Graphen: Weg und Kreis

(1)

Diskrete Mathematik

Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA

SS 2020

(2)

Graphen

Definition: Einfacher Graph G=G(V,E) = (V(G),E(G)) = (V,E) Eineinfacher GraphGbesteht aus einer (endlichen) MengeV von Knoten(Vertices) und einerTeilmengeE ⊆ ^V₂vonKanten(Edges).

Notation: ^V₂:={A⊆V : |A|= 2} 2–elementigen Teilmengen vonV. Ein einfacher Graph kannnichtSchlingen und mehrfache Kanten haben.

Definition: Graph G=G(V,E) = (V(G),E(G)) = (V,E) EinGraphGbesteht aus einer (endlichen) MengeV vonKnoten (Vertices) und eine (endliche)MultimengeE der Familie der 2–elementigen Multimengen vonV.

E ist eine (endliche) Multimenge vonKanten(Edges). Ein Graph kann Schlingen und mehrfache Kanten haben.

c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 07: Graphen und Digraphen 2 / 60

(3)

Graphen

Definition: Einfacher Graph G=G(V,E) = (V(G),E(G)) = (V,E) Eineinfacher GraphGbesteht aus einer (endlichen) MengeV von Knoten(Vertices) und einerTeilmengeE ⊆ ^V₂vonKanten(Edges).

Notation: ^V₂:={A⊆V : |A|= 2} 2–elementigen Teilmengen vonV. Ein einfacher Graph kannnichtSchlingen und mehrfache Kanten haben.

Definition: Graph G=G(V,E) = (V(G),E(G)) = (V,E) EinGraphGbesteht aus einer (endlichen) MengeV vonKnoten (Vertices) und eine (endliche)MultimengeE der Familie der 2–elementigen Multimengen vonV.

E ist eine (endliche) Multimenge vonKanten(Edges).

Ein Graph kann Schlingen und mehrfache Kanten haben.

(4)

Graphen: Weg und Kreis

Definition: Weg und Kreis

SeiGein Graph. Eine Wanderungv₀,v₁, . . . ,v_ninGmit der Eigenschaft, daß

alle Knoten (außer eventuell der erste und der letzte)verschieden sind (d.h.: für 0≤i <j ≤n, (i,j)6= (0,n) giltv_i 6=v_j),

und alle Kanten{v_i₋₁,v_i}verschiedensind, nennen wir

einenWegvonv₀nachv_n, wennv₀6=v_n, einenKreis, wennv₀=vn.

(5)

Graphen: Weg und Wanderung

Proposition

SeiGein Graph. Zwei Knotenv,u inGsind genau dann durch einen Weg verbunden, wenn sie durch eine Wanderung verbunden sind.

Beweis:

Jeder Wegisteine Wanderung, daher ist die eine Richtung klar.

Umgekehrt überlegen wir, daß jede Wanderungv =v₀,v₁, . . . ,v_n =u zu einem Weg “verkürzt” werden kann: Solange es einen Knotenw in der Wanderung gibt, der mehrfach vorkommt, schneiden wir das Stück zwischen dem ersten und letzten Vorkommnis vonw heraus:





v₀, . . . ,v_k, w, . . . ,w

| {z }

ausschneiden!

,v_m, . . . ,v_n





→(v₀, . . . ,v_k,w,v_m, . . . ,v_n). Wenn es keinen solchen Knoten (mehr) gibt, haben wir einen Weg vor

uns, derv mituverbindet.

(6)

Graphen: Adjazenzmatrix

Definition: Adjazenzmatrix

SeiG(V,E) ein Graph. DieAdjazenzmatrixvonGist eine|V| × |V| MatrixA(G), deren Zeilen und Spalten wir uns durch die Knoten ausV bezeichnet denken, und deren Eintrag in Zeilev_i, Spaltev_j gleich der Vielfachheit vonv_i,v_j inE ist.

Bemerkung: A(G) ist eine reelle symmetrische Matrix und daher diagonalisierbar: Die Untersuchung ihrer Eigenwerte kann

interessante Aussagen über den zugrundeliegenden Graphen liefern.

(7)

Graphen: Adjazenzmatrix

Definition: Adjazenzmatrix

SeiG(V,E) ein Graph. DieAdjazenzmatrixvonGist eine|V| × |V| MatrixA(G), deren Zeilen und Spalten wir uns durch die Knoten ausV bezeichnet denken, und deren Eintrag in Zeilev_i, Spaltev_j gleich der Vielfachheit vonv_i,v_j inE ist.

Bemerkung: A(G) ist eine reelle symmetrische Matrix und daher diagonalisierbar: Die Untersuchung ihrer Eigenwerte kann

interessante Aussagen über den zugrundeliegenden Graphen liefern.

(8)

Graphen: Wälder und Bäume

Definition: Wald und Baum

EinWaldist ein Graph, der keinen Kreis enthält.

EinBaumist ein zusammenhängender Wald.

Ein Knoten vom Grad 1 in einem Wald heißt einBlatt.

Bemerkung: DieZusammenhangskomponenteneines Waldes sind Bäume.

(9)

Beispiel: ein Wald mit drei Bäumen (

aus Skriptum

)

ld

ldld ld ld ld ldld ldldld ld ld

ldld

Die Blätter sind hier als Rhomben gezeichnet.

