Darstellungstheorie von Sm

Darstellungstheorie von S _m und GL _n

Bachelorarbeit Seraina Wachter

13. Juli 2014

Betreuer: Prof. Richard Pink

Departement Mathematik, ETH Zürich

Diese Bachelorarbeit über die Darstellungstheorie der Gruppen S_m und GL_n beruht, sofern nichts anderes angegeben, auf den Kapiteln 3, 5 und 6 aus der Brandeis Vorle- sungsausarbeitung “Classical Invariant Theory - A Primer” von Kraft und Procesi [3].

Zunächst zeigen wir eine Beziehung zwischen gewissen irreduziblen Darstellungen der S_m und gewissen irreduziblen Darstellungen derGL_n auf. Später werden wir zeigen, dass dies die irreduziblen polynomialen Darstellungen der GL_n von Grad m sind. Diese Beziehung wird “Schur-Weyl Dualität” genannt und wurde, wenn auch ursprünglich von Issai Schur entdeckt, erst durch Hermann Weyl’s berühmt-berüchtigtes Werk “The Classical Groups, Their Invariants And Representations” bekannt. Danach führen wir Young-Diagramme ein und finden nach ausführlicher Beschäftigung mit Schur- und Newton-Polynomen eine explizite Formel für die irreduziblen Charaktere der S_m. Gemeinsam mit der Schur-Weyl Dualität lassen sich somit auch die irreduziblen Charaktere der irreduziblen polynomialen Darstellungen der GL_n berechnen, was sich genau als die Schur-Polynome herausstellt.

Ich danke Herrn Prof. Pink für seine exzellente Betreuung, wobei er meine Arbeit stets begleitet, mir jedoch auch viel Entscheidungsfreiheit gelassen hat. Insbesondere bedanke ich mich für die lehrreichen Diskussionen darüber, wie man eine Arbeit so formuliert, dass sie beim Leser möglichst verständlich ankommt.

Inhaltsverzeichnis

1. Schur-Weyl Dualität 4

1.1. Vorbereitungen . . . 4 1.2. Einfache und halbeinfache Algebren . . . 7 1.3. Schur-Weyl Dualität . . . 9

2. Irreduzible Darstellungen von S_m 14

2.1. Young Diagramme, Schur- und Newton-Polynome . . . 14 2.2. Die irreduziblen Charaktere von S_m . . . 22 3. Polynomiale irreduzible Darstellungen von GL_n 29

4. Beispiele 35

A. Anhang 39

Literaturverzeichnis 40

1. Schur-Weyl Dualität

Ziel dieses Kapitels ist es, einen Zusammenhang zwischen irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe S_m und irreduziblen Darstellungen der GL_n aufzuzeigen, die soge- nannte Schur-Weyl Dualität. Zu diesem Zweck betrachten wir die Linksaktionen der beiden Gruppen auf dem m-fachen Tensorproduktraum.

Im Folgenden sei K ein unendlicher Körper und V ein endlich-dimensionaler Vektor- raum über K. Des Weiteren seien alle Algebren endlich-dimensional über K. Dasm-fache Tensorprodukt von V über K bezeichnen wir mit V^⊗m =V ⊗. . .⊗V.

1.1. Vorbereitungen

Aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts genügt es, eine lineare Funktion auf V^⊗m auf den reinen Tensoren zu definieren (vgl. Anhang A.1). Sei nun

ρ₁ : GL(V)−→End(V^⊗m), g 7−→ρ₁(g) die Funktion, die eindeutig bestimmt ist durch

ρ1(g)(v₁⊗. . .⊗vm) = gv1⊗. . .⊗gvm. Des Weiteren sei

ρ₂ :S_m−→End(V^⊗m), σ7−→ρ₂(σ) definiert durch

ρ₂(σ)(v₁⊗. . .⊗v_m) =v_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗v_σ⁻¹_(m).

Satz 1.1 Die Funktionen ρ1 undρ2 sind Darstellungen vonGL(V)respektive Sm aufV^⊗m. Beweis-Skizze Wir wollen prüfen, dass ρ₂ tatsächlich ein Homomorphismus ist:

ρ₂(σ)(ρ₂(τ)(v₁⊗. . .⊗v_m)) =ρ₂(σ)(v_τ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗v_τ⁻¹_(m))

=v_τ⁻¹_(σ⁻¹₍₁₎₎⊗. . .⊗v_τ⁻¹_(σ⁻¹_(m))

=v(σ◦τ)⁻¹(1)⊗. . .⊗v(σ◦τ)⁻¹(m))

=ρ₂(σ◦τ)(v₁⊗. . .⊗v_m)

Die zweite Gleichheit wollen wir anhand eines Beispiels veranschaulichen: Seienm= 3 und σ = (12) sowie τ = (123). Dann ist σ◦τ = (23). Für die inversen Elemente erhalten wir σ⁻¹ = (12) undτ⁻¹ = (132) sowie (σ◦τ)⁻¹ = (23). Wir berechnen nun

ρ₂(σ)(ρ₂(τ)(v₁⊗v₂ ⊗v₃) =ρ₂(σ)(v₃⊗v₁⊗v₂)

=v1⊗v3 ⊗v2

=ρ₂(σ◦τ)(v₁⊗v₂⊗v₃).

