Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut
Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 09. 12. 2008
9. ¨Ubungsblatt zur Numerischen Behandlung von Differentialgleichungen
Aufgabe 30:
Die Randwertaufgabe
−4u=f in Ω, u|∂Ω= 0,
auf einem Gebiet Ω⊂R2 mit (st¨uckweise) kubisch parametrisiertem C2-Rand∂Ω soll mit einem kubi- schen FE-Ansatz diskretisiert werden.
In diesem Fall gilt f¨ur die L¨osung u mindestens u ∈ H3(Ω) (i.a. aber u /∈ H4(Ω)) und die a priori Absch¨atzung
kuk2+k <=ck4ukk, k= 0,1.
(1) Geben Sie einen geeigneten Ansatzraum an. Welche Konvergenzordnungen sind daf¨ur bei gen¨u- gend regul¨arem u bzgl. der Energienorm (H1-Seminorm) und der L2-Norm zu erwarten? Welche Regularit¨at muß man dabei f¨ur die L¨osung uvoraussetzen?
(2) Welche Fehlerordnung l¨aßt sich mit einem Dualit¨atsargument f¨ur den Mittelwert zeigen, dh.
¯
¯
¯
¯ Z
Ω
u dx− Z
Ω
uhdx
¯
¯
¯
¯
<=ch?kuk3
Aufgabe 31:
SeiT ⊂R2 ein Dreieck mit DurchmesserhT und InkreisradiusρT mithT <=cρT, und seiIhvdie lineare Interpolierende mit den Funktionswerten in den Eckpunkten vonT als Knotenwerte. Zeigen Sie:
kv−Ihvk∂T <=ch3/2T k∇2vkT.
Es liegt daher nahe folgendes anzunehmen:
kv−Ihvk∂T <=ch1/2T k∇vkT.
Kann dies gelten?
Aufgabe 32:
Geben Sie die bestm¨oglichen h-Potenzen in folgenden Interpolationsabsch¨atzungen f¨ur die Lagrange- Interpolation in P(T) :=P2(T) an (bei
”regul¨arer“ Triangulierung):
(1) k∇2(v−ITv)kT <=cih?Tk∇3vkT
(2) |(v−ITv)(ai)|<=cih?Tk∇3vkT f¨ur Knotenai (3) k∂n(v−ITv)k∂T <=cih?Tk∇3vkT
(4) kv−ITvkT <=cih?Tk∇2vkT.
Besprechung der Aufgaben in der ¨Ubungsstunde am 19. 12. 2008.
