Ubungen zur Ingenieur-Mathematik III ¨ WS 2017/2018
Blatt 2 20.10.2017
Aufgabe 5: Betrachten Sie das folgende vereinfachte Modell der Dichteverteilung in der Erde: Sei K ⊂ R
3eine Kugel mit Radius 6 · 10
6(in Metern) um den Ursprung. K habe die Dichte (in kg/m
3)
ρ(x) =
( 12 · 10
3−
1·10kxk3f¨ ur kxk ≤ 3 · 10
6, 6 · 10
3−
3·10kxk3f¨ ur kxk > 3 · 10
6. Berechnen Sie die Masse von K.
L¨ osung: Unter Verwendung von Kugelkoordinaten ergibt sich:
M
K= Z
K
ρ(r(x)) dx
= Z
2π0
Z
π 0Z
6·106 0ρ(r) r
2sin ϑ dr dϑ dϕ
= Z
2π0
dϕ Z
π0
sin ϑ dϑ
Z
3·106 012 · 10
3r
2− 10
−3r
3dr + Z
6·1063·106
6 · 10
3r
2−
1310
−3r
3dr
!
= 2π(− cos π + cos 0)
4 · 10
3r
3−
1410
−3r
43·106
0
+ 2 · 10
3r
3−
12110
−3r
46·106 3·106
= 4π 108 · 10
21−
814· 10
21+ 432 · 10
21− 108 · 10
21− 54 · 10
21+
274· 10
21= 4π
3642· 10
21= 1458π · 10
21≈ 4,58 · 10
24Die Masse der Erde betr¨ agt tats¨ achlich ungef¨ ahr 5,9736 · 10
24kg. Das Modell ist offensichtlich stark vereinfacht.
Aufgabe 6: Wir betrachten ein Rohr R =
(x, y, z) ∈ R
3z ∈ [0, 10] und p
x
2+ y
2∈
1, 6 5
,
bei dem das Wandmaterial die Dichte ρ(x, y, z) = z + 4
x
2+ y
2hat. Berechnen Sie die Masse des Rohres
Z
R
ρ(x, y, z) dx dy dz.
L¨ osung: Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten und r
2= x
2+ y
2ergibt sich:
M
R= Z
R
ρ(r(x, y, z)) dx dy dz
= Z
R
z + 4
x
2+ y
2dx dy dz
= Z
100
Z
2π 0Z
651
z + 4
r
2r dr dϕ dz
= Z
100
z + 4 dz Z
2π0
dϕ Z
651
r
−1dr
=
12
z
2+ 4z
100
2π [ln r]
6 5
1
= (50 + 40) 2π ln
65= 180π ln
65Aufgabe 7: Betrachten Sie die folgende Kurve:
γ(t) = e
αtcos(t) sin(t)
, α = − 1
10 , t ∈ [0, T ] a) Skizzieren Sie die Kurve.
Tipp: Berechnen Sie γ(0), γ(2π), γ(4π), γ(6π) mit Hilfe eines Taschenrechners.
b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit.
c) Bestimmen Sie die L¨ ange der Kurve l(T ).
d) Was ist der Grenzwert von l(T ) f¨ ur T → ∞.
L¨ osung:
a) Es handelt sich um die sogenannte logarithmische Spirale:
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
b) Der Geschwindigkeitsvektor ist gegeben durch
˙ γ(t) =
αe
αtcos(t)+e
αt− sin(t) αe
αtsin(t)+e
αtcos(t)
und somit l¨ aßt sich der Betrag der Geschwindigkeit wie folgt berechnen:
k γ(t)k ˙ = e
αtq
(α cos(t) − sin(t))
2+ (α sin(t) + cos(t))
2= e
αtq
α
2cos
2(t) + α
2sin
2(t) + sin
2(t) + cos
2(t)
= e
αt√ α
2+ 1 c)
l(T ) = Z
T0
k γ(s)k ˙ ds = √
α
2+ 1|
Z
T 0e
αsds
= √ α
2+ 1
1 α e
αs T 0=
√ α
2+ 1
α e
αT− 1
= − √ 101
e
−10T− 1
d)
T
lim
→∞l(T ) = √
101
Aufgabe 8: Sei d eine positive reelle Zahl (eine zu messende L¨ ange in Metern).
a) Wir betrachten die beiden Punkte A =
−
d20
, B =
d2
0
.
Zeigen Sie, dass der Abstand der beiden Punkte gleich d ist.
b) Wir betrachten die Kurve ¯ Γ, definiert durch
¯ γ :
− d 2 , d
2
→ R
2, ¯ γ(t) = t
0
.
Zeigen Sie, dass ¯ Γ die Punkte A und B verbindet.
Berechnen Sie die L¨ ange von ¯ Γ.
Um welche Kurve handelt es sich?
c) Sei
R = 6,37 · 10
60,13 , M = 0
− q
R
2−
d42!
, T = arcsin d
2R
.
Wir betrachten die Kurve ˜ Γ, definiert durch
˜
γ : [−T, T ] → R
2, γ(t) = ˜ M + R sin t
cos t
.
Zeigen Sie, dass ˜ Γ die Punkte A und B verbindet.
Berechnen Sie die L¨ ange von ˜ Γ.
Um welche Kurve handelt es sich?
d) Fertigen Sie eine Skizze der Situation an.
e) Welche Kurve ist l¨ anger?
Wie groß ist die L¨ angendifferenz f¨ ur d = 100; 1000; 10000 [m]?
Wie groß ist der Abstand k˜ γ(0) − γ(0)k ¯ f¨ ur diese Werte von d?
f) L(d) = 2R arcsin
2Rdist die L¨ ange von ˜ Γ.
Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung von arcsin(x) um x = 0 mit Fehlerterm vierter Ordnung.
Verwenden Sie diese, um eine N¨ aherungsformel f¨ ur die L¨ angendif- ferenz zu finden.
Vergleichen Sie deren Ergebnisse mit den exakten Ergebnissen f¨ ur d = 100; 1000; 10000 [m].
L¨ osung:
a) kB − Ak = d
b)
¯ γ
− d 2
= A, γ ¯ d
2
= B, γ ¯ stetig k γ(t)k ˙¯ = 1
Z
¯Γ
1 dl = Z
d2−d2
1 · 1 dt = d 2 −
− d 2
= d Es handelt sich um die Gerade durch A und B.
c)
γ(−T ˜ ) = M + R
− sin T p 1 − sin
2T
= M + R
−
2Rdq R2−d42
R
!
=
0 − R
2Rd− q
R
2−
d42+ R
q R2−d42
R
= −
d20
= A,
analog ergibt sich ˜ γ(T ) = B (einziger Unterschied: + sin T im ersten Schritt).
k γ(t)k ˙˜ = q
0 + R
2(sin
2t + cos
2t) = R Z
˜Γ
1 dl = Z
T−T