Entscheidend ist, dass hier in der zweiten Gleichheit nicht etwav₁undv₂vertauscht werden,

sondern die Positionen 1 und 2.

Betrachte die Funktion

ρ:Sm×GL(V)−→End(V^⊗m) , (σ, g)7→ρ₂(σ)◦ρ₁(g).

Satz 1.2 Die Funktion ρ definiert eine Darstellung von Sm×GL(V) auf V^⊗m. Beweis-Skizze Es gilt:

ρ₁(g)(v_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗v_σ⁻¹_(m)) =gv_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗gv_σ⁻¹_(m) =ρ₂(σ)(gv₁⊗. . .⊗gv_m) Die entsprechenden Aktionen kommutieren also miteinander.

Notation 1.3 Der UnterraumhGL(V)i ⊂End(V^⊗m) bezeichne das lineare Erzeugnis von ρ₁(GL(V)) undhS_mi ⊂End(V^⊗m) dasjenige von ρ₂(S_m).

Notation 1.4 Der Einfachheit halber sei in Zukunft jeweils g := ρ₁(g) und σ := ρ₂(σ), sofern eine Verwechslung unwahrscheinlich ist.

Notation 1.5 Den Zentralisator einer UnteralgebraA⊂End(W) für einenK-Vektorraum W bezeichnen wir mit

A⁰ := End_A(W) ={b∈End(W)|ab=bafür alle a∈A}.

Definition 1.6 Sei W ein K-Vektorraum und Y ⊂ W eine Teilmenge. Eine Teilmenge X ⊂Y heisst Zariski-dicht in Y, falls

∀f ∈K[W] : f

X ≡0⇒f

Y ≡0.

Lemma 1.7 Sei W ein Vektorraum. Für jedes nicht-verschwindendes Polynomh∈K[W] ist die Menge W_h :={w∈W |h(w)6= 0} Zariski-dicht in W.

Beweis Sei f ∈K[W] eine Funktion, die aufW_h verschwindet. Somit gilt f h= 0 aufW_h. Nach Definition von W_h ist h= 0 auf W\W_h und folglich auch f h= 0 aufW\W_h. Somit gilt f h= 0 auf ganz W und dah nach Annahme nicht null ist, folgt f ≡0.

Proposition 1.8 Die TeilmengeGL(V)⊂End(V) ist Zariski-dicht.

Beweis Sei W := End(V). Definiere eine Funktion h ∈ K[W] durch h(A) := det(A).

Beachte, dass h nicht null ist. Ausserdem ist

W_h ={A ∈W |h(A)6= 0}={A ∈End(V)|det(A)6= 0}= GL(V).

Mit Lemma 1.7 folgt die Behauptung.

Lemma 1.9 Sei W ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und X ⊂ W Zariski- dicht. Bezeichne mit Σ_m := {a ∈ W^⊗m | σ(a) =a für alle σ ∈ S_m} den Unterraum aller symmetrischen Tensoren in W^⊗m. Dann gilt

h{x⊗. . .⊗x|x∈X}i= Σ_m.

Beweis "⊂": Es gilt x⊗. . .⊗x ∈ Σ_m für alle x ∈ X, folglich auch h{x⊗. . .⊗x | x ∈ X}i ⊂Σ_m.

"⊃": Sei N := dim(W). Wähle eine Basis w₁, . . . , w_N von W. Betrachte die Basis B :=

{wi1 ⊗. . .⊗wim}1≤i1...im≤N von W^⊗m. Es gilt

σ(w_i1 ⊗. . .⊗w_im) =w_σ⁻¹_(i1)⊗. . .⊗w_σ⁻¹_(im) ∈B für alle w_i1 ⊗. . .⊗w_im ∈B.

Die Basis B bleibt also unter der Aktion von Sm stabil. Zwei Elemente wi1 ⊗. . .⊗wim

und w_ji⊗. . .⊗w_jm liegen genau dann in derselben Bahn unter der Aktion mit S_m, wenn σ(w_i1⊗. . .⊗w_im) =w_ji⊗. . .⊗w_jm für einσ ∈S_m. Dies ist genau dann der Fall, wenn jedes wi, für 1≤i≤N, in beiden Ausdrücken gleich oft vorkommt. Folglich hat jede Bahn einen eindeutigen Vertreter der Formw^⊗h₁ ¹⊗w₂^⊗h2⊗. . .⊗w^⊗h_N ^N mit h₁+. . .+h_N =m. Bezeichne mit r_h1,...,hN ∈ W^⊗m die Summe aller Elemente der Bahn von w^⊗h₁ ¹ ⊗w^⊗h₂ ² ⊗. . .⊗w^⊗h_N ^N, also beispielsweise

r_m,0,...,0 =w₁⊗. . .⊗w₁ ∈W^⊗m und

rm−1,1,0...,0 = (w₁⊗. . .⊗w₁ ⊗w₂) + (w₁⊗. . .⊗w₁⊗w₂⊗w₁) +. . .+ (w₂⊗w₁⊗. . .⊗w₁).

