Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I

(1)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I

Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 18.06.2008 Marc Ensenbach

Nachdem in den letzten beiden Vorträgen Hecke-Operatoren definiert und ihre Ei- genschaften und Anwendungen diskutiert wurden, soll nun die algebraische Struk- tur hinter diesen Operatoren untersucht werden.

§ 1 Rechenregeln für Hecke-Operatoren

Als Vorbereitung für die algebraische Betrachtung der Hecke-Operatoren werden in diesem Abschnitt zwei wichtige Rechenregeln hergeleitet.

Multiplikativität

Die erste zu beweisende Rechenregel für Hecke-Operatoren trifft eine Aussage über TmTn für teilerfremdem,n ∈ N. Wesentliches Element des Beweises dieser Aussage ist ein Zusammenhang zwischen Vertretersystemen von Restklassenringen ganzer Zahlen.

(1.1) Lemma

Seien m,n ∈ _N teilerfremd und a1,a2,d1,d2 ∈ _Z mit a1d1 = m und a2d2 = n. Ist dannB₁ ein Vertretersystem vonZ/d1Zund B₂ein Vertretersystem vonZ/d2Z, so ist{a2b1+b2d1|b1 ∈ B1 undb2∈ B2} ein Vertretersystem vonZ/d1d2Z.

Beweis

Da für jedes i ∈ {_{1, 2}} Vertretersysteme von Z/diZ genau |di| Elemente und Ver- tretersysteme vonZ/d1d2Zgenau |d1d2| Elemente beinhalten, genügt es zu zeigen, dass die|d₁d₂| Zahlen der Form a₂b₁+b₂d₁fürb₁∈ B₁ undb₂∈ B₂ paarweise nicht kongruent modulod1d2sind.

Seien nunb₁,b⁰₁ ∈ B₁ undb2,b⁰₂ ∈ B2 mit a2b⁰₁+b⁰₂d₁ ≡a2b₁+b2d₁ mod d₁d2. Dann gilt erst recht a₂b⁰₁+b⁰₂d₁ ≡a₂b₁+b₂d₁ mod d₁ und somit a₂b⁰₁ ≡a₂b₁ mod d₁. Da nach Voraussetzung m und n und damit erst recht a2 und d1 teilerfremd sind, gibt es nach dem erweiterten euklidischen Algorithmus x,y ∈ _Zmit a₂x+d₁y =1, also a2x ≡ 1 modd1, so dass aus a2b⁰₁ ≡ a2b1 mod d1 zunächst a2xb₁⁰ ≡ a2xb1 mod d1

und damit b⁰₁ ≡ b₁ mod d₁ folgt. Da B₁ nach Voraussetzung aber keine zwei verschiedenen Zahlen, die zueinander kongruent modulod₁ sind, enthält, muss bereits

(2)

b₁⁰ = b1 gelten. Aus der Ausgangskongruenz a2b⁰₁+b⁰₂d1 ≡ a2b1+b2d1 mod d1d2

erhält man mit b⁰₁ = b₁ nun b₂⁰d₁ ≡ b₂d₁ mod d₁d₂. Da d₁ wegen a₁d₁ = m ∈ _N nicht gleich 0 sein darf, kann man durchd1 dividieren und erhält b₂⁰ ≡ b2 mod d2, und da B2ein Vertretersystem von Z/d2Zist, erhält man daraus b⁰₂ =b2. Dies zeigt

die Behauptung.

Mit dem gerade gezeigten Lemma stehen bereits alle nötigen Hilfsmittel zum Beweis der schon angekündigten Multiplikativitätsaussage zur Verfügung.

(1.2) Satz

Sindm,n∈ _Nteilerfremde Zahlen und ist f ∈ V(_H), so gilt Tm⁽^k⁾Tn⁽^k⁾f = Tmn⁽^k⁾f =Tnm⁽^k⁾f =Tn⁽^k⁾Tm⁽^k⁾f

für allek ∈_Z.

Beweis

Für alleτ ∈ _H gilt nach 1.1(6) (Tm⁽^k⁾Tn⁽^k⁾f)(τ)

= m^k⁻¹

∑

a₁d₁=m d1>0

d⁻₁^k

∑

b₁modd₁

Tn⁽^k⁾(f)

a₁τ+b₁ d1

= m^k⁻¹

∑

a₁d₁=m d₁>0

d⁻₁^k

∑

b₁modd₁

n^k⁻¹

∑

a₂d₂=n d₂>0

d⁻₂^k

∑

b₂modd₂

f a2a₁τ+b₁ d1 +b2

d₂

!

