Satz 1 (L¨owenheim Skolem aufw¨arts) Sei L eine Sprache und T eine L- Theorie, die ein unendliches Modell hat. Weiter sei B eine beliebige Menge.
Dann existiert ein ModellAvonT so daß es eine Injektion vonB nachAgibt.
Beweis: Seien cb f¨ur b ∈ B neue (d.h. nicht aus L), paarweise verschiedene Konstanten und sei
L0:=L∪ {cb|b∈B}.
Es gen¨ugt zu zeigen, daß dieL0-Theorie
T0 :=T ∪ {¬cb=c˙ b0 |b, b0∈B, b6=b0}
ein Modell hat. In der Tat: wennA0 ein Modell vonT0 ist, dann definiert b7→cAb0
eine Injektion vonBnachA0 und die RestriktionA0 List eineL-Struktur und Modell vonT.
Gem¨aß dem Kompaktheitssatz gen¨ugt es, zu zeigen, daß jede endliche Teil- menge vonT0 ein Modell hat.
Sei also T00 eine beliebige endliche Teilmenge von T0. Dann gibt es eine endliche TeilmengeB0⊆B so daß
T00 ⊆T00:=T∪ {¬cb=c˙ b0|b, b0 ∈B0, b6=b0}.
Wir geben ein Modell vonT00 an. Nach Voraussetzung gibt es eine unendliche L-Struktur M, die Modell von T ist. Sei I eine Injektion von B0 nach M. Eine solche Injektion gibt es, weilM unendlich ist. Wir expandierenMzu einer L∪ {cb|b∈B0}-StrukturM∗indem wircbf¨urb∈B0durchI(b) interpretieren;
genauer: M∗hat GrundmengeM, interpretierts∈LdurchsM∗ :=sMund f¨ur jedesb∈B0die Konstantecb durch
cMb ∗ :=I(b).
Offenbar istM∗ Modell vonT00.
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