Da die Aktion vonσbloss die einzelnen Summanden inr_h1,...,hN vertauscht, giltσ(r_h1,...,hN) = r_h1,...hN für alle σ ∈ S_m. Somit ist r_h1,...hN ∈ Σ_m und {r_h1,...,hN | h₁ +. . .+h_N = m} ist eine Basis von Σ_m. Es bleibt zu zeigen, dass jede lineare Funktion λ : Σ_m −→ K mit λ

{x⊗...⊗x|x∈X} ≡ 0 konstant gleich null ist. Sei λ so eine Funktion. Definiere ein Polynom f ∈K[W] durchf(w) :=λ(w⊗. . .⊗w). Es gilt f

X ≡0 und da X ⊂W Zariski-dicht ist, folgt f ≡0. Sei w ∈W. Es existieren a₁, . . . , a_N ∈K, so dassw =^PN_i=1a_iw_i ist. Dadurch erhält man

w⊗. . .⊗w

| {z }

mmal

= (a₁w₁+. . .+aNwN)⊗. . .⊗(a₁w₁+. . .+aNwN)

=a^m₁ w₁^⊗m

| {z }

=rm,0,...,0

+. . .+a^m_Nw_N^⊗m

| {z }

=r0,...,0,m

+a^m−1₁ a2(w₁^⊗m−1⊗w2+. . .+w2⊗w₁^⊗m−1)

| {z }

=rm−1,1,0,...,0

+. . .

= ^X

h1+...+hN=m

a^h₁¹· · ·a^h_N^Nr_h1,...,hN.

Unter Verwendung der Linearität von λ berechnet man 0 = f(w) = λ(w⊗. . .⊗w) = λ





X

h1+...+hN=m

a^h₁¹· · ·a^h_N^Nr_h1,...,hN





= ^X

h1+...+hN=m

a^h₁¹· · ·a^h_N^Nλ(r_h1,...,hN).

Da dies für alle w∈W gilt, erhält man

X

h1+...+hN=m

λ(r_h1,...,hN)a^h₁¹· · ·a^h_N^N = 0 für alle a₁, . . . , a_N ∈K.

Daraus folgtλ(r_h1,...,hN) = 0 für alle h₁, . . . , h_N ∈Z^≥0 mith₁+. . .+h_N =m. Da{r_h1,...,hN | h₁+. . .+h_N =m} eine Basis für Σ_m und λ linear ist, folgtλ≡0.

1.2. Einfache und halbeinfache Algebren

Die Resultate dieses Abschnitts können beispielsweise in Curtis und Reiner [1] gefunden werden.

Definition 1.10 Eine K-Algebra A heisst einfach, falls A 6= 0 ist und 0 sowie A die einzigen zweiseitigen Ideale von A sind.

Proposition 1.11 Sei D ein Schiefkörper. Dann istMat_n(D) für n∈Z>0 einfach.

Beweis SeiI 6= 0 ein zweiseitiges Ideal von Mat_n(D). Wir wollen zeigen, dassI = Mat_n(D) ist. Sei A = (a_ij) ∈ Mat_n(D) beliebig. Sei 0 6= B = (b_ij) ∈ I und E_kl ∈ Mat_n(D) mit (E_kl)_ij =δkiδlj. Wähle r, s∈ {1, . . . , n} so, dass brs 6= 0 ist. Dann gilt:

(E_irBE_sj)_ab=^X

k,l

(E_ir)_akb_kl(E_sj)_lb =^X

k,l

δ_iaδ_rkb_klδ_slδ_jb =b_rsδ_iaδ_jb =b_rs(E_ij)_ab = (b_rsE_ij)_ab A=^X

i,j

aijEij =^X

i,j

brsEijb⁻¹_rsaij =^X

i,j

EirBEsj

| {z }

∈I

b⁻¹_rsaij ∈I

Da A∈Mat_n(D) beliebig war, folgt Mat_n(D)⊂I und somit I = Mat_n(D).

Definition 1.12 SeiAeineK-Algebra undM ein A-Linksmodul. Ein UntermodulN ⊂M heisst maximal, falls N 6= M ist und es keinen Untermodul U von M mit N ( U ( M gibt.

Definition 1.13 SeiAeine unitäreK-Algebra undM einA-Linksmodul. Das(Jacobson-) Radikal von M ist wie folgt definiert: Falls M keine maximalen Untermoduln besitzt, so ist Rad(M) = M. Ansonsten definiert manRad(M) als den Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von M.