= (mn)^k⁻¹

∑

a₁d₁=m d₁>0

a₂

∑

d₂=n d₂>0

(d₁d₂)⁻^k

∑

b₁modd₁

∑

b₂modd₂

f

a₁a2τ+a2b₁+b2d₁ d1d2

(1.1)

= (mn)^k⁻¹

∑

a₁d₁=m d₁>0

a₂

∑

d₂=n d₂>0

(d₁d₂)⁻^k

∑

bmodd₁d₂

f

a₁a₂τ+b d1d2

.

Damund nteilerfremd sind, ist

{(a₁,d₁,a₂,d₂) ∈ _Z⁴|a₁d₁ =m, d₁>0, a₂d₂ =m, d₂>0}

→ {(a,d) ∈ _Z²|ad =n, d>0}, (a₁,d₁,a₂,d₂) 7→ (a₁a₂,d₁d₂)

(3)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I § 1 Rechenregeln eine Bijektion (denn für x,y ∈ _Z mit x | m und y | n kann man dann stets x und y aus xyeindeutig bestimmen), also kann man weiter umformen

(mn)^k⁻¹

∑

a1d1=m d₁>0

a2

∑

d2=n d2>0

(d1d2)⁻^k

∑

bmodd1d2

f

a1a2τ+b d₁d2

= (mn)^k⁻¹

∑

ad=mn d>0

d⁻^k

∑

bmodd

f

aτ+b d

= (_T_mn⁽^k⁾_f)(_τ)_.

Somit ist die erste der behaupteten Gleichheiten bewiesen. Die zweite Gleichheit erhält man wegen mn = nm, und die dritte Gleichheit ergibt sich dann wieder mit

dem bereits bewiesenen Teil.

Eine Rekursionsformel

Nachdem im letzten Teilabschnitt gezeigt wurde, dassTmTn fürm,n∈ _Nteilerfremd selbst wieder ein Hecke-Operator ist, stellt sich nun die Frage, ob dies auch im Falle von nicht teilerfremden m,n ∈ _N gilt. Es wird sich herausstellen, dass dies im Allgemeinen falsch ist. Es gilt jedoch eine schwächere Aussage, die es gestattet, TmTn als Linearkombination von Hecke-Operatoren zu schreiben.

Wie im letzten Teilabschnitt werden auch hier Beziehungen zwischen Vertretersys- temen von Restklassenringen ganzer Zahlen benötigt.

(1.3) Lemma

Sei p eine Primzahl undv ∈ _N₀. Ist dann B ein Vertretersystem vonZ/p^vZund A ein Vertretersystem vonZ/pZ, so ist{b+ap^v|b∈ Bund a∈ A}ein Vertretersystem

vonZ/p^v⁺¹Z.

Beweis

Wie im Beweis von (1.1) genügt es zu zeigen, dass die Zahlen der Form b+ap^v für b ∈ B und a ∈ A paarweise nicht kongruent modulo p^v⁺¹ sind. Seien nun b,b⁰ ∈ B und a,a⁰ ∈ A mit b+ap^v ≡ b⁰+a⁰p^v mod p^v⁺¹. Dann gilt erst recht die Kongruenz b+ap^v ≡ b⁰+a⁰p^v mod p^v, also b ≡ b⁰ mod p^v. Da b und b⁰ zu einem Vertretersystem von Z/p^vZ gehören, folgt somit b = b⁰. Eingesetzt in die Ausgangskongruenz erhält man damit b+ap^v ≡ b+a⁰p^v mod p^v⁺¹ und folglich ap^v ≡ a⁰p^v mod p^v⁺¹, womit ein k ∈ _Z mit a⁰p^v = ap^v+kp^v⁺¹ existiert. Dividiert man nun beide Seiten durchp^v, so erhält man a⁰ =a+kp, und daaunda⁰zu einem

(4)

Vertretersystem von Z/pZ gehören, folgt somit a = a⁰. Damit ist die Behauptung

bewiesen.

Eine Art »Umkehrung« von (1.3) wird ebenfalls benötigt.

(1.4) Lemma

Sei p eine Primzahl und v ∈ _N₀. Ist dann C ein Vertretersystem von Z/p^v⁺¹Z, so gibt es paarweise disjunkte MengenB₁, . . . ,Bp mit B₁∪ · · · ∪Bp =C, so dass B_i für jedes 1≤_i≤ _p ein Vertretersystem vonZ/p^vZist.

