Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat Wintersemester 2013/14
1. Übungsblatt zur Vorlesung
„Einführung in die Funktionentheorie“
Abgabetermin: 6. November, 11:00.
Aufgabe 1.
(1) Bestimme alle komplexen Wurzeln des Polynoms t4+t3+t2+t+ 1∈C[t].
(2) Bestimme den Betrag, Realteil und Imaginärteil von
√5−i
√5+i. (3) Berechne
1+i√ 3 2
1003
.
Aufgabe 2.
(1) Zeige unter Zuhilfenahme von Definition 2.1.1, daß f :C\ {i} →C, z 7→z2(i−z)−1 auf C\ {i} holomorph ist.
(2) Zeige, daß
q:C→C, z7→zz
auf ganz C ≡ R2 (reell) total differenzierbar, aber nur in z = 0 komplex differenzierbar ist.
Aufgabe 3. SeiU ⊂Coffen undf =u+iv :U →Ceine komplexwertige Funktion mit u = Ref und v = Imf. Zeige: Ist f auf U holomorph und zweimal stetig reell differenzierbar1, so sind u und v harmonische Funktionen, d.h. sie erfüllen die Laplace Differentialgleichung
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0
∂2v
∂x2 +∂2v
∂y2 = 0.
Aufgabe 4. Gebe an für welchea, b∈Rdas Polynomx2+ 2axy+by2 Realteil einer holomorphen Funktion auf C ist. Bestimme für jedes solche Paar (a, b) all diese holomorphen Funktionen.
1Die zweimalige stetige Differenzierbarkeit folgt bereits aus der Holomorphie, aber das werden wir erst später sehen.
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