SEMINARPLAN: DARSTELLUNGSTHEORIE VON PFADALGEBREN
Das Ziel des Seminars ist es, ein Verständnis für die Grundlagen der Darstellungstheo- rie von Pfadalgebrenzu erwerben und in diesem Rahmen den Satz von Gabriel zu beweisen.
Hinweise zur Literatur:
• [ASS06], Kapitel 2 und 3 behandeln ausführlich Pfadalgebren mit Relationen und Darstellungen von Pfadalgebren mit Relationen.
• [CB], ein (sehr kompaktes) Skript, zu finden unter diesem Link:
http://www1.maths.leeds.ac.uk/ pmtwc/quivlecs.pdf.
Hier werden Darstellungen von Pfadalgebren (ohne Relationen) besprochen.
1. Pfadalgebren
Ziel dieses Vortrags ist es, grundlegende Eigenschaften von Pfadalgebren vorzustellen und zu zeigen, wie man nahezu alle Algebren als Pfadalgebren mit Relationen auffassen kann. Dies umfasst Kapitel 2 aus [ASS06] und die Seiten 3,4 aus [CB].
(1) Definition Köcher, Pfad, Pfadalgebra
(2) Beispiele von Pfadalgebren, Dreiecksmatrizen (3) Idempotente, projektive Summanden
(4) Eigenschaften von Köchern←→ Eigenschaften der Pfadalgebra, z.B.
• azyklisch ←→ endlich dimensional
• zusammenhängend ←→zusammenhängend
(5) Zulässige Ideale, Köcher mit Relationen, Pfadalgebren mit Relationen
(6) Satz II.3.7, [ASS06]: Jede basische, zusammenhängende, endlich dimensionale K- Algebra ist eine Pfadalgebra mit Relationen.
2. Darstellungen von Pfadalgebren
Ziel des Vortrags ist es, die abelsche Kategorie der Darstellungen eines Köchers mit Relationen zu beschreiben. Dies umfasst Kapitel 3, Abschnitt 1, 2 aus [ASS06] sowie die Seiten 5,6 aus [CB].
(1) Definition Darstellung eines Köchers/ Köchers mit Relationen (2) Beispiele von Darstellungen
(3) Äquivalenz der Kategorien: Darstellungen von Köchern mit Relationen←→Moduln über Pfadalgebra mit Relationen
(4) Beschreibung der einfachen, projektiven und injektiven Darstellungen (5) Lemma III.2.12, [ASS06]: Erweiterungen einfacher Moduln
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3. Dimensionsvektor
Ziel des Vortrags ist es, den Dimensionsvektor als eine universelle additive Invariante zu beschreiben. Dies umfasst Kapitel 3, Abschnitt 3 aus [ASS06] sowie die Seiten 6-8 aus [CB].
(1) Definition Dimensionsvektor (2) Additivität des Dimenionsvektors
(3) Die Grothendieckgruppe einer abelschen Kategorie, Zusammenhang zum Dimeni- onsvektors
(4) Die Standardauflösung
(5) Die Euler Charakteristik, die Tits Form
4. Bricks und die Varietät der Darstellungen
Ziel des Vortrags ist es, Bricks und die Varietät der Darstellungen vorzustellen. Dies ist notwendig als Vorbereitung für den Beweis von Gabriel. Behandelt werden §2,3 aus [CB].
(1) Wiederholung: Fittings Lemma und der Satz von Krull-Schmidt (2) Definition Brick
(3) Zusammenhang: Unzerlegbare Moduln und Bricks
(4) Wiederholung: Zarisiki Topologie, lokal abgeschlossene Mengen, Dimension einer Varietät
(5) Definition Varietät der Darstellungen zusammen mit der Operation der generell linearen Gruppe
(6) Studium der Bahnen bestehend aus isomorphen Darstellungen 5. Dynkin Diagramme und der Satz von Gabriel
Ziel des Vortrags ist es, Dynkin Diagramme einzuführen, um anschließend den Satz von Gabriel formulieren und beweisen zu können. Dies umfasst §4,5 aus [CB].
(1) Vorstellung der ADE Klassifikation von Dynkin Diagrammen als Graphen mit po- sitiv definiter Tits Form
(2) Wiederholung der Resultate der bisherigen Vorträge, die für den Beweis des Satzes von Gabriel benötigt werden
(3) Beweis des Satzes von Gabriel
Literatur
[ASS06] Ibrahim Assem, Daniel Simson, and Andrzej Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras. Vol. 1, London Mathematical Society Student Texts, vol. 65, Cambridge University Press, Cambridge, 2006, Techniques of representation theory. MR 2197389 1, 2 [CB] William Crawley-Boevey,Lectures on representations of quivers. 1, 2
