₁₀ =_ZG4^∗G₆^∗. b) Es gilt

M^Z_k =_Zg⊕_M^Z_k−12∆^∗

für allek ≥12 und beliebiges normiertes g∈ _M^Z_{k .} Beweis

a) Nach [K] Proposition III. 4.1 hat man M0 = _C sowie M2 = {0} und somit natürlich auchM^Z₀ =ZundM^Z₂ ={₀}_{. Sei nunk}∈ {4, 6, 8, 10}und bezeichne g_k das entsprechende Produkt von Eisenstein-Reihen aus der Aussage in a).

Nach (1.2) ist g_k in M^Z_k enthalten. Sei nun umgekehrt f ∈ _M^Z_k . Da für diese Wahl von k der Raum Mk eindimensional ist, hat man somit f = cg_k für ein c∈ _{C. Wegen}c =cαg_k(0) = α_f(0)∈ _Zfolgt also auchc ∈ _Z.

b) Sei nun k ≥ 12 und g ∈ _M^Z_k normiert. Die rechte Seite der Gleichung aus b) ist dann in M^Z_k enthalten. Ist nun f ∈ _M^Z_k , so hat man wegen αg(₀) = ₁ sicherlich f −α_f(0)g ∈ _M^Z_k ∩_Sk = _S^Z_k . Nach [K] Satz III. 4.1 gilt ∆^∗(τ) 6= 0 für alle τ ∈ _H sowie ∆^∗ ∈ _S^Z₁₂ gemäß (1.2) c). Somit ist (_∆^∗)⁻¹ holomorph auf H, modular vom Gewicht −12. Wendet man [K] Proposition I. 4.4 auf τ 7→ e^−2πiτ∆^∗ an, so folgt, dass (∆^∗)⁻¹ ebenso eine Fourier-Entwicklung mit

Hecke-Theorie § 1 Ganzheitsbasen ganzzahligen Koeffizienten besitzt. Wegen(_∆^∗)⁻¹ f −α_f(0)g

∈_M^Z_k−12erhält man schließlich

f =_∆^∗(_∆^∗)⁻¹ f −α_f(0)g

+α_f(0)g∈ _Zg⊕_M^Z_k−12∆^∗.

Wir kommen nun zum angekündigten Ergebnis:

(1.4) Satz

DerZ-Modul M^Z_k ist frei vom Rang dim_CMk. Man erhältZ-Basen rekursiv in der

Form

gv(_∆^∗)^v; 0≤v ≤ k

12

, fallsk 6≡₁₂ 2,

gv(_∆^∗)^v; 0 ≤v<

k 12

, fallsk ≡₁₂ 2,

für normiertegv ∈ _M^Z_k−12v. Die Z-Basen sind zugleichC-Basen vonMk. Beweis

Nach (1.3) a) hat man M^Z₀ = Z, also ist M^Z₀ frei vom Rang 1 = dim_CM0. Ebenso liefert M^Z₂ = {0}, dass M^Z₂ frei vom Rang 0 = dim_CM2 ist. Für k ∈ {4, 6, 8, 10} hat man nach der Dimensionsformel aus [K] III. 4.1 dim_CMk =₁+b₁₂^k c =_{1, sowie} nach (1.3) a) auchM^Z_k = _Zgk. Man schließt, dass M^Z_k frei vom Rang 1 = dim_CMk

ist. Gemäß (1.3) b) giltM^Z₁₂ = _Zg⊕_Z∆^∗ für beliebiges normiertes g ∈ _M^Z₁₂. Somit ist M^Z₁₂ frei vom Rang 2 = dim_CM12. Wir führen eine Induktion über k ∈ _N0 für k gerade. Sei die Behauptung also für festes k ≥ 12 bereits wahr. Ist k+2 6≡₁₂ 2, so auch k−₁₀ 6≡₁₂ 2. Nach (1.3) hat man M^Z_k+2 = _Zg⊕_M^Z_k−10∆^∗ für beliebige normierteg∈ _M^Z_k+2. Nach Voraussetzung istM^Z_k−10 frei vom Rang dim_CMk−10, mit einerZ-Basis der Form

gv∆^∗v, 0≤v ≤

k−10 12

für normiertegv ∈_{Mk−10−12v}, welche auch eineC-Basis vonMk−10 ist. Somit ist die Menge

B :=

g,gv(_∆^∗)^v+1; 0 ≤v ≤

k−10 12

=

g,g_v−1(_∆^∗)^v, 1≤v ≤

k+2 12

eineZ-Basis vonM^Z_k+2. Nach [K] III. 4.2 (1) hat manMk+2 =_CGk^∗⊕_Mk−10∆^∗, und deshalb bildet B auch eine C-Basis von Mk+2. Den Fall k+2 ≡₁₂ 2 behandelt man analog.