(10)

Graphen: Bäume

Lemma 1: Ein Blatt

Ein BaumTmitn>1 Knoten hat (mindestens) ein Blatt.

Beweis: Angenommen, es gäbe keinen Knoten vom Grad 1. Da ein Baum zusammenhängend ist, gibt es (außer fürn= 1) keinen isolierten Knoten(das ist ein Knoten vom Grad 0, der eine eigene Zusammenhangskomponente darstellt). Daher müßte also jeder Knoten Grad mindestens 2 haben. Dies wiederum würde bedeuten, daß es beliebig lange Wanderungen inTgibt, bei denenniemalseine Kante zweimalunmittelbar hintereinanderdurchlaufen wird.

(11)

Graphen: Bäume

Es würde also eine solche Wanderungw geben, deren Länge größer ist alsn: Darin muß es dann aber notwendigerweise (mindestens) einen Knoten geben, der (mindestens) zweimal vorkommt. Ein minimalerAbschnitt inw¹von einem solchen Knotenv zu dem nächsten Auftreten vonv in der Wanderung





. . . , v, . . . ,v

| {z }

geschlossener Weg = Kreis!

, . . .







würde einen Kreis bilden (denn der Abschnitt kann nicht vom Typ (v,x,v) sein, da niemals eine Kante unmittelbar hintereinander

zweimal durchlaufen wird); ein Widerspruch.

1Genauer: Seiw= (v1,v2, . . . ,vn). Ordne die Menge aller Paare (i,j) mit

1<i<j<nundvi=vj, durch (i,j)≤(k,l) :⇔i≥kundj≤l(“Intervall–Inklusion”):

In dieser teilweise geordneten Menge gibt es minimale Elemente.

(12)

Graphen

EinzusammenhängenderGraph hat “relativ viele Kanten”, ein Graph ohne Kreisehat “relativ wenige Kanten”:

Für einenBaummitnKnoten ist die Anzahl seiner Kanten eindeutig festgelegt, wie das nächste Resultat zeigt.

(13)

Graphen: Baum

Lemma 2: n−1 Kanten

Ein BaumTmit genaunKnoten hat genaun−1 Kanten.

Beweis:

Wir zeigen die Behauptung mit Induktion. Die Sache ist klar fürn= 1 (denn die einzigen möglichen Kanten in diesem Fall wären Schlingen, die bilden aber Kreise).

Für denInduktionsschritt vonn−1 aufnwählen wir ein Blatt, also einen Knotenv vom Grad 1 inT(den es nach Lemma 1 geben muß) und betrachten den GraphenT−v, der ausTentsteht, wenn wir den Knotenv zusammen mit der (einzigen) inzidenten Kante entfernen. T−vhatn−1 Knoten, enthält keinen Kreis und ist

zusammenhängend (denn kein Weg inT, der zwei Knotenx,y 6=v verbindet, kann den Knotenv enthalten): T−vist also ein Baum und hat nachInduktionsvoraussetzungn−2 Kanten,That alson−1

Kanten.

(14)

Graphen: Baum

Beweis:

Für denInduktionsschritt vonn−1 aufnwählen wir ein Blatt, also einen Knotenv vom Grad 1 inT(den es nach Lemma 1 geben muß) und betrachten den GraphenT−v, der ausTentsteht, wenn wir den Knotenv zusammen mit der (einzigen) inzidenten Kante entfernen.

T−vhatn−1 Knoten, enthält keinen Kreis und ist

Kanten.

(15)

Graphen: Baum

Beweis:

Für denInduktionsschritt vonn−1 aufnwählen wir ein Blatt, also einen Knotenv vom Grad 1 inT(den es nach Lemma 1 geben muß) und betrachten den GraphenT−v, der ausTentsteht, wenn wir den Knotenv zusammen mit der (einzigen) inzidenten Kante entfernen.

T−vhatn−1 Knoten, enthält keinen Kreis und ist

Kanten.

(16)

Graphen: Baum

Korollar 1: Zwei Blätter

Ein BaumTmitn>1 Knoten hat (mindestens) zwei Blätter.

Beweis: Wir haben (Leonhard Euler’1736):

X

v∈V(T)

deg (v) = 2· |E(T)|= 2·(n−1).

Angenommen, es gäbe nureinBlattb, dann wäre X

v∈V(T)

deg (v) = 1 + ^X

v∈V(T)\{b}

deg (v)

| {z }

≥2

≥ 1 + 2·(n−1),

ein Widerspruch.

(17)

Graphen: Baum

Korollar 2: Wald und Kanten

EinWaldmitnKnoten undmZusammenhangskomponenten hat n−mKanten; insbesondere hat er alsohöchstensn−1 Kanten (mit Gleichheit dann und nur dann, wenn er ein Baum ist).

Beweis:

Für einen WaldFmitnKnoten und mitmKomponentenT1, . . . ,Tm, die jeweilsa₁, . . . ,am Knoten enthalten, gilt^P^m_i=1a_i =n. Jede Komponente Ti ist ein Baum und hat nach Lemma 2 alsoa_i −1 Kanten. Also hatF

m

X

i=1

(a_i−1) =n−m

Kanten.

(18)

Graphen: Baum

Korollar 3: Zusammenhängender Graph und Kanten

Einzusammenhängender GraphmitnKnoten hatmindestensn−1 Kanten; er hatgenaun−1 Kanten dann und nur dann, wenn er ein Baum ist.