Beweis

Sei C = {_c₁_{, . . . ,}_c_k}_{, wobei} _k = _p^v⁺¹ gelte. Weiter sei B ein Vertretersystem von Z/p^vZ und A = {a1, . . . ,ap} ein Vertretersystem von Z/pZ. Nach (1.3) ist dann C⁰ := {b+a_ip^v|b ∈ B und 1 ≤ i ≤ p} ein Vertretersystem von Z/p^v⁺¹Z. Da auch C ein Vertretersystem von Z/p^v⁺¹Z ist, gibt es eine Bijektion ϕ : C⁰ → C, so dass ϕ(c⁰) ≡ c⁰ mod p^v⁺¹ für alle c⁰ ∈ C⁰ gilt. Definiert man B_i = {ϕ(b+a_ip^v)|b ∈ B} für alle 1≤_i ≤ p, so liefert die Bijektivität von ϕ, dassB1, . . . ,Bp paarweise disjunkt sind undB1∪ · · · ∪Bp =Cgilt, und weiter hat man für jedesb∈ Bund 1 ≤i≤ pdie Kongruenz ϕ(b+a_ip^v) ≡ b+a_ip^v mod p^v⁺¹ und damit ϕ(b+a_ip^v) ≡ b mod p^v, womit folgt, dass jedesBi für 1≤i≤ pein Vertretersystem vonZ/p^vZumfasst. Da B_idarüberhinaus nach Definition aufgrund der Bijektivität von ϕgenau p^vElemente hat, folgt, dass Bi für jedes 1 ≤_i ≤ _p ein Vertretersystem vonZ/p^vZ ist. Damit ist

die Behauptung bewiesen.

Als Hauptresultat dieses Teilabschnitts wird eine Rekursionsformel zur Berechnung vonTnf für den Fall, dass neine Primzahlpotenz ist, bewiesen.

(1.5) Satz

Sei peine Primzahl,r ∈ _Nund k ∈_Nsowie f ∈ V(_H). Dann gilt T_p⁽^k_r+1⁾ f = T_p⁽^kr⁾T_p⁽^k⁾f −p^k⁻¹T_p⁽^kr−1⁾ f,

wobei man T_p⁽^k0⁾ =T₁⁽^k⁾ als identische Abbildung auffasst.

(5)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I § 1 Rechenregeln Beweis

Für alleτ ∈ _H gilt

(T_p⁽^kr⁾T_p⁽^k⁾f)(_τ)^1.1(6)= (p^r)^k⁻¹

∑

ad=p^r d>0

d⁻^k

∑

bmodd

(T_p⁽^k⁾f)

aτ+b d

= p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=0

(p^v)⁻^k

∑

bmodp^v

(T_p⁽^k⁾f)

p^r⁻^vτ+b p^v

1.1(7)

= p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=0

p⁻^vk

∑

bmodp^v

p^k⁻¹f

p p^r⁻^vτ+b p^v

+p⁻¹

∑

amodp

f

p^r−vτ+b p^v +a

p

!!

= p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=1

p⁻^vk

∑

bmodp^v

p^k⁻¹f

p^r⁻^vτ+b p^v⁻¹

+p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾f(p^r⁺¹τ) +p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=0

p⁻^vk

∑

bmodp^v

p⁻¹

∑

amod p

f p^r⁻^vτ+b+ap^v p^v⁺¹

! .

Da f periodisch zur Periode 1 ist, gilt für b≡b⁰ mod p^v⁻¹ stets f

p^r⁻^vτ+b⁰ p^v⁻¹

= f

. Mit (1.4) erhält man daraus

bmod

∑

p^v

p^k⁻¹f

= p

∑

bmodp^v−1

p^k⁻¹f

= p^k

∑

bmodp^v−1

f

.

Weiter hat man

bmod

∑

p^v

p⁻¹

∑

amodp

!

(1.3)

= p⁻¹

∑

cmodp^v+1

f p^r⁻^vτ+c p^v⁺¹

! .

(6)

Mit diesen Gleichungen erhält man nun p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=₁

p⁻^vk

∑

bmodp^v

p^k⁻¹f

+p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾f(p^r⁺¹τ)

+p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=0

p⁻^vk

∑

bmodp^v

p⁻¹

∑

amodp

!

= p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=1

p⁻⁽^v⁻¹⁾^k

∑

bmodp^v−1

f

+p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾f(p^r⁺¹τ)

+p^r⁽^k⁻¹⁾

∑

r v=₀

p⁻^vk⁻¹

∑

cmodp^v+1

f p^r⁻^vτ+c p^v⁺¹

!