Hecke-Theorie § 2 Ganzzahlige Darstellungen (1.5) Bemerkung

Eine Basis wie in (1.4) nennt man auchGanzheitsbasisvonMk. (1.6) Korollar

a) S^Z_k ist einer freier Z-Modul.

b) Es giltS^Z_k =∆^∗M^Z_k−12 für allek ≥12.

c) Man hat Rang_ZS^Z_k =Rang_ZM^Z_k−12. Beweis

a) Als Untermodul des freien Moduls M^Z_k ist auchS^Z_k frei.

b) Offenbar ist die rechte Seite in S^Z_k enthalten. Hat man nun f ∈ _S^Z_k, so ist f(_∆^∗)⁻¹ ∈ _M^Z_k−12, denn (_∆^∗)⁻¹ ist holomorph aufH und besitzt eine Fourier- Entwicklung überZ. Man vergleiche hierzu auch den Beweis von (1.3) b). So- mit folgt

f =_∆^∗(_∆^∗)⁻¹f ∈ _∆^∗_M^Z_k−12.

c) Das folgt direkt mit b).

(1.7) Bemerkung

Sei B eine Ganzheitsbasis von Mk−12 für k ≥ 12. Nach (1.6) b) ist dann ∆^∗· B _eine

Ganzheitsbasis vonSk.

§ 2 Ganzzahlige Darstellungen

Fürk>0 gerade bezeichne Tn :=Tn^(k) den n-ten Hecke-Operator zum Gewichtk.

(2.1) Lemma

Die ModulnM^Z_k undS^Z_k sind Tn-invariant. Es gilt also TnM^Z_k ⊆_M^Z_k und TnS^Z_k ⊆_S^Z_k

für allen ∈_N.

Beweis

Für f ∈ _M^Z_k sei g:=Tnf. Nach [K] Lemma IV. 1.1 hat man αg(m) =

∑

d|(m,n)

d^k−1α_f(^mn

d² ) ∈ _Z für alle m∈ _N0.

DaT Spitzenformen auf Spitzenformen abbildet, folgt die Behauptung.

Hecke-Theorie § 2 Ganzzahlige Darstellungen Für eine Basis B vonSk hat man bekanntlich einen C-Algebren-Isomorphismus

φ: End_CSk →_C^t×t,

$7→ MB(_$)_.

mitt =dim_CSk. Hierbei bezeichnet MB(_$) die Darstellungsmatrix von $ bezüglich der BasisB.

Wir wollen die Bilder vonTn unterφbestimmen, und erhalten folgenden (2.2) Satz

Seit =dim_CSk undB ={g₁, . . . ,gt} eine Ganzheitsbasis vonSk. Fürn ∈_Ndefinie- re A(n) :=φ(Tn). Dann gilt:

a) A(n) ∈_Z^t×t,

b) A(n)A(m) = _∑d|(m,n)d^k−1A(^mn_d2 ),

c) H^Z_k :=_φ(H_k) = hA(n); n∈ _Ni_Z =hA(p); p ∈_Pi_Z als unitäreZ-Algebra.

Beweis

a) Sei ν ∈ {1, . . . ,t}. Nach (2.1) ist Tngν ∈ _M^Z_k , das heißt, es existieren eindeutig bestimmte aµν(n) ∈ _Z für 1 ≤ µ,ν ≤ t mit Tngν = _∑^t_µ=1aµν(n)gµ, da B eine Z-Basis von M^Z_k ist. Somit ist A(n) = φ(Tn) = (aµν(n))₁≤µ,ν≤t ∈ _Z^t×t.

b) Daφ ein Homomorphismus zwischen Algebren ist, folgt die Behauptung aus [K] Satz IV. 2.3 (2).

c) Da Isomorphismen insbesondere Erzeugendensysteme auf Erzeugendensyste- me abbilden, folgt die Behauptung wieder aus [K] Satz IV. 2.3.

Aus (2.2) können wir nun Schlüsse für die Eigenwerte der Hecke-Operatoren Tn

ziehen:

(2.3) Korollar

Die Eigenwerte der Hecke-Operatoren Tn auf Mk sind ganz-algebraische Zahlen

vom Grad kleiner gleicht.

Beweis

WegenM2 ={0}ist die Behauptung in diesem Fall bereits klar. Sei alsok ≥4 gera- de. Nach linearer Algebra sind die Eigenwerte von Tn auf Sk gerade die Eigenwerte der korrespondierenden Darstellungsmatrix A(n) aus (2.2). Diese sind aber gerade die Nullstellen des normierten Polynoms χ_A(n)(X) = det(XE−A(n)) ∈ _Z[X] vom Gradt. Sei nun f ∈ _Mk mit αf(0) 6=0 eine Eigenfunktion von Tn zum Eigenwert λ.

Hecke-Theorie § 3 Anwendungen:S24

WegenT1 = Id_Mk ist 1 der einzige Eigenwert von T1. Ist n >1, so existiert nach [K]

Satz IV. 2.4 einc ∈ _C^∗ mit f =c·G_k^∗. Man erhältλ = _σk−1(n) ∈ _Z aus [K] Korollar

IV. 2.4.

(2.4) Korollar

Sei f ∈ _Mk eine simultane Eigenform mit α_f(1) = 1. Dann sind die Fourier- Koeffizientenαf(n)für allen∈ _Nganz-algebraische Zahlen vom Grad kleiner gleich t.

Beweis

Wegen α_f(1) = 1 hat man nach [K] Lemma IV. 1.4 λ_f(n) = α_f(n) für alle n ∈ _N.

Dann folgt die Behauptung aus (2.3).

§ 3 Anwendungen: S

Im Folgenden betrachten wir die Hecke-Operatoren Tn als Elemente von End_CS24

und untersuchen die Eigenschaften der entsprechenden Darstellungsmatrizen A(p) aus (2.2) für p∈ _P.