Beweis: Wir betrachten einen beliebigen zusammenhängenden GraphenG, derkeinBaum ist. Dann gibt es also einen KreisCinG.

Seieeine Kante inC, und seiG−eder Graph, der ausGdurch das Entfernen voneentsteht. G−eist noch immer zusammenhängend (denn in jeder Wanderung inG, die die Kanteebenutzt, kannedurch den WegC−eersetzt werden).

Dieses “Zerstören von Kreisen” können wir solange wiederholen, bis ein Baum entstanden ist: Angenommen, wir brauchen dafürr Schritte, dann enthält der ursprüngliche GraphGalson−1 +r Kanten,r >0.

(19)

Graphen: Baum

Korollar 3: Zusammenhängender Graph und Kanten

Einzusammenhängender GraphmitnKnoten hatmindestensn−1 Kanten; er hatgenaun−1 Kanten dann und nur dann, wenn er ein Baum ist.

Beweis: Wir betrachten einen beliebigen zusammenhängenden GraphenG, derkeinBaum ist. Dann gibt es also einen KreisCinG.

Seieeine Kante inC, und seiG−eder Graph, der ausGdurch das Entfernen voneentsteht. G−eist noch immer zusammenhängend (denn in jeder Wanderung inG, die die Kanteebenutzt, kannedurch den WegC−eersetzt werden).

Dieses “Zerstören von Kreisen” können wir solange wiederholen, bis ein Baum entstanden ist: Angenommen, wir brauchen dafürr Schritte, dann enthält der ursprüngliche GraphGalson−1 +r Kanten,r >0.

(20)

Teilgraph

Definition: Teilgraph

SeiG(V,E) ein Graph. Eine TeilmengeV_H ⊆V zusammen mit einer TeilmengeE_H ⊆E definiert einenTeilgraphenH=H(V_H,E_H), wenn alle Knoten, die zu Kanten ausE_H gehören, inV_H enthalten sind; also wenn^S_e∈E_He⊆V_H.

Seie∈E(G): Den TeilgraphH(V_H,E_H) mitV_H =V(G) und

E_H =E(G)\ {e}(Hentsteht also ausG“durch Entfernen der Kantee”) bezeichnen wir mitG−e.

(21)

Induzierte Teilgraph

Definition: Induzierte Teilgraph

SeiG(V,E) ein Graph. Eine TeilmengeV_H ⊆V zusammen mit einer TeilmengeE_H ⊆E definiert einen (durchV_H)induzierten Teilgraphen H=H(V_H,E_H), wenn überdiesalleKanten inE(G), diebeideKnoten inV_Hhaben, auch zuE_H gehören (also

∀e∈E(G) : e⊆V_H =⇒ e∈E_H;V_H determiniert dannE_H eindeutig).

Seiv ∈V(G): DeninduziertenTeilgraphH(V_H,E_H) mit

V_H =V(G)\ {v}(Hentsteht also ausG“durch Entfernen des Knotens v”) bezeichnen wir mitG−v.

(22)

Beispiel: Teilgraph und induzierter Teilgraph (

aus Skriptum

)

G v

e

G−e G−v

induzierter Teilgraph Teilgraph

⃝c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 07: Graphen und Digraphen 17 / 60

(23)

Spannender Teilgraph

Definition: spannender Teilgraph

SeiG=G(V,E) ein Graph. Ein TeilgraphH=H(V_H,E_H) vonGheißt spannender Teilgraph, wennV_H =V.

Ein spannender Teilgraph vonG, der ein Wald bzw. ein Baum ist, heißt spannender Waldbzw.spannender BaumvonG.

(24)

Beispiel: Teilgraph und spannender Teilgraph (

^aus

Skriptum

)

G v

e

G−e G−v

induzierter Teilgraph Teilgraph

nicht spannender Teilgraph spannender Teilgraph

⃝c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 07: Graphen und Digraphen 19 / 60

(25)

Spannender Baum

Spannbaum = aufspannender Baum = spanning tree

Korollar 4: Spannender Baum

Jeder zusammenhängende Graph hat einen spannenden Baum.

Beweis:

Das folgt an sich sofort aus dem Beweis für Korollar 3. Wir geben hier aber einen zweiten “algorithmischen” Beweis.

(26)

Spannender Baum

SeiG(V,E) ein zusammenhängender Graph.

{Initialisierung:}

1: S← ∅,T←T(V,S)

{Schleife: Wird wiederholt, solange die Bedingung erfüllt ist.}

2: while(Bedingung: DerTist nicht zusammenhängend.)do

3: Wähle eine beliebige Kantee∈ E, die Knoten in verschiedenen Zusammenhangskomponenten vonTverbindet,

4: S←S∪ {e}

5: T←T(V,S)

6: end while

(27)

Spannender Baum

1: Man findet in jedem Schritt eine geeignete Kantee:

Denn seiZeine Zusammenhangskomponente vonTundYder

“restliche Graph” (also die übrigen Zusammenhangskomponenten).

Seienz bzw.y zwei Knoten ausZbzw.Y. InGgibt es einen Weg, der z mity verbindet — der muß eine Kanteeenthalten, die “ZmitY verbindet” (d.h., einen Knoten ausZund einen ausYenthält). Diese Kanteeist eine geeignete Wahl im Wiederholungsschritt.

