Serie 7: Elektronen im periodischen Potential

Prof. B. Batlogg WS 2006/07

Ubungen zur Festk¨ ¨ orperphysik I

Serie 7: Elektronen im periodischen Potential

Verteilung: 5.12.2006 Abgabe: 13.12.2006 R¨ uckgabe: 20.12.2006

Kurzfragen

a) Was versteht man unter elektronischer Bandstruktur ? b) Was sagt die Breite der elektronischen B¨ander aus?

c) Wie kommen Energiel¨ ucken am Brillouin-Zonenrand zustande?

d) Wie h¨angen die elektrischen Leitungseigenschaften eines Materials mit dessen Band- struktur zusammen?

1 Fermifl¨ ache

Zeichnen Sie die Fermifl¨ache im reduzierten Zonenschema f¨ ur ein rechteckiges Gitter mit einem Atom pro Gitterplatz, welches 3 Elektronen an das Leitungsband abgibt. Die Di- mension der Einheitszelle im direkten Raum ist 2π ˚ A×π ˚ A. F¨ ur die Zeichnung im reziproken Raum w¨ahle z.B. 2 cm pro ˚ A ⁻¹ .

2 N¨ aherung f¨ ur fast freie Elektronen

Wir wollen ein freies Elektronengas einem periodischen Potential aussetzen. Wir w¨ahlen dazu ein einfaches Modell: Wir betrachten 1 Elektron in 1 Dimension und nehmen ein schwaches periodisches Potential V (x) = V (x + a) an, so dass wir das Problem mit den Methoden der St¨orungsrechnung angehen k¨onnen.

a) Dispersionsbeziehung, Gruppengeschwindigkeit und effektive Masse: Zeichne quali- tativ (3 Skizzen untereinander) die k-Abh¨angigkeit von E, v G und ^m _m

f¨ ur das erste und zweite Energieband mit den oben genannten Annahmen (schwaches Potential, 1 Dimension)

b) Zeige, dass in der N¨ahe des Brillouinzonenrandes die Dispersionsrelation f¨ ur ein Elektron folgende Form annimmt:

E ^± (k) = E Rand ^frei + E κ, ±

wobei

k = ± π a + κ, E Rand ^frei = ~ ²

2m π

a

²

und

E κ, ± = ~ ² 2m κ ² ±

s ~ ² π

ma κ ²

+ |V G | ² mit G = ² _a ^π

c) Zeige, dass f¨ ur kleine κ-Werte gilt:

E ^± = E Rand , ± + ~ ² 2m ^⋆ ±

κ ²

mit E Rand , ± = E Rand ^frei ± |V G |.

3 N¨ aherung f¨ ur fast gebundene Elektronen

Die N¨aherung des tight-binding-Modells erlaubt bei starker Kopplung s-B¨ander auf eine recht einfache Art zu berechnen. Dabei wird von der Wellenfunktion der freien Atome ausgegangen und die Wechselwirkung mit dem Kristall als St¨orung aufgefasst. F¨ ur die Rechnung wird nur die Wechselwirkung mit den n¨achsten Nachbarn ber¨ ucksichtigt. Die Energie im Band ist dann gegeben durch:

E(~k) = E s − β − X

n . N . i

e ^{i~ k ~ R}

γ( R ~ i ) (1) wobei E s die Energie des atomaren Grundzustandes ist, β das Kristallfeldintegral, γ das Uberlappungsintegral, ¨ ~k in der 1. Brillouin-Zone liegt und R i der relative Abstand zum n¨achsten Nachbarn ist.

β = − Z

Ψ ^⋆ _s (~r)δV (~r)Ψ s (~r)d ³ r γ( R) = ~ −

Z

Ψ ^⋆ _s (~r)δV (~r)Ψ s (~r − R)d ~ ³ r

a) Bestimmen Sie ausgehend von (1) E(~k) f¨ ur ein stark gebundenes s-Band in der kubisch-fl¨achenzentrierten Struktur.

b) Die Punkte Γ, X und L befinden sich im Zentrum, respektive am Rand der ersten Brillouin-Zone und haben die Koordinaten:

Γ = 2π

a (0, 0, 0) X = 2π

a (1, 0, 0) L = 2π a ( 1

2 , 1 2 , 1

2 )

Zeichnen Sie E(~k) ausgehend von L in Richtung Γ und weiter in Richtung X.

c) Welchen Wert hat die gesamte Bandbreite D = E max (~k) − E min (~k) f¨ ur dieses Band und durch welche Faktoren wird es beeinflusst?

d) Angenommen, wir wollen das s-Band von C¨asium in einem CsCl-Ionenkristall in der

tight-binding N¨aherung beschreiben. CsCl hat eine einfach kubische Struktur mit

2-atomiger Basis: Cl bei a(0, 0, 0) und Cs bei ^a ₂ (1, 1, 1). Welches Vorzeichen hat das

Kristallfeldintegral β? Eine Zeichnung der Struktur hilft bei der ¨ Uberlegung!