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Klausur Wahrscheinlichkeitstheorie

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Academic year: 2021

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Bergische Universit¨at Wuppertal Fachbereich C, Mathematik/Stochastik

Prof. Dr. Barbara R¨udiger WS 2010/2011

Klausur Wahrscheinlichkeitstheorie

I. Sei

Xk=k1]1−1 k2;1]

Untersuchen Sie{Xk}k∈N nach der Konvergenz:

a) P - f. s. [3 Punkte]

b) inLp f¨urp= 1,2,3, . . . [3 Punkte]

c) in Wahrscheinlichkeit [3 Punkte]

f¨ur den Fall, wo der Definitionsraum

1) (Ω,F, P) = ([0,1], B([0,1]), µ[0,1] ) wobeiµ[0,1] die uniforme Verteilung auf [0,1] ist.

2) (Ω,F, P) = ([0,1], B([0,1]), δ{1}) II. Seiµn=

n

P

k=1

xkδk

a) W¨ahlen Sie die Koeffizientenxk, k∈ {1, . . . n}so, dassµneine Verteilung

ist. [2 Punkte]

b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion zu µn, mitn= 3 [2 Punkte]

c) Bestimmen Sie einen W-Raum (Ω,F, P) und eine ZufallsvariabelXn auf (Ω,F, P) mit Verteilungµn. [2 Punkte]

d) Berechnen SieV ar(Xn) fuern= 3. [2 Punkte]

III. Beweisen Sie: Seiµeine Verteilung mit Dichte, dann giltµ(Q) = 0 [4 Punkte]

1

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IV. Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariabel, die exponential verteilt ist mit Parameter 2.

(Es gen¨ugt nicht das Resultat zu zeigen, es soll auch bewiesen werden).

[2 Punkte]

V. Finden Sie eine Zufallsvariabel mit der EigenschaftE[X] = 0, undE[X2] =

∞ [4 Punkte]

VI. Seien X1 und X2 stochastisch unabh¨angig und exponential verteilt mit Parameter 2. Berechnen SieE[e−(X1+X2)] [2 Punkte]

Maximale Punktzahl 29 Punkte, Sie bekommen eine eins wenn Sie 25 Punkte erreichen. Zeit: Zwei Stunden

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