Aus der Dimensionsformel [K] III. 4.1 schließt man dim_CS24 =2. Nach Satz (1.4) ist B ={(G₆^∗)²_∆^∗,(_∆^∗)²} eine Ganzheitsbasis vonS24. Es sei g₁ := (G₆^∗)²_∆^∗,g₂ := (_∆^∗)² und αj(m) :=αg_j(m)für alle m∈ _Nund j =1, 2. Setzt man q =e^2πiτ für τ ∈ _{H, so} erhält man nach [K] IV. 2.6 die Fourier-Entwicklungen

g₁(_τ) = q−₂³·₃·₄₃·q²+₂²·₃²·₇²·₁₃₉·q³+₂⁶·₃₁·₅₅₂₇·q⁴+_{. . . ,} g₂(τ) = q²−2⁴·3·q³+2³·3³·5·q⁴+. . . .

Wir berechnen die Wirkung vonTp aufB _{für alle} p∈ _Pund erhalten folgendes (3.1) Lemma

Es ist

A(2) = −2³·3·43·E+A mit A=

0 1 2⁹·3⁶·7²2³·3·131

, sowie

A(p) = _α1(p)E+

0 α2(p) ξ(p) _η(p)−_α1(p)

Hecke-Theorie § 3 Anwendungen:S24

für p≥3. Hierbei ist

ξ(p) :=α1(2p)·+2³·3·43·α1(p),

η(p)_:=_α2(2p) +₂³·₃·₄₃·_α2(p)_. Beweis

Seih₁ =T₂g₁. Nach [K] Lemma IV. 1.1 gilt für allem ∈_Nund p ∈_P die allgemeine Formel

α_Tpf(m) = (

αf(pm) +p²³·_αf(^m_p), falls p| m, α_f(pm), falls p6 |m.

Somit hat man

α_h1(1) = α1(2) =−2³·3·43,

αh₁(2) = _α1(4) +2²³·_α1(1) = 2⁶·31·5527+2²³. Es ergibt sich

T2g1(τ) +2³·3·43·g1(τ) = (2⁶·31·5527+2²³−2⁶·3²·43²)q²+. . .

=₂⁹·₃⁶·₇²·q²+_{. . . .} Somit hat man eine Fourier-Entwicklung der Form

h(τ):=T2g1(τ) +2³·3·43·g1(τ)−2⁹·3⁶·7²·g2(τ) =c·q³+. . . .

Das bedeutet ord∞h ≥ ₃ = _{dimCM24 und somit} h = 0 nach [K] Korollar C III. 4.1.

Es ergibt sich also

T2g1(τ) = −2³·3·43·g1(τ) +2⁹·3⁶·7²·g2(τ). Sei nunh₂ :=T₂g₂. Dann gilt

α_h2(1) =α2(2) = 1,

α_h2(2) =α2(4) +2²³·α2(1) =2³·3³·5, dag2 eine Spitzenform ist. Man hat also die Entwicklung

h₂(_τ)−g₁(_τ) = (2³·3³·5+2³·3·43)·q²+· · · =2⁶·3·11·q²+. . .

Hecke-Theorie § 3 Anwendungen:S24

Analog zu oben gilt alsoT2g2= g1+2⁶·3·11·g2, und man erhält A(2) =

−2³·3·43 1 2⁹·3⁶·7² 2⁶·3·11

=−2³·3·43·E+

0 1 2⁹·3⁶·7² 2³·3·131

=−₂³·₃·₄₃·E+A.

Um A(p) _für p ∈ _P≥3 zu bestimmen, setzen wir ξ(p) _:= _α1(2p) +₂³·₃·₄₃·_α1(p) undη(p) :=α2(2p) +2³·3·43·α2(p). Mith1 :=Tpg1erhält manα_h1(1) = α1(p)und αh₂ =_α1(2p), also

h1(τ)−α1(p)g1(τ) = (α1(2p) +α1(p)·2³·3·43)·q², analog wie für A(2) auch

Tpg₁=_α1(p)g₁+ (_α1(2p) +_α1(p)·2³·3·43)g₂, und

Tpg2=α2(p)g₁+ (α2(2p) +α2(p)·2³·3·43)g2. Es folgt

A(p) =

α1(p) α2(p) ξ(p) η(p)

=_α1(p)E+

0 α2(p) ξ(p) η(p)−α₁(p)

.

Wir kommen nun zum Hauptresultat.

(3.2) Satz

Für jede Primzahl p ∈_P gilt A(p) = α1(p)E+α2(p)A mit Awie in (3.1).

Beweis

Nach (2.2) a) kommutierenA(2)und A(p)fürp≥3, inbesondere vertauschen somit Aund

0 α2(p) ξ(p) _η(p)−_α1(p)

. Es gilt

0 1 2⁹·3⁶·7² 2³·3·131

0 α2(p) ξ(p) η(p)−α1(p)

=

ξ(p) _η(p)−_α1(p)

∗ ∗

, 0 α2(p)

ξ(p) _η(p)−_α1(p)

0 1

2⁹·₃⁶·₇² ₂³·₃·₁₃₁

= 2⁹·3⁶·7²·α2(p) 2³·3·131·α2(p)

∗ ∗

.