Bemerkung 1.14 Jede unitäre K-Algebra A ist ein Linksmodul über sich selbst. Das Radikal Rad(A) ist ein zweiseitiges Ideal vonA.

Definition 1.15 SeiAeine unitäreK-Algebra. EinA-LinksmodulM heisstartinsch, falls die absteigende Kettenbedingung erfüllt ist, d.h. falls es für jede absteigenden Folge M1 ⊃ M₂ ⊃ M₃ ⊃ . . . von Untermoduln von M einen Index k gibt, so dass für alle i > k gilt M_i =M_k .

Definition 1.16 Eine unitäre K-Algebra A heisst linksartinsch, wenn sie als Linksmodul über sich selbst artinsch ist.

Proposition 1.17 SeiM 6= 0ein artinscher Linksmodul über der unitären linksartinschen K-Algebra A. Dann ist Rad(M)6=M.

Beweis Sei M 6= 0 artinsch. Wir wollen zeigen, dass es einen echten maximalen Un- termodul von M gibt. Nehmen wir also per Widerspruch an, es gäbe keinen maximalen Untermodul N ( M. Da 0 ⊂ M ein Untermodul, aber nach Annahme nicht maximal ist, existiert ein Untermodul N₁ mit 0 ( N₁ ( M. Durch Wiederholen dieses Arguments erhält man eine Folge von Untermoduln 0 (N₁ (N₂ ( N₃ ( . . .(M. Die aufsteigende Kettenbedingung ist somit nicht erfüllt und M nicht noethersch. Da jedoch jeder artin- sche Linksmodul über einer linksartinschen Algebra noethersch ist (Für einen Beweis siehe Lambek [4], Proposition 3 auf Seite 69.), gibt dies den gewünschten Widerspruch.

Definition 1.18 Eine linksartinsche unitäreK-AlgebraAheisst halbeinfach, fallsRad(A) = 0 ist.

Lemma 1.19 Jede einfache linksartinsche unitäre K-Algebra ist halbeinfach.

Beweis Sei A eine einfache linksartinsche unitäre K-Algebra. Da A 6= 0 ein artinscher Linksmodul über sich selbst ist, folgt mit Proposition 1.17 Rad(A)6=A. Weil Rad(A) ein beidseitiges Ideal von A ist folgt somit Rad(A) = 0 und A ist halbeinfach.

Korollar 1.20 Seien D1, . . . , Dr Schiefkörper und n1, . . . , nr ∈Z^≥0. Dann ist das Produkt Mat_n1(D₁)×. . .×Mat_nr(D_r) eine halbeinfache Algebra.

Beweis Folgt direkt aus Proposition 1.11 und Lemma 1.19.

Lemma 1.21 Seien A und B zwei einfache Algebren über K und A zentral über K, das heisst Z(A) = K. Dann ist A⊗B ebenfalls eine einfache K-Algebra.

Beweis (Dieser Beweis folgt demjenigen von Lemma 5.5 in Nebe [5].) Sei I ⊂ A ⊗B ein nichttriviales beidseitiges Ideal. Jedes 0 6= c ∈ I kann geschrieben werden als c =

Pm

i=1a_i⊗b_i mit a_i ∈A und über K linear unabhängigen b_i ∈B. Wähle diese Darstellung von cso, dass m minimal ist. Da A einfach ist, existierenr, s∈A mit ra₁s= 1. Somit ist

c⁰ := (r⊗1)c(s⊗1) =

m

X

i=1

ra_is⊗b_i = 1⊗b₁+a⁰₂⊗b₂+. . .+a⁰_m⊗b_m ∈I.

Sei a ∈ A beliebig. Da (a⊗1)c⁰ −c⁰(a⊗1) nur noch m−1 Summanden hat, ist es nach der Minimalität vonm gleich 0. Wir erhalten:

0 = (a⊗1)c⁰−c⁰(a⊗1)

= (a⊗1)(1⊗b₁)−(1⊗b₁)(a⊗1) + (aa⁰₂⊗1)(1⊗b₂)−(a⁰₂a⊗1)(1⊗b₂) +−. . . . . .+ (aa⁰_m⊗1)(1⊗bm)−(a⁰_ma⊗1)(1⊗bm)

= ((aa⁰₂−a⁰₂a)⊗1)(1⊗b₂) +. . .+ ((aa⁰_m−a⁰_ma)⊗1)(1⊗b_m).

Da dieb_i’s linear unabhängig überK sind, sind die (1⊗b_i)’s linear unabhängig über A⊗1.