(28)

Spannender Baum

2: Der GraphTenthält keine Kreise:

Denn im Initialisierungsschritt ist das klar. Und durch das Hinzufügen der Kantene(deren Existenz wir eben gezeigt haben) zu einem Graphen ohne Kreise kann kein KreisC entstehen, denn dieser müßte die Kanteeenthalten — diese verbindet aber nach Konstruktion zwei verschiedene ZusammenhangskomponentenZ1undZ2.

C müßte ja die Kantee“benutzen”, um vonZ1nachZ2zu gelangen — aber für die “Rückkehr” vonZ2nachZ1steht ja wieder nur dieselbe

Kanteezur Verfügung.

(29)

Minimal spannender Baum

Definition: Minimal spannender Baum

SeienG(V,E) ein zusammenhängender Graph undω : E →R⁺\ {0} eineGewichtsfunktionauf der Menge seiner Kanten.

Ein spannender BaumTistminimal, wenn kein anderer spannender Baum in demselben Graphen mit geringerem Gewicht existiert, d.h.

ω(T) := ^X

e∈E(T)

ω(e) ist minimal.

(30)

Kruskals Greedy Algorithmus

Proposition: Kruskals Greedy Algorithmus (Joseph Kruskal’1956) SeiG(V,E) ein zusammenhängender Graph mit einer

Gewichtsfunktionω: E →R⁺\ {0}auf der Menge seiner Kanten. Der folgende“greedy algorithm”liefert einen minimalen spannenden Baum:

{Initialisierung:}

1: S← ∅,T←T(V(G),S).

2: while(Bedingung: DerTist nicht zusammenhängend.)do

3: Wähle unter den Kanten in E(G), die Knoten in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von T verbinden, eine von minimalem Gewicht(deshalb heißt das Verfahren “gieriger” Algorith- mus),e,

4: S←S∪ {e}

5: T←T(V(G),S).

6: end while

(31)

Kruskals Greedy Algorithmus

Beweis:

Daß der Algorithmus einen spannenden Baum liefert, wissen wir bereits: Zu zeigen ist also, daß das Resultat einminimalerspannender Baum ist.

Seindie Anzahl der Knoten vonG, und seie₁, . . . ,e_n−1die Folge der Kanten vonTin der Reihenfolge, wie sie vom greedy algorithm gewählt werden. Es gilt:

ω(e₁)≤ · · · ≤ω(e_n−1).

(32)

Kruskals Greedy Algorithmus

Angenommen, es gäbe einen spannenden Baum mit Kanten f₁, . . . ,f_n−1, die auch nach dem Gewicht geordnet seien, also

ω(f₁)≤ · · · ≤ω(f_n−1),

der ein kleineres Gesamtgewicht der Kanten hat, also

n−1

X

i=1

ω(f_i)<

n−1

X

i=1

ω(e_i). Nun wählek minimal, sodaß

k

X

i=1

ω(f_i)<

k

X

i=1

ω(e_i).

Es ist sicherk >1, denn der greedy algorithm wählt im ersten Schritt eine Kante von minimalem Gewicht. Es gilt also nach Wahl vonk

k−1

X

i=1

ω(f_i)≥

k−1

X

i=1

ω(e_i),

(33)

Kruskals Greedy Algorithmus

daher muß gelten:

ω(f₁)≤ · · · ≤ω(f_k)<ω(e_k).

Das wiederum heißt: Der greedy algorithm wählt imk-ten Schritt Kantee_k undkeineder Kantenf₁, . . . ,f_k, die kleineres Gewicht haben.

Also kann keine der Kantenf₁, . . . ,f_k verschiedene Zusammenhangskomponenten im Graphen

T^e=T(V,{e₁, . . . ,e_k−1}) verbinden.

(34)

Kruskals Greedy Algorithmus

Das bedeutet aber, daß die Knotenmenge jeder Zusammenhangskomponente von

T^f =T(V,{f₁, . . . ,f_k})

in der Knotenmengen einer Zusammenhangskomponente vonT^e enthaltenist, insbesondere hat alsoT^f mindestens so viele Zusammenhangskomponenten wieT^e.

Dies ist aber ein Widerspruch, dennT^e undT^f sind Wälder, und die Anzahl ihrer Komponenten istn−(k−1)>n−k.

(35)

Beispiel: Minimal spannender Baum (

aus Skriptum

)

1 1

2

1 3 1

3

4 2

Graph mit Gewichtsfunktion Minimal spannender Baum

(36)

Travelling Salesman Problem

Wir müßten eineRundreisedurchnStädte planen und dabei jede Stadt genau einmal aufsuchen. Die Frage ist, wie diese Rundreise am billigstengeschehen kann.

Definition: Hamiltonscher Kreis

Ein Kreis in einem GraphenG, deralle KnotenvonGenthält, heißt Hamiltonscher Kreis.

SeiKn dervollständigeGraph mitnKnoten, und sei eine

Gewichtsfunktionω : E →Rauf der Menge seiner Kanten gegeben. In der Familie aller Hamiltonschen Kreise desKnbetrachten wir jenen, H, für den das Gesamtgewicht seiner Kanten minimal ist: Dieser Kreis ist eine Lösung für das mitKnund Gewichtsfunktionωverbundene Travelling Salesman Problem(die Lösung des Problems ist also ein minimaler Hamiltonscher Kreis).

