Komplexe Rechnung Wiederholung - Grundlagen

Komplexe Rechnung Wiederholung - Grundlagen

1. Warum komplexe Zahlen?

2. Definition einer komplexen Zahl

3. Darstellungsformen der komplexen Zahl 4. Rechnung mit komplexen Zahlen

5. Eigenschaften der komplexen Zahlen

6. Potenzieren von komplexen Zahlen

7. Radizieren von komplexen Zahlen

1. Warum komplexe Zahlen?

Unter Verwendung der reellen Zahlen lassen sich einige Gleichungssysteme nicht lösen. Geht man z.B. von der einfachen quadratischen Gleichung aus, so hat sie keine reelle Lö- sung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist. Wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen, so erhält man zu der Gleichung formal die beiden Ausdrücke:

0

2+1= x

0

2+1= x

2 1

,

1 = ⁺₋ −

x ,

die in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert sind. Dieses Problem existiert nicht, wenn die reellen Zahlen um die „imaginären“ Zahlen erweitert werden.

Der Vorschlag, imaginäre Zahlen einzuführen, geht auf Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) zurück. Imaginär deshalb, weil diese Zahlen auf der Zahlengeraden keinen Platz haben und nur in der Vorstellung existieren. Man hat die grundlegende imaginäre Zahl i genannt. Um eine Verwechslung mit der Stromstärke i zu vermeiden, kennzeichnet man in der Elektrotechnik die imaginäre Einheit mit dem Symbol j und nicht wie in der Mathematik mit i. Ein besonderes Anwendungsgebiet der komplexen Zahlen ist die Darstellung von Wechselströmen in der E- lektrotechnik.

2. Definition einer komplexen Zahl

Der Wurzelausdruck −1 heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j gekennzeich- net: j= −1 .

Das Quadrat der imaginären Einheit j ist die reelle Zahl -1: j² = -1.

1

Unter der komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und ei- ner imaginären Zahl jy:

z = x + jy .

x = Re {z} Realteil von z y = Im {z} Imaginärteil von z

Unter Verwendung der imaginären Einheit j lauten nun die Lösungen der Gleichung x²+1 = 0:

x1/2 = +/- j .

Sie können als „Produkte“ aus der reellen Zahl +1 bzw. –1 und der imaginären Einheit j aufgefaßt wer- den: x1 = 1j = j und x2 = -1j = -i

Gleichheit zweier komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 sind gleich wenn x1 = x2 und y1 = y2 ist.

Betrag einer komplexen Zahl

Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z = x + jy versteht man die Länge des zugehöri- gen Zeigers (siehe geometrische Darstellung). Er berechnet sich wie folgt: |z|= x²+ y²

Konjugiert komplexe Zahlen

Die zu z = x + jy konjugiert komplexe Zahl hat den gleichen Realteil wie z, jedoch den negati- ven Imaginärteil von z. Die konjugiert komplexe Zahl wird mit z* = x - jy bezeichnet.

2

3. Darstellungsformen von komplexen Zahlen

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene.

Eine komplexe Zahl z = x + jy läßt sich in der Gaußschen Zahlenebene durch den Bildpunkt P(z) = (x;y) oder durch den Zeiger z = x+jy geometrisch darstellen. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen auf der reellen waagerechten Achse, die Bildpunkte der imaginären Zahlen lie- gen auf der imaginären senkrechten Achse.

Re(z) P(z)

Im(z)

Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene.

Re(z) z = x + iy

z* = x - iy Im(z)

Re(z) z = x + iy Im(z)

|z|

Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene. Die Zeigerlänge entspricht dem Be- trag von z.

Zum Begriff der konjugiert komplexen Zahl

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Es gibt drei wesentliche Darstellungsformen von komplexen Zahlen:

a) Algebraische oder kartesische Form

z = x + jy

x = Re {z}: Realteil von z y = Im {z}: Imaginärteil von z

b) Trigonometrische Form

z = r (cos ϕ +j sin ϕ)

Den Bildpunkt P(z) einer komplexen Zahl können wir auch durch Polarkoordinaten r und ϕ festlegen.