Hecke-Theorie § 4 Das Petersson-Skalarprodukt Ein Koeffizientenvergleich ergibt schließlich ξ(p) = 2⁹·3⁶·7²·α2(p) und η(p) = α1(p) +2³·3·131·_α2(p). Setzt man die Werte für ξ(p) und η(p) ein, so ergibt sich

die Behauptung.

(3.3) Korollar

Die Eigenwerte der Hecke-OperatorenTp aufS24 liegen im KörperQ(√

144169). Beweis

Ist α2(p) = 0 hat man A(p) = α1(p)E. Somit liegen trivialerweise alle Eigenwerte vonTp inQ. Istα2(p) 6= 0 undλ ein Eigenwert von A(p), dann ist _α ¹

2(p)(λ−α1(p)) ein Eigenwert von A. Das charakteristische Polynom χA berechnet sich zu

χ_A(X) =X²−SpurAX+detA, dessen Diskriminante

Disc(χ_A) = (SpurA)²−4 detA=2⁶·3²·144169 ist. Folglich liegtλ im KörperQ(√

D) =Q(√

144169).

§ 4 Das Petersson-Skalarprodukt

Wir beginnen mit der fundamentalen Definition.

(4.1) Definition (Hyperbolisches Maß aufH)

Es bezeichne B(_H) die Borel-σ-Algebra aufH, wobei wirC via x+iy7→(x,y)^tr

mitR² identifizieren. Wir definieren das hyberbolische Maß νaufH durch ν: B(_H)→_R+,

Ω7→

Z

Ω

y⁻²dλ(τ).

FürΩ∈ B(_H)nennt man ν(_Ω) auch dieH-Fläche vonΩ.

Das Maßν aufH ist gerade das in [K] [Siegelsche Modulformen] I. 3.18 eingeführte symplektische Maßµ1.

Wir erklären zunächst die Integration komplexwertiger Funktionen auf H, wobei der Begriff „mesbar“ für „Lebesgue-messbar“ stehe.

Hecke-Theorie § 4 Das Petersson-Skalarprodukt (4.2) Definition (Messbarkeit komplexwertiger Funktionen)

Eine Funktion f : H → _C heisst messbar, wenn die reellwertigen Funktionen Re f

und Imf messbar sind.

(4.3) Definition (Integrierbarkeit komplexwertiger Funktionen)

Eine messbare Funktion f : H→_C heißt integrierbar, wenn die reellwertigen Funk- tionen Ref und Im f integrierbar sind. In diesem Fall setzt man

Z

H

f dλ:= Z

H

Ref dλ+i Z

H

Imf dλ.

Wir wollen nun Funktionen aufH bezüglich des hyperbolischen Maßes ν integrie- ren.

(4.4) Definition (Integrierbarkeit bezüglichν)

Eine Funktion f : H → _C heißt hyperbolisch integrierbar oder kurz ν-integrierbar, wenn die Funktion

H→_C, τ 7→ y⁻²f(τ)

im Sinne von Definition 4.3 integrierbar ist. In diesem Fall setzt man Z

H

f dν := Z

H

y⁻²f(τ)dλ(τ).

FürΩ∈ B(_H) nennt man f :H →_Chyperbolisch integrierbar überΩ, wenn f ·χ_Ω hyperbolisch integrierbar ist. Wie üblich setzt man in diesem Fall

Z

Ω

f dν:= Z

H

f ·χ_Ω dν.

Die GruppeGL⁺₂(_R) = {A∈ GL2(_R) : detA >0}operiert bekanntlich aufHvia

(M,τ) 7→ Mτ := ^aτ+b cτ+d,M=

a b c d

.

Im Folgenden notieren wir eine Invarianzeigenschaft von hyperbolischen Integralen unter diesen Transformationen.

Hecke-Theorie § 4 Das Petersson-Skalarprodukt (4.5) Lemma

Sei ϕ:H →_Cmessbar, und Ω∈ B(_H). Für M∈ GL⁺₂(_R) hat man dann Z

MΩ

ϕdν= Z

Ω

ϕ(Mτ) dν(τ),

falls eines der Integrale existiert.

Beweis

Sei M ∈ GL⁺₂ (_R). Die Möbius-Transformation ΦM : H → _{H, τ} 7→ Mτ ist bijektiv und stetig differenzierbar, mit ebenso stetig differenzierbarer UmkehrfunktionΦ_M⁻¹. Somit istΦMein Diffeomorphismus, und folglich auch MΩ messbar. Die Funktion

H →_R^∗₊, τ 7→ y⁻²

ist als stetige Funktion messbar. Nach [K] II. 2.1 (7), 2.3 (1) hat man die Identitäten d

dτΦM(_τ) = ^detM (cτ+d)^2, ImMτ = ^detM

|cτ+d|^2Imτ.

Betrachtet man ΦM als Abbildung von R² → _R², so ist der Betrag der Funktional- determinante nach [K] [Analysis IV] XVI. 3.6 gegeben durch

|detDΦM| =

d

dτΦM(_τ)

2

.