(37)

Travelling Salesman Problem

Wir müßten eineRundreisedurchnStädte planen und dabei jede Stadt genau einmal aufsuchen. Die Frage ist, wie diese Rundreise am billigstengeschehen kann.

Definition: Hamiltonscher Kreis

Ein Kreis in einem GraphenG, deralle KnotenvonGenthält, heißt Hamiltonscher Kreis.

Gewichtsfunktionω: E →Rauf der Menge seiner Kanten gegeben.

In der Familie aller Hamiltonschen Kreise desKnbetrachten wir jenen, H, für den das Gesamtgewicht seiner Kanten minimal ist: Dieser Kreis ist eine Lösung für das mitKnund Gewichtsfunktionωverbundene Travelling Salesman Problem(die Lösung des Problems ist also ein minimaler Hamiltonscher Kreis).

(38)

Gewichtsfunktion: Beispiele

Gewichtsfunktionω₁: eee Gewichtsfunktionω₂: Zeit

Gewichtsfunktionω₃: zurückgelegte Strecke

Andere Gewichtsfunktion−→anderer minimaler Hamiltonscher Kreis

(39)

Gewichtsfunktion: Dreiecksungleichung

Definition: Dreiecksungleichung

SeiKn der vollständige Graph mitnKnoten, und sei eine

Wir sagen, die Gewichtsfunktion erfüllt dieDreiecksungleichung, wenn für je drei paarweise verschiedene Knotena,bundc gilt:

ω({a,b}) +ω({b,c})≥ω({a,c})

(40)

Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis

Satz: Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis SeiKn der vollständige Graph mitnKnoten, und sei eine

Gewichtsfunktionω: E →Rauf der Menge seiner Kanten gegeben, die die Dreiecksungleichung erfüllt.

Seimbzw.M das Gesamtgewicht der Kanten eines minimalen spannenden Baumes bzw. eines minimalen Hamiltonschen Kreises.

Dann gilt:

m≤M≤2m.

Definition: Eulerscher Graph

Ein Graph, in dem jeder Knoten geraden Grad hat, heißt ein Eulerscher Graph

(41)

Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis

Satz: Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis SeiKn der vollständige Graph mitnKnoten, und sei eine

Gewichtsfunktionω: E →Rauf der Menge seiner Kanten gegeben, die die Dreiecksungleichung erfüllt.

Seimbzw.M das Gesamtgewicht der Kanten eines minimalen spannenden Baumes bzw. eines minimalen Hamiltonschen Kreises.

Dann gilt:

m≤M≤2m.

Definition: Eulerscher Graph

Ein Graph, in dem jeder Knoten geraden Grad hat, heißt ein Eulerscher Graph

(42)

Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis

Beweis: Daßm≤M ist, folgt einfach daraus, daß ein Hamiltonscher Kreis natürlich zusammenhängend ist (und ein minimaler spannender Baum ist ein zusammenhängender Teilgraph mit minimalem

Gesamtgewicht der Kanten).

Die zweite Ungleichung sieht man wie folgt: Zunächst konstruieren wir einen minimalen spannenden BaumTinKn. Diesen Baum machen wir zu einem Eulerschen Graphen (mit mehrfachen Kanten), indem wir alle seine Kanten “verdoppeln”.

In diesem Eulerschen Graphen konstruieren wir eine Eulersche Wanderung. Um nun einen Hamiltonschen Kreis zu konstruieren, folgen wir dieser Wanderung — aber immer, wenn wir einen Knoten erreichen, den wir schon besucht hatten, setzen wir mit demnächsten Knoten auf der Wanderung fort, der nochnichtbesucht wurde.

(43)

Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis

Beweis: Daßm≤M ist, folgt einfach daraus, daß ein Hamiltonscher Kreis natürlich zusammenhängend ist (und ein minimaler spannender Baum ist ein zusammenhängender Teilgraph mit minimalem

Gesamtgewicht der Kanten).

Die zweite Ungleichung sieht man wie folgt: Zunächst konstruieren wir einen minimalen spannenden BaumTinKn. Diesen Baum machen wir zu einem Eulerschen Graphen (mit mehrfachen Kanten), indem wir alle seine Kanten “verdoppeln”.

In diesem Eulerschen Graphen konstruieren wir eine Eulersche Wanderung. Um nun einen Hamiltonschen Kreis zu konstruieren, folgen wir dieser Wanderung — aber immer, wenn wir einen Knoten erreichen, den wir schon besucht hatten, setzen wir mit demnächsten Knoten auf der Wanderung fort, der nochnichtbesucht wurde.

(44)

Spannender Baum versus Hamiltonsche Kreis

Es ist klar, daß so ein Hamiltonscher KreisC entsteht — die Frage ist, wie groß das Gewicht der Kanten vonCist. Nach Konstruktion haben wir immer “Abkürzungen gemacht”, also Abschnittev_i,v_i+1, . . . ,v_j der Eulerschen Wanderung durch einfache Kanten v_i,v_jersetzt: Wegen der Dreiecksungleichung²ist aber

ω({v_i,v_i+1}) +· · ·+ω v_j−1,v_j ≥ω v_i,v_j ,

daher ist das Gewicht der Kanten vonC≤dem Gewicht der Kanten

der Eulerschen Wanderung, also≤2m.