Aus obiger Umformung folgt deshalb aa⁰_i −a⁰_ia = 0 für alle i ∈ {2,3, . . . m}. Da a ∈ A beliebig war, ista⁰_i ∈Z(A) =K. Setze αi :=a⁰_i ∈K. Somit kannc⁰ geschrieben werden als

c⁰ = 1⊗(b₁+α₂b₂ +. . .+α_mb_m

| {z }

=:b⁰

)

Wir haben also ein b⁰ ∈B gefunden mit 1⊗b⁰ ∈I und b⁰ 6= 0, da dieb_i’s linear unabhängig sind. Sei b ∈B beliebig. Da B einfach ist, existierenu, v ∈B mit ub⁰v =b. Folglich ist

1⊗b= 1⊗ub⁰v = (1⊗u)(1⊗b⁰)(1⊗v)∈I

und somit 1⊗B ⊂I. Für beliebige a ∈A und b∈B gilt a⊗b = (a⊗1)(1⊗b)∈I. Also istA⊗B ⊂I und somit I =A⊗B. Dies beweist die Einfachheit vonA⊗B.

1.3. Schur-Weyl Dualität

Satz 1.22 (Doppelzentralisator)

Sei W ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und A ⊂End(W) eine halbeinfache Unteralgebra. Dann gilt:

(a) Der Zentralisator A⁰ von A ist ebenfalls halbeinfach.

(b) Der Doppelzentralisator A⁰⁰ ist gleich A.

Beweis (a) Da A halbeinfach ist, kann W als A-Linksmodul wie folgt zerlegt werden:

W =W₁⊕. . .⊕W_r mit W_i ∼=U_i^⊕si für alle 1≤i≤r,

wobei die U_i paarweise nicht-isomorphe irreduzible A-Linksmoduln sind. Nach dem Satz von Wedderburn (vgl. Anhang A.2) gilt A = ^Qr_i=1A_i, wobei A_i ∼= Mat_ni(D_i) mit D_i = End_A(U_i)^op sowieU_i ∼=D_i^⊕ni. Wir haben

A⁰ = End_A(W) =

r

Y

i=1

End_Ai(W_i) =

r

Y

i=1

End_Ai(U_i^⊕si)

=

r

Y

i=1

Matsi(EndAi(Ui)) =

r

Y

i=1

Matsi(EndA(Ui)) =

r

Y

i=1

Matsi(D^op_i ).

DaA⁰_i = Mat_si(D^op_i ) nach Proposition 1.11 einfach ist, istA⁰nach Korollar 1.20 halbeinfach.

(b) Die Inklusion “⊇” ergibt sich aus folgender Rechnung:

A⁰⁰= End_A(W) = {f ∈End(W)|f ◦a⁰ =a⁰◦f für alle a⁰ ∈A⁰}

={f ∈End(W)|f ◦g =g ◦f für alle g ∈End(W) mit g◦a=a◦g für alle a∈A}

⊇A.

Des Weiteren gilt

dim(A_i) dim(A⁰_i) = dim(Mat_ni(D_i)) dim(Mat_si(D_i^op) = n²_i dim(D_i)s²_i dim(D_i^op)

| {z }

=dim(Di)

= (n_isidim(D_i))² = (s_idim(D_i^⊕ni))² = (s_idim(U_i))² = (dim(U_i^⊕si))²

= dim(W_i)² = dim(End(W_i)). (1.1)

Da A⁰ ebenfalls halbeinfach ist, kann dieselbe Argumentation wie oben aufA⁰ anstelle von A angewendet werden und man erhält analog dim(A⁰_i) dim(A⁰⁰_i) = dim(End(W_i)). Dadurch folgt dim(A⁰⁰_i) = dim(A_i) und somit auch dim(A⁰⁰) = dim(A). Da wir bereits eine Inklusion

gezeigt haben, folgt die andere hiermit.

Bemerkung 1.23 Die Annahme, dassAhalbeinfach ist, kann in Satz 1.22 nicht ersatzlos weggelassen werden. Betrachte beispielsweise den Vektorraum W :=C² über dem Körper K :=C und die C-Algebra A =^{na b}_0c a, b, c∈C

o⊂ End(C²). Der Zentralisator von A ist A⁰ = ^nd_0d⁰ d∈C

o. Somit erhält man als Doppelzentralisator A⁰⁰ = Mat₂(C) ) A.

Die C-Algebra A ist also echt in ihrem Doppelzentralisator enthalten.

Sei von nun anK algebraisch abgeschlossen mit Charakteristik 0.

Satz 1.24 Seien W, A und A⁰ wie in Satz 1.22. Sei W = W₁ ⊕ . . . ⊕ W_r die isoty- pische Zerlegung von W wie im Beweis von Satz 1.22. Dann sind die W_i’s irreduzible A ⊗ A⁰-Linksmoduln. Des Weiteren existieren paarweise nicht-isomorphe irreduzible A- LinksmodulnU_i und paarweise nicht-isomorphe irreduzibleA⁰-Linksmoduln V_i, so dass gilt:

W_i ∼=U_i⊗V_i

Beweis DaKalgebraisch abgeschlossen ist, ist jede endlich-dimensionale Divisionsalgebra überKgleichK. Mit der Notation aus dem Beweis von Satz 1.22 giltD_i = End_A(U_i)^op=K.