Wendet man schliesslich die Transformationsformel [K] [Analysis III] XIV. 5.7 an, so

Hecke-Theorie § 4 Das Petersson-Skalarprodukt ergibt sich folgende Gleichungskette:

Z

MΩ

ϕdν= Z

MΩ

ϕ(τ)y⁻²dλ(τ)

= Z

Ω

ϕ(Mτ)Im(Mτ)⁻²|detDΦM(τ)| dλ(τ)

= Z

Ω

ϕ(Mτ)Im(Mτ)⁻²

d

dτΦM(τ)

2

dλ(τ)

= Z

Ω

ϕ(Mτ)(detM)⁻²Im(τ)⁻²|cτ+d|⁴(detM)^{2 1}

|cτ+d|^{4 dλ}(τ)

= Z

Ω

ϕ(Mτ)y⁻² dλ(_τ)

= Z

Ω

ϕ(Mτ) dν(_τ)_.

Für ϕ ≡ 1 erhält man noch die Invarianz des hyperbolischen Maßes unter Möbius- Transformationen.

(4.6) Korollar

Für alleΩ∈ B(_H)_und M∈ GL⁺₂(_R) _{gilt ν}(_MΩ) = _ν(_Ω)_.

Wir wollen konkrete Werte fürH-Flächen berechnen.

(4.7) Lemma

Der FundamentalbereichFder Modulgruppe hat endlicheH-Fläche mitν(_F) = ^π₃. Beweis

Der Rand ∂FvonFist bereits eine Lebesgue-Nullmenge, daher ist auch ν(_∂F) =0.

Es genügt somitν(_F)zu berechnen. Fist als abgeschlossene Menge sicher messbar.

Man hat zunächst F=

τ ∈ _{H: Reτ} ∈ [−¹ 2,1

2]_{, Im}(_τ) ≥^q₁−(_Reτ)²

.

Mitτ = x+iyerhält man aus dem Satz von Fubini [K] [Analysis III] XIV. 4.9

Hecke-Theorie § 5 Das Petersson-Skalarprodukt

ν(_F) = Z

F

y⁻² dλ(τ)

= Z

[−¹₂,¹₂]





 Z

[√

1−x²,∞)

y⁻² dλ(y)





 dλ(x)

= Z

[−¹₂,¹₂]

−¹ y

y=_∞ y=√

1−x²

dλ(x)

= Z

[−¹₂,¹₂]

√ 1

1−x² dλ(x)

= [arcsinx]¹²

−¹₂ =2· ^π 6 = ^π

3.

(4.8) Korollar

Sei f : H →_C messbar und aufFbeschränkt. Dann ist f hyperbolisch integrierbar

überF.

Beweis

Für eine geeignete KonstanteM>0 hat man auchy⁻²|f(_τ)| ≤ y⁻²Mfür alleτ ∈_F.

Nach (4.7) hatFendlicheH-Fläche, das heißtτ 7→y⁻²ist integrierbar überF. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz [K] [Analysis III] XIV. 3.3 ist somit f

hyperbolisch integrierbar überF.

§ 5 Das Petersson-Skalarprodukt

(5.1) Definition

Seien f,g: H →_C Funktionen. Dann definiert man ϕf,g: H →_Cdurch

ϕ_f,g(τ) := f(τ)g(τ)(Imτ)^k für alleτ ∈ _H.

Man berechnet direkt

ϕf,f(τ) = f(τ)f(τ)(Imτ)^k =|f(τ)|²(Imτ)^k = f^˜(τ)² für alle τ ∈ H,

wobei ˜f wie in [K] III. 1.5 (1) definiert ist. Definition (5.1) stellt also eine Verallge- meinerung dar.

Hecke-Theorie § 5 Das Petersson-Skalarprodukt (5.2) Lemma

Für alle M∈ GL⁺₂(_R) und alle τ ∈ _Hgilt

(detM)^kϕ_f|M,g|M(τ) = ϕ_f,g(Mτ). Beweis

ϕf,g(Mτ) = f(Mτ)g(Mτ)(ImMτ)^k

= (cτ+d)^k(f|M)(τ)(cτ+d)^k(g|M)(τ)(ImMτ)^k

= (f|M)(_τ)(g|M)(_τ)|cτ+d|^2k(detM)^k

|cτ+d|^2k(Imτ)^k

= (detM)^k(f|M)(τ)(g|M)(τ)(Imτ)^k

= (detM)^kϕ_f|M,g|M(τ). (5.3) Proposition

Seien f,g∈ _{Mk mit}k >_0.

a) Man hat ϕ_f,g(Mτ) = ϕ_f,g(τ)für alle M∈ _Γund alle τ ∈_H.

b) ϕf,g ist genau dann aufHbeschränkt, wenn f oder g eine Spitzenform ist.

Beweis

a) Wegen detM = 1,f|M = f und g|M = g für alle M ∈ _Γ folgt die Behauptung aus (5.2).

b) Man hat für alleτ ∈ _H die Identität

|ϕ_f,g(τ)| =|f(τ)g(τ)|(Imτ)^k =|f g(τ)|(Imτ)^k =(f g^˜ )(τ).

Hierbei ist ˜f wie nach der Bemerkung zu Definition 5.1 definiert. Sei ϕ_f,g, also nach obiger Identität auch ˜f g, auf Hbeschränkt. Somit ist f gnach [K] Satz III.

1.6 eine Spitzenform vom Gewicht 2k. Wegen 0 =α_{f g}(0) = α_f(0)αg(0)

ist folglich f oder geine Spitzenform. Ist umgekehrt f oder geine Spitzenform, so auch f g. Dann ist aber|_ϕf,g|= f g^˜ beschränkt aufH.