2. . . und Induktion.

(45)

Digraphen und Netzwerke

Definition: Gerichteter Graph

Eingerichteter Graph(englisch:directed graph, oder kurzDigraph) D=D(V,E) (mit mehrfachen Kanten) ist gegeben durch eine Menge V von Knoten und eine MultimengeE der Familie dergeordneten PaarevonV.

Die Kanten einesgerichteten GraphenDbesitzen also eine

Orientierung, d.h., eine Kantee= (v,u) verbindet nicht einfach Knoten v mit Knotenu, sondern führtvonv nachu:v ist derAnfangsknoten der Kante, bezeichnet miti(e), unduist derEndknotender Kante, bezeichnet mitt(e).

DerEingangsgrad(englisch: in–degree) eines Knotenv ist die Anzahl der Kantenemitt(e) =v (die alsonachv führen), und der

Ausgangsgrad(englisch:out–degree) ist die Anzahl der Kantenemit i(e) =v (die alsovonv zu anderen Knoten führen).

(46)

Digraphen

Definition: Wanderungen und Wege in gerichteten Graphen Wanderungen und Wege in gerichteten Graphen sind genauso definiert wie für “normale” Graphen — nur daß die Kanten“in der richtigen Richtung benutzt”werden müssen. D.h., wenn

v₀,v₁, . . . ,v_n

eine Wanderung inDist, dann müssen diegeordneten Paare(v_i−1,v_i) füri = 1, . . . ,nKanten ausE sein.

Wenn man in einem DigraphenDdie Orientierung “vergißt”, also jede gerichtete Kante (v,w) durch eine “normale” Kante{v,w}ersetzt, dann erhält man einen “normalen” GraphenG(um den Gegensatz zu einem gerichteten Graphen zu betonen, spricht man auch von einem ungerichteten Graphen): Dieser wird derzugrundeliegende Graphvon Dgenannt.

(47)

Netzwerke

Definition: Netzwerk

EinNetzwerkist ein DigraphN(V,E) mit zwei ausgezeichneten Knoten, einerQuelleqund einerSenkes,q6=s, und mit einer Gewichtsfunktionc:E →R⁺(die also nurnichtnegativeWerte annimmt) und die in diesem ZusammenhangKapazitätheißt.

(48)

Netzwerke: Fluß

Definition: Fluß

EinFluß(englisch:Flow) in einem NetzwerkN(V,E) (mit Quelleq, Senkesund Kapazitätc) ist eine Funktionf :E →Rmit den Eigenschaften

0≤f(e)≤c(e) für alle Kantene∈E, X

i(e)=v

f(e) = ^X

t(e)=v

f(e) für alle Knotenv 6=q,s.

DieStärkeval (f) eines Flussesf ist definiert als val (f) = ^X

i(e)=q

f(e)− ^X

t(e)=q

f(e).

(49)

Beispiel: Netzwerk (

aus Skriptum

)

q s

2|7

1|2 1|2

2|3 0|1

0|7 2|2

3|3

0|4

2|2 1|1

1|3 1|2 1|1

2|2 1|3

1|2

Fluss|Kapazität der Kanten sind in kleinen Kästchen eingetragen:

Ersichtlich hat der Fluss Stärke 4

(50)

Netzwerke: Lemma

Für eine beliebige TeilmengeS⊆V von Knoten eines Netzwerks N(V,E) führen wir folgende Notation ein:

S^→:={e∈E :i(e)∈S,t(e)6∈S} (“Netto–Output”), S^←:={e∈E :t(e)∈S,i(e)6∈S} (“Netto–Input”).

Lemma: Die Stärke

Seif ein Fluß in einem NetzwerkN(V,E) mit Quelleqund Senkes.

SeiSeine beliebige Teilmenge vonV, dieqenthält, aber nichts.

Dann gilt:

X

e∈S^→

f(e)− ^X

e∈S^←

f(e) = val (f).

(51)

Netzwerke: Die Stärke

Beweis: Wir betrachten X

v∈S



 X

i(e)=v

f(e)− ^X

t(e)=v

f(e)



.

Einerseitsergibt diese Summe val (f), denn alle Summanden fürv 6=q sind Null nach Definition eines Flusses, und der Summandv =qliefert genau val (f).

Andrerseitskönnen wir die Summe auch als Summe über Kanten interpretieren: Seie= (v,w) eine Kante. Wennv ∈S, dann kommt +f(e) in der Summe vor; wenn auchw ∈S, dann kommt−f(e) in der Summe vor — diese Terme heben sich also gegenseitig auf.

Daher tragen nur solche Kanten etwas zur Summe bei, diegenau einenKnoten inShaben, das sind genau jene inS^→(die

entsprechenden Terme werdenaddiert) bzw. inS^←(die

entsprechenden Terme werdensubtrahiert).

(52)

Netzwerke: Die Stärke

v∈S



 X

i(e)=v

f(e)− ^X

t(e)=v

f(e)



.

(53)

Netzwerke: Die Stärke

v∈S



 X

i(e)=v

f(e)− ^X

t(e)=v

f(e)



.

(54)

Netzwerke: Die maximale Stärke

Was ist diemaximaleStärke eines Flusses in einem gegebenen Netzwerk?