= p^r⁽^k⁻¹⁾

r−1 v

∑

=₀

p⁻^vk

∑

bmodp^v

f

p^r⁻^v⁻¹τ+b p^v

+p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾f(p^r⁺¹τ)

+p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾

r+1 v

∑

=1

p⁻^vk

∑

cmodp^v

f p^r⁻^v⁺¹τ+c p^v

!

1.1(6)

= p^r⁽^k⁻¹⁾p⁻⁽^r⁻¹⁾⁽^k⁻¹⁾(T_p⁽^kr−1⁾ f)(_τ) +p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾

r+1 v

∑

=0

p⁻^vk

∑

cmodp^v

f p^r⁻^v⁺¹τ+c p^v

!

1.1(6)

= p^r⁽^k⁻¹⁾p⁻⁽^r⁻¹⁾⁽^k⁻¹⁾(T_p⁽^kr−1⁾ f)(τ) +p⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾p⁻⁽^r⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾(T_p⁽^k_r+1⁾ f)(_τ)

= p^k⁻¹(T_p⁽^kr−1⁾ f)(_τ) + (T_p⁽^k_r+1⁾ f)(_τ), also insgesamt

T_p⁽^kr⁾Tp⁽^k⁾f = p^k⁻¹T_p⁽^kr−1⁾ f +T_p⁽^kr+1⁾ f,

was die Behauptung beweist.

Als Anwendung des gerade bewiesenen Satzes erhält man eine Formel, die TmTn

als Linearkombination von Hecke-Operatoren darstellt, wenn m und n Potenzen derselben Primzahl p∈ _Nsind.

(7)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I § 1 Rechenregeln (1.6) Korollar

Sei peine Primzahl und k∈ N. Weiter seienr,s∈ _N₀. Dann gilt T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks⁾ =

min{r,s} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ .

Insbesondere giltT_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks⁾ =T_p⁽^ks⁾T_p⁽^kr⁾. Beweis

Beweise die Behauptung durch Induktion nachs.

(IA) Die Behauptung fürs=0 ist trivial, für s=1 ist sie äquivalent zu (1.5).

(IV) Sei nuns∈ N, und es gelte die Behauptung mits⁰ anstelle von sfür alle s⁰ <s.

(IS) Es gilt T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks+1⁾

(1.5)

= T_p⁽^kr⁾(T_p⁽^ks⁾Tp⁽^k⁾−p^k⁻¹T_p⁽^ks−1⁾ ) = T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks⁾Tp⁽^k⁾−p^k⁻¹T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks−1⁾

(IV)=

min{r,s} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ Tp⁽^k⁾−p^k⁻¹

min{r,s−1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−1−2v⁾

=

∑

0≤v≤min{r,s} r+s−2v<1

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ Tp⁽^k⁾+

∑

0≤v≤min{r,s} r+s−2v≥1

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ Tp⁽^k⁾

−p^k⁻¹

min{r,s−1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−1−2v⁾

(1.5)

=

∑

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ T_p⁽^k⁾

+

∑

p^v⁽^k⁻¹⁾(T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ +p^k⁻¹T_p⁽^kr+s−2v−1⁾ )

−p^k⁻¹

min{r,s−1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−1−2v⁾

=

∑

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ Tp⁽^k⁾+

∑

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾

+

∑

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾ −

min{r,s−1} v

∑

=0

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾ .

(8)

Im Falle r ≥ s+1 gilt für 0 ≤ v ≤ min{r,s} = s stets r+s−2v ≥ r−v ≥ 1 und min{r,s−1} =s−1, also vereinfacht sich obige Gleichung dann zu

T_p⁽^kr⁾T_p⁽^k_s+1⁾ =

∑

s v=₀

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ +

∑

s v=₀

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾ −

s−1 v

∑

=₀

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾

=

∑

s v=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ +p⁽^s⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2s−1⁾

=

s+1 v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ =

min{r,s+1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ ,

was die Behauptung für s+1 anstelle von s ist. Im Falle r = s gilt r+s−2v = 0 für v = s und r+s−2v ≥ 1 für alle 0 ≤ v < s sowie min{r,s−1} = s−1, also vereinfacht sich obige Gleichung zu