Dank der Einfachheit von A_i sowie A⁰_i und da Z(A_i) = Z(Mat_ni(K)) = K ist, folgt mit Lemma 1.21, dass A_i⊗A⁰_i eine einfache Algebra ist.

Betrachte den kanonischen Algebra-Homomorphismus ϕi :Ai⊗A⁰_i −→End(W_i) gegeben durch

ϕ_i(a_i⊗a⁰_i)(w_i) =a_i(w_i)◦a⁰_i(w_i) für alle w_i ∈W_i.

Somit ist ϕ_i◦Projektion : A⊗A⁰ −→ End(W_i) eine Darstellung. Um zu zeigen, dass der A⊗A⁰-LinksmodulW_iirreduzibel ist, genügt es wegen der Einfachheit vonA_i⊗A⁰_izu zeigen, dass ϕ_i ein Isomorphismus ist. Da ϕ_i ein Homomorphismus ist, gilt für alle a ∈ A_i ⊗A⁰_i und b ∈Kern(ϕ_i):

ϕ_i(ab) = ϕ_i(a)ϕ_i(b) = ϕ_i(a)·0 = 0 ϕ_i(ba) = ϕ_i(b)ϕ_i(a) = 0·ϕ_i(a) = 0.

Folglich ist Kern(ϕ_i)⊂A_i⊗A⁰_i ein beidseitiges Ideal. WeilA_i⊗A⁰_i einfach und Kern(ϕ_i)6=

A_i⊗A⁰_i ist, erhalten wir Kern(ϕ_i) = 0 und somit istϕ_i injektiv. Aus dem Beweis von Satz 1.22 wissen wir ausserdem

dim(End(Wi))^(1.1)= dim(Ai) dim(A⁰_i) = dim(Ai⊗A⁰_i),

womit die Surjektivität folgt. Mit U_i ∼= K^⊕ni und V_i := U_i⁰ = End_Ui(W) ∼= K^⊕si ist U_i⊗V_i ein A⊗A⁰-Linksmodul. Ausserdem gilt U_i⊗V_i ∼=K^⊕ni⊗K^⊕si = (K^⊕ni)^⊕si ∼=W_i. Die U_i’s sind nach Konstruktion über die isotypische Zerlegung paarweise nicht-isomorphe irreduzible A-Linksmoduln. Es bleibt noch zu zeigen, dass die V_i’s ebenfalls paarweise nicht-isomorph und irreduzibel sind. Die Irreduzibilität von V_i folgt aus derjenigen von W_i. Für die Nicht-Isomorphie der V_i’s nehmen wir per Widerspruch an, es gäbe i 6= j mit V_i = V_j. Wir haben einen nicht-trivialen Homomorphismus f : A⁰_i −→ End(V_i). Da End(V_i) ∼= End(V_j) ist, erhalten wir einen Homomorphismus g : A⁰_i −→ End(V_j) mit Kern(g) = Kern(f). Dies liefert den gewünschten Widerspruch, daA⁰_iaufV_j trivial operiert

und somit Kern(g) =A⁰_i ist.

Satz 1.25 (Schur-Weyl Dualität)

(a) Der Zentralisator von Sm ist End_K[Sm](V^⊗m) = hGL(V)i.

(b) Umgekehrt gilt auch End_K[GL(V)](V^⊗m) = hS_mi.

(c) Es existieren paarweise nicht-isomorphe irreduzible Darstellungen U_i von S_m und paarweise nicht-isomorphe irreduzible Darstellungen V_i von GL(V), so dassV^⊗m als S_m×GL(V)-Linksmodul zerlegt werden kann als V^⊗m ∼=^Lr_i=1U_i⊗V_i.

Beweis (a) Wir betrachten den natürlichen Isomorphismus γ : End(V)^⊗m −→End(V^⊗m), wobei γ(A₁⊗. . .⊗A_m) eindeutig bestimmt ist durch

γ(A₁⊗. . .⊗Am)(v₁⊗. . .⊗vm) = A1v1⊗. . .⊗Amvm. Die zugehörige Aktion

S_m×End(V)^⊗m −→End(V)^⊗m, (σ, A₁⊗. . .⊗A_m)7→σ(A₁⊗. . .⊗A_m) ist definiert durch

γ(σ(A₁ ⊗. . .⊗A_m))(v₁⊗. . .⊗v_m) = ρ₂(σ)(γ(A₁⊗. . .⊗A_m)(ρ₂(σ⁻¹)(v₁⊗. . .⊗v_m))) für alle v₁ ∈V₁, . . . , v_m ∈V_m. Es gilt

ρ2(σ)(γ(A₁⊗. . .⊗Am)(ρ₂(σ⁻¹)(v₁⊗. . .⊗vm)))

=ρ₂(σ)(γ((A₁ ⊗. . .⊗Am)(v_σ(1)⊗. . .⊗v_σ(m))))

=ρ₂(σ)(A₁v_σ(1)⊗. . .⊗A_mv_σ(m))

=A_σ⁻¹₍₁₎v₁ ⊗. . .⊗A_σ⁻¹_(m)v_m

=γ(A_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗A_σ⁻¹_(m))(v₁⊗. . .⊗v_m) und somit σ(A₁⊗. . .⊗A_m) = A_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗A_σ⁻¹_(m).