Re(z) z = x + iy Im(z)

ϕ x r y r : Betrag von z

ϕ : Argument (Winkel) von z

c)

z = r e

Unter Verwendung der bekannten Euler’schen Formel

e

erhält man aus der trigonometrischen Form z = r (cos ϕ +j sin ϕ) die als Exponentialform be- zeichnete Darstellung

z = r e ^jϕ

r : Betrag von z

ϕ : Argument (Winkel) von z

4

Die Exponentialform ist gewissermaßen die Kurzschreibweise der trigonomertrischen Form.

Beiden Darstellungsformen liegen Polarkoordinaten zugrunde. Daher werden sie unter der Be- zeichnung „Polarform“ zusammengefasst. Eine in der Polarform

z = r (cos ϕ +j sin ϕ) oder z = r e ^jϕ

vorliegende komplexe Zahl läßt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

in die kartesische Form z = x + iy überführen. Die Transformationsgleichungen beschreiben den Übergang von den Polarkoordinaten (r,ϕ) zu den kartesischen Koordinaten (x,y). Zuerst wird die komplexe Zahl von der Exponentialform in die trigonometrische Form gebracht, dann wird „ausmultipliziert“.

iy x r

i r

i r

re z

Y X

i = + = + = +

= ^ϕ (cosϕ sinϕ) (cosϕ) (sinϕ)

Eine in der kartesischen Form z = x + iy vorliegende komplexe Zahl lässt sich mit Hilfe der Transformationsgleichungen

2

2 y

x z

r= = + ,

x

= y ϕ tan

und unter Berücksichtigung des Quadranten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt, in die tri- gonometrische Form z = r (cos ϕ +j sin ϕ) bzw. in die Exponentialfunktion z = r e ^iϕ überfüh- ren.

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4. Rechnung mit komplexen Zahlen

Die vier Grundrechenarten (Additon, Subtraktion, Multiplikation, Division)

Summe und Differenz zweier komplexer Zahlen z = x +jy werden gebildet indem man Realteil und Imaginärteil jeweils für sich addiert bzw. subtrahiert:

2

1 z

z + z₁ − z₂

(

) (

1 z x x j y y

z + = + + +

)

)

)

x

(

) (

1 z x x j y y

z − = − + −

Die Summen- bzw. Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen nach den gleichen Regeln wie bei zweidimensionalen Vektoren. Den beiden Vektorkomponenten entsprechen dabei Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl. Geometrisch läßt sich die Rechnung nach der aus der Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel darstellen.

Re(z) z = z + z z

z Im(z)

1

1

2

Addition in der geometrischen 2

Darstellung entsprechend der Parallelogrammregel.

Das Produkt z₁ * z₂ zweier komplexer Zahlen z = x + jy ist die komplexe Zahl:

( ) (

1 * 2 1 2 1 2 1 2 1 2

z z = x x − y y + j x y + y

Bei der Multiplikation und der Division erweist sich die trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung als besonders vorteilhaft: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert:

( ) ( )

[

] ( )

2 1 2

1

*

(

) cos ϕ

ϕ

sin ϕ

ϕ

*

z

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Geometrisch bedeutet die Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Drehstreckung des Zeigers. Zunächst wird der Zeiger z₁um das - fache gestreckt (Streckung) und anschließend um den Winkel

r2

ϕ2 gedreht (Drehung).

Re(z) z

z z

z

z = = r r e Im(z)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ )

1

1

2

2

1 2

r r r

1 1

1 2

2 2 i ( ⁺

Geometrische Darstellung zur Multipli- kation zweier komplexer Zahlen:

Der Quotient z1/z2 zweier komplexer Zahlen ist die komplexe Zahl

2 2 2 2

2 1 1 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1

y x

y x y jx y

x

y y x x z z

+ + −

+

= +

Auch hier ist die Betrachtung in Polarkoordinaten vorteilhafter: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert:

) ( 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1

= [cos ( ϕ − ϕ ) + sin ( ϕ − ϕ )] = e

r j r

r r z

z

Geometrisch ist das die Umkehrung der Drehstreckung.