T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks+1⁾ = p^s⁽^k⁻¹⁾T₁⁽^k⁾Tp⁽^k⁾+

s−1 v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^k2s−2v+1⁾

+

s−1 v

∑

=0

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^k2s−2v−1⁾ −

s−1 v

∑

=0

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^k2s−2v−1⁾

= p^s⁽^k⁻¹⁾T₁⁽^k⁾Tp⁽^k⁾+

s−1 v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^k2s−2v+1⁾ =

∑

s v=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^k2s−2v+1⁾

r=s

=

min{r,s+1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ ,

was die Behauptung für s+1 anstelle von s ist. Im Falle r < s schließlich gilt für 0 ≤ v ≤ min{r,s} = r stets r+s−2v ≥ s−v ≥ 1 und min{r,s−1} = r, also vereinfacht sich obige Gleichung dann zu

T_p⁽^kr⁾T_p⁽^k_s+1⁾ =

∑

r v=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ +

∑

r v=0

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾ −

∑

r v=0

p⁽^v⁺¹⁾⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v−1⁾

=

∑

r v=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ =

min{r,s+1} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v+1⁾ ,

was ebenfalls die Behauptung fürs+1 anstelle von s ist. Somit ist der Induktions-

schluss vollständig.

(9)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I § 2 Die Algebra

§ 2 Die Algebra der Hecke-Operatoren

In diesem Abschnitt wird aus den Hecke-Operatoren eine C-Algebra von Endo- morphismen von Mk konstruiert. Zunächst wird dazu eine Bezeichnung für den zugrundeliegendenC-Vektorraum eingeführt.

(2.1) Bezeichnung

Für jedesk ∈_N₀führt man die Bezeichnung H_k =

(

n

∑

∈N

αnTn⁽^k⁾

N ⊆_Nendlich und αn ∈_C für allen ∈ N )

ein.

Nun wird derC-VektorraumH_kzusammen mit einer weiteren Verknüpfung zu einer Algebra gemacht.

(2.2) Satz

Sei k ∈ _N₀. Der C-Vektorraum H_k wird zusammen mit der Hintereinanderausfüh- rung von Operatoren zu einer kommutativenC-Algebra mit Eins, die Unteralgebra von EndMk ist, wobei EndMk die C-Algebra aller Endomorphismen auf Mk be- zeichnet. Als C-Algebra wird H_k von den T_p⁽^k⁾ für Primzahlen p ∈ _Nerzeugt. Sind m,n∈ _{N, so gilt}

Tm⁽^k⁾Tn⁽^k⁾ =

∑

d|(m,n) d>0

d^k⁻¹T⁽mn^k⁾ d2 .

Insbesondere gibt es zu jedem n ∈ _N eine endliche Menge {p₁, . . . ,p_l} von Prim- zahlen, so dassTn⁽^k⁾ ∈_Q[Tp⁽^k₁⁾, . . . ,Tp⁽^k_l⁾] gilt.

Beweis

(1) Das Einselement vonH_k ist die identische AbbildungT1, und dassH_k ⊆EndMk

gilt, folgt nach Definition vonH_k bereits aus der Tatsache, dass Tn für jedes n ∈ _N nach Korollar 1.3 ein Endomorphismus vonMk ist.

(2) Für jedes r ∈ _N₀ und jede Primzahl p ∈ _N ist T_p⁽^kr⁾ ein Polynom in Tp⁽^k⁾ mit Koeffizienten inQ: Fürr ∈ {0, 1}ist diese Aussage klar. Istr ≥1 und ist T_p⁽^ks⁾ für alle s≤_r ein Polynom in Tp⁽^k⁾ mit Koeffizienten inQ, so ist auch

T_p⁽^k_r+1⁾ ^(1.5)= T_p⁽^kr⁾T_p⁽^k⁾−p^k⁻¹T_p⁽^kr−1⁾

(10)

als Produkt von Polynomen selbst wieder ein Polynom in Tp⁽^k⁾ mit Koeffizienten in Q. Induktiv folgt nun die Behauptung.

(3) Die Hecke-Algebra H_k ist kommutativ: Führe zunächst die Bezeichnung vp(n) für alle n ∈ _Nund Primzahlen p ∈ _Nfür die Vielfachheit von p in der Primfaktor- zerlegung vonnein, so dass stets

n =

∏

pPrimzahl

p^v^p⁽ⁿ⁾

gilt. Sind nunR,S ∈ H_k mit R=

∑

m∈M

αmTm⁽^k⁾ und S =

∑

n∈N

βnTn⁽^k⁾

für endliche Mengen M,N ⊆N, so folgt

RS =

∑

m∈M

αmT_m⁽^k⁾

!

n

∑

∈N

βnT_n⁽^k⁾

!

