Aufgabe 2.2 – Allgemeine Koordinatentransformationen (5 Punkte) Unter allgemeinen Koordinatentransformationen der Koordinaten xµ → x0µ = x0µ(x) transformieren Skalare, kovariante und kontravariante Vektoren gem¨aß φ(x)→φ0(x0) =φ(x) Vµ(x)→Vµ0(x0

Quantenfeldtheorie I WS 14/15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 2¨

Abgabe Mittwoch 5.11 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 7.11

Aufgabe 2.1 – Massive Darstellung der Poincar´e Gruppe (5 Punkte) Die Ortsdarstellung der Poincar´e Gruppe lautet

Pˆ_µ=−i∂_µ, Mˆ_µν =i(x_µ∂_ν −x_ν∂_µ) +S_µν,

wobei dieS_µν dien×ndimensionale Spinmatrizen sind, die der Lorentz Algebra SO(1,3) gen¨ugen. In der ¨Ubung 1.3 haben wir den Pauli-Lubanski Vektor W^µ = ¹₂^µνρκM_νρP_κ kennengelernt.

Zeigen Sie, dass f¨ur Eigenzust¨ande des Impulsoperators mit P_µP^µ =m² >0 der Eigen- wert von W_µW^µ den Wert −m²s(s+ 1) annimmt, wobei s den aus der QM bekannten Spin Sⁱ := ¹₂^ijkS_jk darstellt. Demnach lassen sich massive Teilchen durch die Zust¨ande

|p_µ, si charakterisieren.

Aufgabe 2.2 – Allgemeine Koordinatentransformationen (5 Punkte)

Unter allgemeinen Koordinatentransformationen der Koordinaten x^µ → x^0µ = x^0µ(x) transformieren Skalare, kovariante und kontravariante Vektoren gem¨aß

φ(x)→φ⁰(x⁰) =φ(x) V_µ(x)→V_µ⁰(x⁰) = ∂x^ρ

∂x^0µV_ρ(x) V^µ(x)→V^0µ(x⁰) = ∂x^0µ

∂x^ρ V^ρ(x). Bestimmen Sie die infinitesimalen Transformationsgesetze der Felder f¨ur x^µ → x^0µ = x^µ−ξ^µ(x), d.h.

δφ(x) :=φ⁰(x)−φ(x) δV_µ(x) :=V_µ⁰(x)−V_µ(x) δV^µ(x) :=V^0µ(x)−V^µ(x). Spezialisieren Sie diese auf den Fall von konstanten Translationen, i.e. ξ^µ=const..

Aufgabe 2.3 – Verallgemeinerte Diracmatrizen (5 Punkte)

Wir definieren die vollst¨andig antisymmetrisierten verallgemeinerte Diracmatrizen als γ^µν :=γ^[µγ^ν]= 1

2(γ^µγ^ν−γ^νγ^µ) γ^µνρ :=γ^[µγ^νγ^ρ] = 1

6(γ^µγ^νγ^ρ±5 Permutationen) γ^µνρκ :=γ^[µγ^νγ^ργ^κ]

1

Zeigen Sie die n¨utzliche Identit¨aten

γ^µγ^ν =γ^µν +η^µν und γ^µνγ^ρ=γ^µνρ+η^νργ^µ−η^µργ^ν,

die Ihnen im folgenden hilfreich sein k¨onnen! Hierbei ist es hilfreich von der Tatsache Gebrauch zu machen, dass die Matrizen

1 γ^µ γ^µν γ^µνρ γ^µνρσ

eine Basis der 4×4 Matrizen bilden und einen geeigneten Ansatz f¨ur die rechten Seiten der zu zeigenden Ausdr¨ucke zu machen, der die Indexstruktur der jeweils linken Seite reflektiert.

Aufgabe 2.4 – Spinordarstellung der Lorentzalgebra (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ur beliebige Matrizen (γ^µ)^α_β, die der Clifford-Algebra {γ^µ,γ^ν} = 2η^µν gen¨ugen, die Matrizen

S^µν := i

4[γ^µ,γ^ν] eine Darstellung der Lorentzalgebra SO(1,3)

[S^µν,S^ρκ] =i η^νρS^µκ±3 mehr

bilden. Zeigen Sie weiterhin, die in der Vorlesung benutzte Relation

[γ^µ, S^ρσ] = (J^ρσ)^µ_νγ^ν mit (J_µν)^α_β =i(η_νβδ_µ^α−η_µβδ_ν^α)

wobei (J_µν) die vierdimensionale Darstellung der Lorentzalgebra bildet, unter der Verktor- felder V^ν transformieren.

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