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5. Eigenschaften der komplexen Zahlen

Die vier Grundrechenarten der komplexen Zahlen unterstehen folgenden Grundgesetzen:

1. Summe z₁ + z₂ , Differenz z₁ − z₂ , Produkt z₁ * z₂ und Quotient

2 1

z

z zweier kom- plexer Zahlen ergeben wiederum eine komplexe Zahl. (Ausnahme: die Division durch 0 ist nicht erlaubt)

2. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Kommutativgesetz:

1 2 2

1 z z z

z + = + ,

1 2 2

1 z z z

z =

3. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Assoziativgesetz:

3 2 1 3 2

1 (z z ) (z z ) z

z + + = + +

3 2 1 3 2

1 (z z ) (z z ) z

z =

4. Bei Addition und Multiplikation gilt stets für beliebige Zahlen das Distributivgesetz:

3 1 2 1 3 2

1 (z z ) z z z z

z + = +

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6. Potenzieren von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl z = r (cos ϕ + j sin ϕ) = r e^jϕ wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) ϕ mit n multipliziert. Das

„Potenzieren“ bedeutet wiederholte Multiplikation. In der geometrischen Betrachtung heißt das wiederholte Drehstreckung des Zeigers.

Somit wird eine komplexe Zahl in der Polarform wie folgt potenziert:

1. in exponentieller Schreibweise:

z ⁿ = [r e^jϕ ]ⁿ = r ⁿ e^jnϕ

2. in trigonometrischer Schreibweise:

z ⁿ = [r (cos ϕ + j sin ϕ)]ⁿ = r ⁿ [cos (nϕ) + j sin (nϕ)]

Beispiel für n < 5 und z = 1 + j:

= °

+

= 1 j 2e^j45 z

z²=

(

)

(

)

= ^{3 3 135 135}

3 1 j 2 e^j 2.83e^j

z

(

)

4= 1+ = 2 ^°=4

z

z⁵⁼

(

)

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7. Radizieren von komplexen Zahlen

Es ist bekannt, daß eine algebraische Gleichung n-ten Grades vom Typ reell)

(a 0

... _{1 0 i}

1

1 + + + =

+a ₋ x ⁻ a x a x

a_n ⁿ _n ⁿ

höchstens n reelle Lösungen (Wurzeln) besitzt. Werden jedoch auch komplexe Zahlen zugelas- sen:

reell) z , (a 0

... _{1 0 i}

1

1 + + + =

+a ₋ z ⁻ a z a z

a_n ⁿ _n ⁿ

so gibt es nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n Lösungen.

Eine besonders einfache Struktur hat die algebraische Gleichung a

zⁿ= bzw. zⁿ−a =o

Ihre Lösungen werden als n-te Wurzel aus a bezeichnet. Demnach besitzt die Gleichung

0 = 0

−

=

− ^{n iα}

n a z a e

z

unter Berücksichtigung der komplexen Zahlen genau n verschiedene Lösungen (Wurzeln). Eine dieser Lösungen ist

j k

k k

k r j re

z = (cosϕ + sinϕ )= ^ϕ

mit und mit k = 0, 1 , ... , n – 1 . r=n a k

π ϕ α+ 2

= n

k

0

Bei allen n Lösungen ist die Zeigerlänge r gleich. Die Lösungen unterscheiden sich jedoch durch ihren Winkel. In der Gaußschen Zahlenebene liegen die Bildpunkte somit auf dem Mit- telpunktskreis mit dem Radius R=ⁿ a₀ und bilden die Ecken eines regelmäßiges n –Ecks.

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Beispiele:

0.5 1 1.5

30

210

60

240

90

270 120

300 150

330

180 0

Geometrische Lösung von ³

j

0.5 1 1.5

30

210

60

240

90

270 120

300 150

330

180 0

Geometrische Lösung von ⁴

− 1

0.5 1 1.5

30

210

60

240

90

270 120

300 150

330

180 0

Geometrische Lösung von ¹⁰

− 1

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