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Prof. Dr. W.G. Schmidt Übungen zur Elektrodynamik, WS 2010/11 Blatt 11

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Prof. Dr. W.G. Schmidt

Übungen zur Elektrodynamik, WS 2010/11 Blatt 11

Abgabetermin: 07.01.2011

1. Spiegelleiter

Die Halbräume x <0undx >0seien mit Materialien der magnetischen Permea- bilitätenµ1bzw.µ2 gefüllt. Beix=a >0,y= 0bende sich ein unendlich langer und dünner gerader Draht, der vom stationären Strom I durchossen wird. Es soll die Kraft pro Längeneinheit berechnet werden, die vom linken Halbraum auf den Draht ausgeübt wird.

(a) Es ist günstig, das Magnetfeld aus einem magnetostatischen Potential Ψ(~r) zu gewinnen. Formulieren Sie das Problem der Bestimmung des Potentials als ein Randwertproblem, d.h., geben Sie die Dierentialgleichung und die Randbedingungen an, denen Ψ(~r)genügen muss.

(b) Wie lautetΨ(~r) für den Draht im Vakuum (µ12 = 1)?

(c) In Gegenwart der Materialien können die Randbedingungen durch Einfürung von Bildströmen realisiert werden: Platzieren Sie je einen BildstromI1 bzw.

I2 an einen geeigneten Ort im linken bzw. rechten Halbraum, so dass I1 zusammen mit dem realen StromI als Ursache für das Potential Ψ2(x >0) dient und I2 allein das Potential Ψ1(x < 0) verursacht. Drücken Sie das Potential in den beiden Teilbereichen durch I1 und I2 aus und bestimmen Sie letztere aus den Randbedingungen.

(d) Berechnen Sie die magnetische FeldstärkeH(~~ r)in den beiden Bereichen aus dem PotentialΨ(~r)und bestimmen Sie die Kraft pro Längeneinheit auf den Draht.

2. Eindimensionale Wellengleichung

(a) Zeigen Sie, dass die eindimensionale Wellengleichung:

2xφ(x, t)− 1

c2t2φ(x, t) = 0 (1)

die allgemeine Lösung bestizt φ(x, t) = 1

2 f(t−x/c) +f(t+x/c) +c

Z t+x/c

t−x/c

dt0F(t0)

!

, (2)

falls fürx= 0 die Bedingungen lauten:

φ(0, t) =f(t), ∂xφ(0, t) =F(t). (3) (b) Wie lautet die Lösung, falls Anfangsbedingungen (fürt = 0) wie folgt gege-

ben sind:

φ(x,0) =f(x), ∂tφ(x,0) =g(x). (4)

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