Aus obiger Rechnung ist ausserdem ersichtlich, dass für jeden symmetrischen Tensor A₁⊗. . .⊗A_m ∈End(V)^⊗m gilt:

ρ₂(σ)(γ(A₁⊗. . .⊗A_m)(ρ₂(σ⁻¹) =γ(A₁ ⊗. . .⊗A_m).

Dies beweistγ(A₁⊗. . .⊗A_m)∈End_K[Sm](V^⊗m). Folglich induziertγ einen Isomorphismus {symmetrische Tensoren A₁⊗. . .⊗A_m ∈End(V)^⊗m}−→^∼= End_K[Sm](V^⊗m). (1.2) Nach Proposition 1.8 ist GL(V) ⊂ End(V) Zariski-dicht und somit kann Lemma 1.9 für W = End(V) und X = GL(V) angewendet werden. Dadurch erhält man

End_K[Sm](V^⊗m)

(1.2)

∼= {symmetrische Tensoren A1 ⊗. . .⊗Am ∈End(V)^⊗m}

Lemma 1.9

= h{g⊗. . .⊗g |g ∈GL(V)}i=hGL(V)i.

(b) Da char(K) = 0 und S_m über K eine endliche Gruppe ist, folgt mit dem Satz von Maschke, dass jede Darstellung vonSm vollständig reduzibel ist. Somit ist K[Sm] halbein- fach undhS_mi ⊂End(V^⊗m) eine halbeinfache Unteralgebra. Aus dem Doppelzentralisator- Satz 1.22 folgt hS_mi⁰⁰ = hS_mi. Mit hS_mi⁰ = End_K[Sm](V^⊗m) ^(a)= hGL(V)i erhalten wir End_K[GL(V)](V^⊗m) =hS_mi⁰⁰=hS_mi.

(c) Dies folgt aus Satz 1.24 mit W =V^⊗m und A=hS_mi.

Korollar 1.26 Die Darstellung V^⊗m von GL(V) ist vollständig reduzibel.

Lemma 1.27 Sei dim(V) ≥ m. Dann ist jede irreduzible Darstellung von S_m isomorph zu einem der U_i’s aus Satz 1.25.

Beweis Sei K[S_m] die reguläre Darstellung von S_m. Wähle eine Basis v₁, . . . , v_n von V. Betrachte die Sm-äquivariante Abbildung

f :K[S_m]−→V^⊗m , ^Xa_σσ 7→^Xa_σv_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗v_σ⁻¹_(m)

Sei x = ^Pa_σσ ∈ K[S_m] so, dass f(x) = ^Pa_σv_σ⁻¹₍₁₎ ⊗. . .⊗v_σ⁻¹_(m) = 0 ist. Da n = dim(V)≥m ist, sind die v_σ⁻¹₍₁₎⊗. . .⊗v_σ⁻¹_(m) mit σ∈S_m linear unabhängig. Folglich ist a_σ = 0 für alle σ und somit ist auch x = 0. Dies beweist die Injektivität von f. Somit ist K[S_m] isomorph zum Untermodul Bild(f) von V^⊗m und wir erhalten

K[S_m]∼=U_i1 ⊕. . .⊕U_ik,

wobei dieU_ij irreduzible Darstellungen vonS_m sind, die in der Zerlegung vonV^⊗maus Satz 1.25 vorkommen. Da jede irreduzible Darstellung als Summand in der regulären Darstellung

auftaucht, folgt das Lemma.

Korollar 1.28 Seidim(V)≥m. Nach Lemma 1.27 ist jede irreduzible Darstellung vonS_m isomorph zu einemU_i aus der Zerlegung in Satz 1.25 und somit, da dieU_i’s paarweise nicht- isomorph sind, zu genau einem U_i. Folglich ist die Anzahl Summanden in der Zerlegung von V^⊗m gleich

r= # Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von S_m

= # Konjugationsklassen von S_m.

Korollar 1.29 Mit d_i = dim(Hom_K[Sm](V^⊗m, U_i)) gilt V^⊗m = ^Lr_i=1U_i^⊕di für paarweise nicht-isomorphe irreduzible Sm-Linksmoduln Ui. Somit haben wir

V^⊗m =

r

M

i=1

Ui⊗Hom_K[Sm](V^⊗m, Ui).

Mit Teil (c) von Satz 1.25 folgt daraus

V_i ∼= HomK[Sm](V^⊗m, U_i) für nicht-isomorphe irreduzible GL(V)-Linksmoduln V_i.