(55)

Netzwerke: Schnitt

Definition: Schnitt

EinSchnitt(englisch: Cut)C in einem NetzwerkN(V,E) ist eine TeilmengeC ⊆E von Kanten, sodaßjederWeg von der Quelleqzur Senkesmindestens eine Kante ausCenthält.

DieKapazitätc(C) des Schnitts ist die Summe der Kapazitäten der Kanten inC, also

c(C) =^X

e∈C

c(e).

(56)

Netzwerke: Fluß und Schnitt

Lemma: Fluß und Schnitt

SeiN(V,E) ein Netzwerk mit Quelleq, Senkesund Kapazitätsfunktionc.

Dann ist die Stärke eines beliebigen Flusses kleiner oder gleich der Kapazität eines beliebigen Schnitts.

(57)

Netzwerke: Fluß und Schnitt

Beweis: SeiCein Schnitt, und seiSdie Menge der Knoten inN, die von der Quelleqaus durch Wege erreichbar sind, diekeineKanten ausC enthalten. Dann istS^→⊆C.

Nach Lemma “Die Stärke” gilt für einen beliebigen Flußf: val (f) = ^X

e∈S^→

f(e)− ^X

e∈S^←

f(e)≤ ^X

e∈S^→

c(e)≤ ^X

e∈C

c(e) =c(C).

(58)

Max–Flow–Min–Cut–Theorem

Satz: Max–Flow–Min–Cut–Theorem, Satz von Ford–Fulkerson SeiN(V,E) ein Netzwerk mit Quelleq, Senkesund

Kapazitätsfunktionc.

Dann ist die maximale Stärke eines Flussesgleichder minimalen Kapazität eines Schnitts.

(59)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Lemma:

SeiN(V,E) ein Netzwerk mit Quelleq, Senkesund

Kapazitätsfunktionc:E →Z⁺(d.h., alle Kapazitäten sindganze nichtnegative Zahlen).

Dann gibt es einen Flußf inN, der in jeder Kante ganzzahlig ist (d.h., f(e)∈Z⁺für allee∈E: Wir sagen,f ist einganzzahliger Fluß), und einen SchnittC, sodaß

val (f) =c(C).

Insbesondere istf ein Fluß maximaler Stärke undCein Schnitt minimaler Kapazität.

Satz “Max–Flow–Min–Cut” ist damit also fürganzzahlige Kapazitätsfunktionen gezeigt.

(60)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Lemma:

SeiN(V,E) ein Netzwerk mit Quelleq, Senkesund

Kapazitätsfunktionc:E →Z⁺(d.h., alle Kapazitäten sindganze nichtnegative Zahlen).

Dann gibt es einen Flußf inN, der in jeder Kante ganzzahlig ist (d.h., f(e)∈Z⁺für allee∈E: Wir sagen,f ist einganzzahliger Fluß), und einen SchnittC, sodaß

val (f) =c(C).

Insbesondere istf ein Fluß maximaler Stärke undCein Schnitt minimaler Kapazität.

Satz “Max–Flow–Min–Cut” ist damit also fürganzzahlige Kapazitätsfunktionen gezeigt.

(61)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Beweis: Das Kernstück unseres Beweises ist die Behauptung: Für einen ganzzahligen Flußf gibt es

entweder einen ganzzahligen Flußf⁰ mit val (f⁰) = val (f) + 1 oder einen SchnittCmitc(C) = val (f).

Wenn wir das zeigen können, können wir algorithmisch vorgehen und mit dem “Nullfluß”f ≡0 starten, den wir sukzessive “verstärken” (solange die erste Alternative der Behauptung zutrifft), bis die zweite Alternative der Behauptung zutrifft und wir einenmaximalen Fluß konstruiert haben.

Zum Beweis dieser Behauptung konstruieren wir algorithmisch zwei MengenS⊆V undE_S ⊆E:

(62)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Beweis: Das Kernstück unseres Beweises ist die Behauptung: Für einen ganzzahligen Flußf gibt es

entweder einen ganzzahligen Flußf⁰ mit val (f⁰) = val (f) + 1 oder einen SchnittCmitc(C) = val (f).

Wenn wir das zeigen können, können wir algorithmisch vorgehen und mit dem “Nullfluß”f ≡0 starten, den wir sukzessive “verstärken”

(solange die erste Alternative der Behauptung zutrifft), bis die zweite Alternative der Behauptung zutrifft und wir einenmaximalen Fluß konstruiert haben.

Zum Beweis dieser Behauptung konstruieren wir algorithmisch zwei MengenS⊆V undE_S ⊆E:

(63)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

{Initialisierung:}

1: S← {q},E_S ← ∅.

2: while(Bedingung: s6∈Sund es existiert eine Kantee= (v,w), für die entweder f(e) < c(e) undv ∈ S, aber w 6∈ S (i.e.: e ∈ S^→) oderf(e)>0 undv 6∈S, aberw ∈S( i.e.: e∈S^←)) do

3: S ← S∪ {v,w}(i.e.: gib den Knoten vone, der noch nicht inS enthalten ist (alsov oderw), zuSdazu.)

4: E_S ←E_S∪ {e}(i.e.: gib die KanteezuE_S dazu.)

5: end while

(64)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Die so konstruierte KnotenmengeS ergibt zusammen mit der KantenmengeE_S einen (gerichteten) TeilgraphenN⁰ vonN, dessen zugrundeliegender (ungerichteter) Graph (in dem man also “die Orientierung der Kanten vergißt”) einBaumist.