Hecke-Theorie § 5 Das Petersson-Skalarprodukt Wir kommen nun zu der entscheidenden Definition dieses Vortrages.

Seien f ∈ _Sk und g ∈ _Mk. Nach (5.3) b) ist ϕ_f,g stetig und beschränkt auf H, und somit nach (4.7) hyperbolisch integrierbar überF. Dies rechtfertigt folgende

(5.4) Definition

Für f ∈ _Sk, g∈ _Mk definiert man hf,gi:=

Z

F

ϕ_f,g dν= Z

F

f(τ)g(τ)(Imτ)^k dν(τ)∈ _C.

Man nennthf,gidasPetersson-Skalarproduktvon f und g.

(5.5) Satz

Das Petersson-Skalarprodukt h·,·i : Sk ×_Mk → _C definiert eine Sesquilinearform derC-VektorräumeMk und Sk. Für f, f₁, f2 ∈ _Sk,g,g₁,g2∈ _Mk und λ∈ _Cgilt also

• hf₁+f₂,gi =hf₁,gi+hf₂,gi,

• hλf,gi =λhf,gi,

• hf,g₁+g2i =hf₁,gi+hf2,gi ,

• hf,λgi =λhf,gi. Beweis

Die Aussagen folgen direkt aus der Definition von h·,·i und der C-Linearität des

Lebesgue-Integrals.

Schränken wir das Skalarprodukt aufSk×_Sk ein, so erhalten wir folgenden (5.6) Satz

Die Abbildung h·,·i : Sk×_Sk → _C definiert eine positiv definite hermitesche Form aufSk, das heissth·,·iist sesquilinear, und für alle f,g∈ _Sk gilt zusätzlich

• hf,gi =hg, fi,

• hf, fi >0, falls f 6=0.

Hecke-Theorie § 6 Integration invarianter Funktionen Beweis

Die Sesquilinearität folgt bereits aus Satz (5.5). Weiter hat man h_{g, f}i=

Z

F

g(τ)f(τ)(Imτ)^k dν(τ)

= Z

F

Ref(_τ)g(_τ)(_Imτ)^k dν(_τ) +i Z

F

Imf(_τ)g(_τ)(_Imτ)^k dν(_τ)

= Z

F

Ref(_τ)g(_τ)(_Imτ)^k dν(_τ)−i Z

F

Imf(_τ)g(_τ)(_Imτ)^k dν(_τ)

= Z

F

Ref(τ)g(τ)(Imτ)^k dν(τ) +i Z

F

Imf(τ)g(τ)(Imτ)^k dν(τ)

=hf,gi

Nach Definition ist ϕf,f(_τ) ≥0 für alle τ ∈ _{H. Aus} hf, fi=

Z

F

|f(_τ)|²(Imτ)^k dν(_τ)

= Z

F

|f(τ)|²(Imτ)^k−2 dλ(τ) =0

folgt wegen der Stetigkeit von f sofort f_|F ≡0. Da Hvon den Bildern vonFunterΓ überdeckt wird, folgt aus der Modularität von f somit auch f ≡_{0 aufH.}

Anders ausgedrückt besagt Satz (5.6) somit, dass (_Sk,h·,·i) ein unitärer Raum ist.

Mit dieser Kenntnis werden wir die Eigenwerte der Hecke-Operatoren auf Sk in Abschnitt 9 genauer untersuchen.

§ 6 Integration invarianter Funktionen

Im Folgenden sei ϕ:H →_Ceine stetige Funktion.

(6.1) Definition

Man definiert dieInvarianzgruppevon ϕdurch

Γ(_ϕ) :={M ∈ _Γ,ϕ(Mτ) = _ϕ(_τ) für alleτ ∈_H}.

Hecke-Theorie § 6 Integration invarianter Funktionen (6.2) Proposition

SeiΩ∈ B(_H) und M∈ _Γ(_ϕ). Dann gilt Z

Ω

ϕdν = Z

MΩ

ϕdν,

falls eines der beiden Integrale existiert.

Beweis

MitΩist auch MΩ messbar. Nach (4.5) und wegen M ∈_Γ(_ϕ) hat man dann Z

MΩ

ϕ(_τ) dν(_τ) = Z

Ω

ϕ(Mτ) dν(_τ) = Z

Ω

ϕ(_τ)dν(_τ).

(6.3) Lemma

Sei Λ ≤ _Γ(_ϕ) _mit −E ∈ _{Λ. Sind} F_{1 und} F₂ zwei Fundamentalbereiche von Λ, so gilt

Z

F₁

ϕdν= Z

F₂

ϕdν,

falls eines der beiden Integrale existiert.

Beweis

Als abgeschlossene Mengen sind F_{1 und} F₂ messbar. Sei V ein Rechtsvertretersys- tem vonΛ\{±E}. Nach Definition eines Fundamentalbereichs gilt

H= ^[

M∈V

MF₁ = ^[

M∈V

MF₂, und somit auch

F₁ =_H∩ F₁= ^[

M∈_Λ

MF₂∩ F₁, F₂ =_H∩ F₂= ^[

M∈Λ

MF₁∩ F_2.

Für M,M⁰ ∈ V mit M 6= M⁰ gilt nach [K] [Höhere Funktionentheorie I] XXVIII. 3 (FB.2*)

λ(MF₁∩ M⁰F₁) = _λ(MF₂∩M⁰F₂) =_0.