2. Irreduzible Darstellungen von S _m

Die Anzahl Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von S_m ist gleich der Anzahl Konjugationsklassen von S_m und somit gleich der Anzahl Partitionen von m. In diesem Kapitel finden wir eine Bijektion zwischen den Partitionen von mund den Äquivalenzklas- sen irreduzibler Charakteren von S_m. Insbesondere erhalten wir eine explizite Formel zur Berechnung aller irreduzibler Charakteren der S_m.

2.1. Young Diagramme, Schur- und Newton-Polynome

Definition 2.1 Die Menge von Partitionen ist definiert als

P :={λ = (λ₁, λ₂, . . .)|λ_i ∈Z^≥0, λ₁ ≥λ₂ ≥. . .und für i gross genug:λ_i = 0}.

Bemerkung 2.2 Als Ordnungsrelation auf P betrachten wir die lexikographische Ord- nung, das heisst:

λ > λ⁰ :⇐⇒ Das erste nicht-verschwindende λ_i−λ⁰_i ist positiv.

Definition 2.3 Das Young Diagramm einer Partition λ = (λ₁, λ₂, . . .) ∈ P ist die links- bündige Anordnung von quadratischen Kästchen, bei der die i-te Zeile aus λi Kästchen besteht.

Beispiel 2.4 Das Young Diagramm von λ = (7,5,3,3,1) ist

Definition 2.5 Die Länge von λ∈ P ist

L(λ) := max{i|λ_i 6= 0}=Länge der ersten Spalte im Young Diagramm vonλ.

Beispiel 2.6 Die Länge von λ= (7,5,3,3,1) ist 5.

Definition 2.7 Der Grad von λ∈ P ist

|λ|:=^X

i

λ_i =Anzahl Kästchen im Young Diagramm von λ.

Beispiel 2.8 Der Grad von λ= (7,5,3,3,1) ist 19.

Definition 2.9 Die Menge aller Partitionen von Grad m bezeichnen wir mit P_m.

Notation 2.10 Für λ = (λ₁, λ₂, . . .) ∈ P und k ∈ Z>0 mit L(λ) ≤ k schreiben wir λ= (λ1, . . . , λk).

Fixiere n∈Z>0.

Definition 2.11 Für jedes λ∈ P mit L(λ)≤n definieren wir das Polynom

v_λ(x₁, . . . , x_n) : = det













x^λ₁¹⁺ⁿ⁻¹ x^λ₁²⁺ⁿ⁻² · · · x^λ₁ⁿ x^λ₂¹⁺ⁿ⁻¹ x^λ₂²⁺ⁿ⁻² · · · x^λ₂ⁿ ... ... . .. ... x^λ_n¹⁺ⁿ⁻¹ x^λ_n²⁺ⁿ⁻² · · · x^λ_nⁿ













Leibniz

= ^X

σ∈Sm

sgn(σ)x^λ_σ(1)¹⁺ⁿ⁻¹x^λ_σ(2)²⁺ⁿ⁻². . . x^λ_σ(n)ⁿ .

Bemerkung 2.12 Das Polynom v_λ ∈ Z[x₁, . . . x_n] ist alternierend, homogen und vom Gradλ₁+. . .+λn+(n−1)+(n−2)+. . .+1 =|λ|+ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ =|λ|+ⁿ₂. Bezüglich der lexikogra- phischen Ordnung der Exponenten hatv_λden führenden Termx^λ₁¹⁺ⁿ⁻¹x^λ₂²⁺ⁿ⁻²· · ·x^λ_n−1ⁿ⁻¹⁺¹x^λ_nⁿ. Notation 2.13 Die Vandermonde-Determinante bezeichnen wir mit

∆(x₁, . . . x_n) := ^Y

1≤i<j≤n

(x_i−x_j).

Proposition 2.14 Das Polynom v_λ(x₁, . . . , x_n) ist teilbar durch ∆(x₁, . . . , x_n).

Beweis Da v_λ alternierend ist, gilt v_λ(x₁, . . . , x_n)

xi=xj

= 0 für alle i 6= j. Somit ist v_λ teilbar durch x_i−x_j für alle i6=j und folglich auch durch ^Q_1≤i<j≤n(x_i−x_j).

Definition 2.15 Das Schur-Polynom bezüglich λ∈ P ist definiert als s_λ(x₁, . . . , x_n) := v_λ(x₁, . . . , x_n)

∆(x₁, . . . , x_n).

Bemerkung 2.16 Das Schur-Polynom s_λ ist symmetrisch, homogen und vom Grad

"

|λ|+ n 2

!#

− n 2

!

=|λ|.

Notation 2.17 Wir benützen folgende Abkürzungen:

Z[x₁, . . . , xn]_sym :={f ∈Z[x₁, . . . , xn]|f ist symmetrisch } Z[x₁, . . . , x_n]_alt :={f ∈Z[x₁, . . . , x_n]|f ist alternierend }