Es gibt nun zwei Möglichkeiten:

(65)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Fall 1: s∈S.Dann gibt es eine Folge vonpaarweise verschiedenen Knotenq=v₀,v₁, . . . ,v_n =s, sodaß für allei = 1, . . . ,n

(a) entweder (v_i−1,v_i) =:e_i ∈E_S ist eine der Kanten mitf(e_i)<c(e_i), (b) oder (v_i,v_i−1) =:e_i ∈E_S ist eine der Kanten mitf(e_i)>0

gilt³. Die Menge dieser Kanten{e_i : 1≤i ≤n}zerfällt also in zwei disjunkte Teilmengen

A⊆E_S: füre_i ∈Atrifft Alternative (a) zu, B⊆E_S: füre_i ∈Btrifft Alternative (b) zu.

3Imzugrundeliegenden GraphenvonN⁰(wo also “auf die Orientierung der Kanten vergessen wird”) entspricht diese Folge demeindeutigen Wegvonqnachs.

(66)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Nun definieren wir einen Flußf⁰ wie folgt:

f⁰(e) =











f(e) + 1 fallse∈A, f(e)−1 fallse∈B, f(e) sonst.

Es ist leicht zu sehen, daß 0≤f⁰(e)≤c(e) für alle Kantene∈E gilt, und daß für alle Knotenv_i,i= 1, . . . ,n−1 (andere Knoten — außerq unds— sind von der Änderung ja gar nicht betroffen!) nach wie vor Pi(e)=vif⁰(e) =^P_t(e)=v_if⁰(e) gilt: f⁰ ist also tatsächlich ein Fluß. Ebenso ist leicht zu sehen, daß val (f⁰) = val (f) + 1.

(67)

Beispiel (

aus Skriptum

)

Die folgende Graphik zeigt eine MengeS(grau unterlegt), die sich mit diesem Schritt ergeben würde: Die Senkesgehört zuS, daher läßt sich der Fluß um 1 erhöhen.

q s

2|7

1|2 1|2

2|3 0|1

0|7 2|2

3|3

0|4

2|2 1|1

1|3 1|2 1|1

2|2 1|3

1|2

(68)

Max–Flow–Min–Cut: Lemma

Fall 2: s6∈S.Dann ist aberS^→ein Schnitt, und nach Konstruktion vonSgilt für jede Kantee∈S^→:f(e) =c(e), und es gilt für jede Kantee∈S^←:f(e) = 0. Daher ist

val (f) = ^X

e∈S^→

f(e)− ^X

e∈S^←

f(e) = ^X

e∈S^→

c(e) =c(S^→).

Damit ist die obige Behauptung (und unser Lemma) gezeigt.

(69)

Beispiel (

aus Skriptum

)

Die folgende Graphik zeigt die Situation, die sich nach der Erhöhung des Flusses aus der vorigen Graphik ergibt: Die MengeS(wieder grau unterlegt) enthält nun die Senkesnicht, und die beiden ausS

herausführenden Kanten (die strichlierten roten Kanten links oben und links unten) bilden einen Schnitt.

q s

2|7

1|2 0|2

2|3 0|1

0|7 2|2

3|3

0|4

2|2 1|1

1|3 2|2 1|1

2|2 2|3

1|2

(70)

Max–Flow–Min–Cut–Theorem: Beweis

Beweis: Nach Lemma ist die Behauptung für ganzzahlige Kapazitätsfunktionen richtig. Dann gilt sie aber auch für Kapazitätsfunktionenc:E →Q⁺: Dazu multiplizieren wir alle Kapazitätenc(e) mit dem gemeinsamen Nennermund erhalten so ein Netzwerk mit ganzzahligen Kapazitäten, für dieses gilt der Satz, und durch “Division aller Kapazitäten und Flüsse durchm” sehen wir die Gültigkeit des Satzes im ursprünglichen NetzwerkN.

(71)

Max–Flow–Min–Cut–Theorem: Beweis

Für reellwertige Kapazitätsfunktionen können wir alle Kapazitätenc(e) beliebig genau von unten durch rationale Zahlen approximieren, und durch Anwendung unseres Satzes fürrational–wertige

Kapazitätsfunktionen finden wir Flüsse, die der Kapazität eines minimalen Schnittes beliebig nahe kommen: Die Aussage folgt dann

durch Übergang zum Grenzwert.

(72)

Max–Flow–Min–Cut: Bemerkung

Strenggenommen ist dieses Argument noch nicht ausreichend — wir müssen ja “konvergente Flüsse und Schnitte” haben, nicht nur konvergente Stärken und Kapazitäten.

Dazu müßten wir folgendermaßen vorgehen: Unsere Konstruktion liefert ja eine Folge von Flüssen/Schnitten, deren Stärken/Kapazitäten konvergieren. Nun betrachten wir eine Kantek₁: Die Fluß–Werte auf dieser Kante müssen nicht konvergieren, da sie aber beschränkt sind, muß es einen Häufungspunkt und somit eine konvergente Teilfolge von Flüssen/Schnitten geben.

Danach wendet man dasselbe Argument für diese Teilfolge und Kante k₂an, u.s.w: Da wir einenendlichenGraphen haben, bricht dieses Verfahren ab.