=

∑

m∈M n∈N

αmβnT_m⁽^k⁾T_n⁽^k⁾

(1.2)

=

∑

m∈M n∈N

αmβn

∏

pPrimzahl

T⁽^k⁾

p^vp^(m)

!

pPrimzahl

∏

T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾

!

=

∑

m∈M n∈N

αmβn

∏

pPrimzahl

T⁽^k⁾

p^vp^(m)T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾.

Zu jeder Primzahl p∈ _Nexistiert nach (2) für jedesm ∈ Mein PolynomFm,p ∈_Q[X] und für jedes n∈ _N ein Polynom Gn,p ∈ _Q[X] mit

T⁽^k⁾

p^vp^(m) = Fm,p(Tp⁽^k⁾) und T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾ =Gn,p(Tp⁽^k⁾). Fürr,s∈ _N₀ _{gilt stets}

(T_p⁽^k⁾)^r(T_p⁽^k⁾)^s = (T_p⁽^k⁾)^r⁺^s = (T_p⁽^k⁾)^s⁺^r = (T_p⁽^k⁾)^s(T_p⁽^k⁾)^r,

(11)

Die algebraische Struktur der Hecke-Operatoren I § 2 Die Algebra also folgt

m

∑

∈M n∈N

αmβn

∏

pPrimzahl

T⁽^k⁾

p^vp^(m)T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾ =

∑

m∈M n∈N

αmβn

∏

pPrimzahl

Fm,p(Tp⁽^k⁾)Gn,p(Tp⁽^k⁾)

=

∑

m∈M n∈N

βnαm

∏

pPrimzahl

Gn,p(Tp⁽^k⁾)Fm,p(Tp⁽^k⁾)

=

∑

m∈M n∈N

βnαm

∏

pPrimzahl

T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾T⁽^k⁾

p^vp^(m)

=

∑

m∈M n∈N

βnαm

∏

pPrimzahl

T⁽^k⁾

p^vp⁽ⁿ⁾

!

pPrimzahl

∏

T⁽^k⁾

p^vp^(m)

!

(1.2)

=

∑

m∈M n∈N

βnαmT_n⁽^k⁾T_m⁽^k⁾

=

∑

n∈N

βnTn⁽^k⁾

!

m

∑

∈M

αmTm⁽^k⁾

!

=SR.

(4) Zeige nun die Formel für das Produkt zweier Hecke-Operatoren durch Induktion nach der Anzahl w der verschiedenen Primteiler von mn. Ist w = 1, so existieren r,s∈ _N₀ und eine Primzahl p ∈ _Nmit m= p^r sowien= p^s. Dann hat man

Tm⁽^k⁾Tn⁽^k⁾ =T_p⁽^kr⁾T_p⁽^ks⁾

(1.6)

=

min{r,s} v

∑

=0

p^v⁽^k⁻¹⁾T_p⁽^kr+s−2v⁾ =

∑

d|(p^r,p^s) d>0

d^k⁻¹T⁽_{pr ps}^k⁾

d2

.

Sei nun w ≥ 2, und es sei die behauptete Produktformel bereits für m⁰,n⁰ ∈ _N anstelle von m beziehungsweise n bewiesen, wenn m⁰n⁰ genau w−1 verschiedene Primteiler hat. Betrachte zunächst den Fall, dassmund nteilerfremd sind. Dann gilt

T_m⁽^k⁾T_n⁽^k⁾ ^(1.2)= T_mn⁽^k⁾ =1^k⁻¹T⁽mn^k⁾ 1

=

∑

d|(m,n) d>0

d^k⁻¹Tmn⁽^k⁾ d2 .

Andernfalls wähle eine Primzahl p ∈ _Nmit p |(m,n). Dann gibt es m⁰,n⁰ ∈ _Nund r,s∈ _N_mitm= p^rm⁰ undn = p^sn⁰sowiep6 |m⁰undp6 |n⁰. Dann folgt auchp6 |m⁰n⁰, aber es gilt q | m⁰n⁰ für Primzahlen q 6= p genau dann, wenn q | mn gilt. Somit hat m⁰n⁰genauw−1 verschiedene Primteiler. Gemäß Induktionsvoraussetzung gilt nun

T_m⁽^k0⁾T_n⁽^k0⁾ =

∑

d|(m⁰,n⁰) d>0

d^k⁻¹T⁽_m^k0⁾n0 d2

.