Hecke-Theorie § 6 Integration invarianter Funktionen Man erhält nach Proposition (6.2) und [K] XIV. 3.5 somit

Z

F₁

ϕdν=

Z

S

M∈VMF₂∩F₁

ϕdν

=

∑

M∈V Z

MF₂∩F₁

ϕdν

5.2=

∑

M∈V Z

F₂∩M⁻¹F₁

ϕdν

=

∑

M∈V Z

F₂∩MF₁

ϕdν

= Z

H∩F₂

ϕdν

= Z

F₂

ϕdν,

denn mitM durchläuft auch M⁻¹ ein Vertretersystem vonΛ\{±E}. Für eine Untergruppe Λ ≤ _{Γ bezeichne Λ}\_H den Quotientenraum von Λ modulo H, also

Λ\_H :={_Λτ;τ ∈ _H}. Lemma (6.3) rechtfertigt nun die folgende formale (6.4) Definition

Seien Λ ≤ _Γ(ϕ) mit −E ∈ _Λ und F ein Fundamentalbereich von Λ. Man definiert

dann _Z

Λ\_H

ϕdν := Z

F

ϕdν,

falls das Integral existiert. Nach (6.3) ist die Definition unabhängig von dem jeweili-

gen gewählten Fundamentalbereich.

(6.5) Satz

SeiΛ≤_Γ(ϕ) mit−_E ∈ _Λund [Γ(ϕ) : Λ] <∞. Dann gilt die Identität 1

[_Γ(ϕ) : Λ] Z

Λ\_H

ϕ dν = Z

Γ(ϕ)\_H

ϕ dν,

falls eines der Integrale existiert.

Hecke-Theorie § 7 Orthogonales Komplement der Spitzenformen Beweis

Sei F ein Fundamentalbereich von Γ(ϕ) ≤ _{Γ. Sei} {M1, . . . ,M_d} mit d = [_Γ(ϕ) : Λ] ein Vertretersystem der Rechtsnebenklassen vonΛinΓ(_ϕ). Analog zum Beweis von [K] [Höhere Funktionentheorie I] XXVIII. 3.1 sieht man, dass

G =

d

[

v=1

MvF

ein Fundamentalbereich vonΛ ist. Es ergibt sich also Z

Λ\H

ϕdν= Z

G

ϕdν

= Z

S_d v=1MvF

ϕdν

=

∑

Z

MvF

ϕdν

6.2=

∑

Z

F

ϕdν

= [_Γ(ϕ): Λ] Z

Γ(ϕ)\_H

ϕdν.

§ 7 Orthogonales Komplement der Spitzenformen

Für geradesk≥4 hat man nach [K] Satz III. 2.1 b) bekanntlich Mk =_CG^∗_k ⊕_Sk,

wobeiG_k^∗ die normierte Eisensteinreihe zum Gewichtkbezeichnet.

Im Folgenden zeigen wir, dass die obige direkte Summenzerlegung sogar orthogonal bezüglich des Petersson-Skalarproduktes ist. Dazu benötigen wir noch ein

(7.1) Lemma

Die MengeF∞ ={τ ∈_{H; Re}(τ) ∈[0, 1]} ist ein Fundamentalbereich vonΓ∞.

Hecke-Theorie § 7 Orthogonales Komplement der Spitzenformen Beweis

Offensichtlich ist F∞ relativ abgeschlossen in H. Für τ ∈ _H sei nun n := bReτc. Dann ist

Re±T⁻ⁿτ =±(Reτ−n)

Man wählt nun das Vorzeichen so, dass Re±T⁻ⁿ ∈ [0, 1]. Gehörenτ und ±Tⁿτ für einn ∈_Zbeide zum offenen Kern von F∞, gilt also

Reτ ∈ (0, 1) und

±(Reτ−n) ∈ (0, 1),

so folgt offensichtlich n = 0, also T = ±E. Ebenso ist der Rand von F∞ eine Lebesgue-Nullmenge, da er die Vereinigung dreier Geradenstücke inC ist.

(7.2) Satz

Fürk≥4 gerade und f ∈_Sk isthG_k, fi =hG_k^∗, fi =0.

Beweis

Sei V ein Vertretersystem der Nebenklassen von Γ∞ in Γ. Für alle τ ∈ _H hat man nach [K] III. 2.1 (6) die Reihendarstellung

G_k^∗(τ) =

∑

M∈V

(cτ+d)^−k =

∑

M∈V

1|M(τ),

welche auf jedem Vertikalstreifen, insbesondere also auch aufF, absolut gleichmäßig konvergiert. Man darf somit Integration und Summation vertauschen und erhält

Hecke-Theorie § 7 Orthogonales Komplement der Spitzenformen wegen f|M = f für alle M ∈ _Γsomit

hG^∗_k, fi= h

∑

M∈V

1|M, fi

=

∑

M∈V

h1|M, fi

=

∑

M∈V Z

F

1|M(τ)f(τ)(Imτ)^k dν(τ)

f|M=f

=

∑

M∈V Z

F

1|M(τ)f|M(τ)(Imτ)^k dν(τ)

=

∑

M∈V Z

F

ϕ_1|M,f|M(τ) dν(τ)

5.2=

∑

M∈V Z

F

ϕ_1,f(Mτ)dν(τ)

4.5=

∑

M∈V Z

MF

ϕ_1,f(τ) dν(τ)

=

Z

S

M∈VMF

ϕ_1,f(τ) dν(τ).

