Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 30. Mai 2011 6. ¨Ubungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen II Aufgabe 16: Wir wollen die W¨armeleitungsgleichung u

Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 30. Mai 2011

6. ¨Ubungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen II

Aufgabe 16: Wir wollen die W¨armeleitungsgleichung u_t−∆u = f inO_T,

u = 0 auf ∂O_T, u(0) = u0 auf O,

mithilfeH₀¹-konformer linearer Finite Elemente im Ort diskretisieren. Hierzu verwenden wir eine regul¨are TriangulierungT_h vonO mit Gitterweiteh >0. Nachfolgend sei stetsf :O_T →Rhinreichend glatt und u₀ ∈L²(O).

(i) Zeigen, Sie, daß f¨ur jedes h >0 genau eine L¨osung der Ortsdiskretisierung auf O_T existiert.

(ii) Formulieren Sie Kriterien, die f¨ur die Ortsdiskretisierung ein diskretes parabolisches Maximums- prinzip sicherstellen.

(iii) Sei jetzt u₀ ∈H₀¹(O)∩H²(O). Weisen Sie folgende Fehlerabasch¨tzung nach sup

t∈[0,T]

ku−u_hk²_L2(O)+ Z T

0

k∇(u−u_h)k²_L2(O)ds≤C_Th².

Aufgabe 17: Sei¡

H,(·,·)_H¢

ein Hilbertraum und T >0. Zeigen Sie, daß eine von `≥0 abh¨angige Konstante C >0 existiert, sodaß die Absch¨atzung

ku_tk_L2(0,T;H)≤ C

Tkuk_L2(0,T;H) ∀u∈ P_`(0, T;H) gilt.

Hinweis: Benutzen Sie eine Orthonormalbasis {pˆ_i}<sup>`</sup><sub>i=0</sub> von P<sub>`</sub>(0,1), und konstruieren Sie damit eine Orthonormalbasis von P_`(0, T)

Aufgabe 18:

(i) Zeigen Sie, dass f¨ur eine stetige und koerzive Bilinearform a(·,·) :H₀¹ ×H₀¹ → R die L¨osung des dG Verfahrens eindeutig ist.

(ii) Lesen und verstehen Sie die S¨atze 4.1 und 4.2 ¨uber die Existenz einer L¨osung des dG Verfahrens aus dem Skript Numerik 1 von R. Rannacher.

Besprechung der Aufgaben in der ¨Ubungsstunde am 30. 06. 2011.