Nach [K] XXVIII. 3.1 istG =^S_{M∈V MF}ein Fundamentalbereich von Γ∞. Wegen ϕ_1,f(Tτ) = f(Tτ)(Imτ)^k = f(τ+1)(Imτ)^k = f(τ)(Imτ)^k = ϕ_1,f(τ)

hat manΓ∞ ⊂_Γ(ϕ_1,f). Nach (7.1) ist auch F∞ ein Fundamentalbereich vonΓ∞, und nach Lemma (6.3) gilt folglich

Z

S

M∈VMF

ϕ_1,f(τ) dν(τ) = Z

F_∞

ϕ_1,f(τ)dν(τ)

= Z

F∞

f(τ)y^k dν(τ)

= Z

R^∗₊





 Z

[_0,1]

f(x+iy) dx





y^k−2 dy,

wenn man den Satz von Fubini anwendet. Nach dem Satz über die Fourier-Entwicklung

Hecke-Theorie § 8 Selbstadjungiertheit der Hecke-Operatoren [K] [Analysis IV] XX. 4.1 hat man für jedesy∈ _R^∗₊ die Identität

0=αf(0) = Z

[0,1]

f(x+iy)dx.

Es folgthG_k^∗, fi =_0.

§ 8 Selbstadjungiertheit der Hecke-Operatoren

In (5.6) wurdeSkfürk>0, versehen mit dem Petersson-Skalarprodukth·,·i, als uni- tärer Raum erkannt. Nach [K] Korollar IV. 1.3 sind die Hecke-Operatoren Tn Endo- morphismen vonSk. In diesem Paragraphen zeigen wir, dass die Hecke-Operatoren sogar selbstadjungiert bezüglich h·,·i sind. Bekanntlich operiert die volle Modul- gruppeΓin natürlicher Weise von Links als auch von Rechts auf

Γp ={M∈ _Z^2×2, detM= p}.

Wir benötigen die Existenz eines gemeinsamen Vertretersystems für die Bahnen auf Γp bei Links- beziehungsweise Rechtsoperation.

(8.1) Lemma

Für p∈ _P existiert ein gemeinsames Vertretersystem vonΓp modulo Γ.

Beweis

Nach [K] Satz IV. 1.2 bildet V⁰ =

p 0 0 1

,

1 k 0 p

,k =0, . . . ,p−1

ein Rechtsvertretersystem von Γp modulo Γ. Durch Multiplikation von Matrizen 1 0

k 1

∈ _Γ,k=0 . . .n−1 erhält das Rechtsvertretersystem

V =

p 0 0 1

,

1 0 k 1

1 k 0 p

=

1 k k p+k²

,k=0, . . . ,p−1

. In Folge, dassV aus symmetrischen Matrizen besteht, gilt

Γp =_Γ^tr_p = ^G

M∈V

MΓp

!tr

= ^G

M∈V

Γ^tr_pM^tr = ^G

M∈V

ΓpM.

Somit istV auch ein Linksvertretersystem.

Hecke-Theorie § 8 Selbstadjungiertheit der Hecke-Operatoren

Für Matrizen M=

a b c d

∈_Z^2×2 definiert man bekanntlich dieadjunkte Matrix

M^#=

d −b

−c a

. Weiter hat manMM^# =M^#M = (detM)E.

(8.2) Definition (Hauptkongruenzgruppen) Für p∈ _P definiert man

Γ(p) :={M∈ _Γ,M≡_p ±E}.

Γ(p) heißterweiterte Hauptkongruenzgruppe der Stufe p.

Wir beschäftigen uns näher mit dem Zusammenhang von Kongruenzgruppen und Invarianzgruppen:

(8.3) Lemma

Seien f,g: H →_C Funktionen.

a) Es gilt ϕ_f|M,g(M⁻¹τ) = ϕ_f,g|M^#(τ)für alle τ ∈ _H,M∈ GL⁺₂(_R). b) Für f,g∈ _Mk,M ∈ _Γp gelten folgende Aussagen:

i)Γ(p)_,M⁻¹Γ(p)M⊂_Γ(_ϕf|M,g). Der Index ist jeweils endlich.

ii)Γ(p),MΓ(p)M⁻¹ ⊂_Γ(ϕ_f,g|M^#). Der Index ist jeweils endlich.

c)[_Γ: Γ(p)] = _Γ: M⁻¹Γ(p)M .

d) IstF ein Fundamentalbereich von Γ(p), so gilt Z

F

ϕ_f|M,g dν= Z

M⁻¹F

ϕ_f|M,g dν.

Beweis a)

ϕ_f|M,g(M⁻¹τ) = (_detM⁻¹)^k_ϕf|M|M−1,g|M⁻¹(_τ)

= (detM)^−k_ϕf,g|(detM)−1M^#(_τ) = (detM)^−k_ϕf,(detM)kg|M^#(_τ) = _ϕf,g|M#(_τ) b)

i) Sei L∈ _Γ(p) _mit L=±E+pA für ein A ∈_Z^2×2. Dann hat man

L₀:= MLM⁻¹= M(±E)M⁻¹+pMAM⁻¹=±E+MAM^#∈ _Z^2×2