„Mathematik und Statistik für Biologie“

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Michael Kohler Dominique Küpper

WS 09/10 02.02.2010

11. Übungsblatt zur

„Mathematik und Statistik für Biologie“

Aufgabe 41

Ward und Quinn sammelten Eikapseln der Raubschneckenart “lepsiella vinosa“ in unterschiedlichen Gebieten einer felsigen Gezeitenküste. Untersucht wurden Unterschiede bei der Fruchtbarkeit der Schneckenart in den verschiedenen Gebieten. In einem bestimmten Gebiet wurden 37 Eikapseln gesammelt. Bei den in diesem Gebiet gesammelten Kapseln lag die durchschnittliche Anzahl der Eier pro Kapsel bei8.07bei einer empirischen Standardabweichung von2.03. Wir nehmen an, dass die ermittelten Werte Realisierungen von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen X1, . . . , X37sind. Außerdem können wir auf Grund weiterer Untersuchungen davon ausgehen, dass die empirische Standardabweichung mit der wirklichen Standardabweichung übereinstimmt.

Wir möchten nun ein zweiseitiges KonfidenzintervallK_n(x₁, . . . , x_n) zum Niveauα= 0.95 für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X₁ bestimmen. D.h. es soll gelten:

P[EX₁ ∈Kn(x₁, . . . , xn)] ≥ α= 0.95.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe von bekannten Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz, dass Pn

i=1X_i−E(Pn i=1X_i) pV(Pn

i=1Xi) =

√n pV(X₁)

1 n

Xn

i=1X_i−EX₁

.

(b) Zeigen Sie nun, dass (für u >0) aus

√n

√V(X₁) 1 n

Pn

i=1Xi−EX₁

≤u folgt, dass

EX₁ ∈

"

1 n

Xn

i=1X_i−

pV(X₁)

√n ·u , 1 n

Xn

i=1X_i+

pV(X₁)

√n ·u

# .

(c) Benutzen Sie nun denzentralen Grenzwertsatz und dass für eine standardnormalverteilte (d.h.

N(0,1)-verteilte) Zufallsvariable Z

P(|Z| ≤u0.025) ≥ 0.95 mit u0.025≈1.96 ist, um das gesuchte Konfidenzintervall zu bestimmen.

Lösung:

(a) Nach der Vorlesung istE(P_n

i=1X_i) =P_n

i=1EX_i =n·EX₁undV(P_n

i=1X_i) =P_n

i=1V(X_i) = n·V(X1), fallsX₁, . . . , X_n unabhängig und identisch verteilt sind. Damit ergibt sich:

Pn

i=1Xi−E(Pn i=1Xi) pV(Pn

i=1X_i) =

Pn

i=1Xi−n·EX₁

pn·V(X₁) = n _n¹Pn

i=1Xi−EX₁

√np V(X₁)

=

√n _n¹Pn

i=1Xi−EX₁ pV(X₁) =

√n pV(X₁)

1 n

Pn

i=1Xi−EX₁ .

11. Übung Mathematik und Statistik für Biologie

(b) Auflösen des Betrages ergibt:

√n pV(X₁)

1 n

Xn

i=1Xi−EX₁

≤u

⇔

√n pV(X₁)

1 n

Xn

i=1Xi−EX₁

≤u ∧ −

√n pV(X₁)

1 n

Xn

i=1Xi−EX₁

≤u

⇔ 1 n

Xn

i=1Xi−EX₁ ≤

pV(X₁)

√n ·u ∧ 1 n

Xn

i=1Xi−EX₁≥ −

pV(X₁)

√n ·u

⇔ 1 n

Xn

i=1Xi−

pV(X₁)

√n ·u≤EX₁ ∧ 1 n

Xn

i=1Xi+

pV(X₁)

√n ·u≥EX₁

Was aber natürlich gleichbedeutend ist zu:

EX₁ ∈

"

1 n

Xn

i=1Xi−

pV(X₁)

√n ·u , 1 n

Xn

i=1Xi+

pV(X₁)

√n ·u

# .

(c) Nach dem zentralen Grenzwertsatz und Teil (a) ist Z := √^√n

V(X₁) 1 n

Pn

i=1Xi−EX₁ eine annähernd N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Damit gilt mit Teil (b):

P(|Z| ≤u_0.025) =P

EX₁∈

1 n

n

P

i=1

X_i−

√V(X₁)

√n ·u_0.025 , _n¹

n

P

i=1

X_i+

√V(X₁)

√n ·u_0.025

≥ 0.95

Also ist das gesuchte Konfidenzintervall gegeben durch:

8.07− 2.03

√37 ·1.96 , 8.07 + 2.03

√37 ·1.96

≈[7.4159 , 8.7241].

Aufgabe 42

Gegeben seien auf dem Intervall[a,3a]unabhängig identisch gleichverteilte ZufallsvariablenX₁, . . . , X_n, n∈Nund a∈R. Wir möchten nun den Parameter

a= 1 2EX₁

mit Hilfe von Realisierungen von X₁, . . . , X_n schätzen. Geben Sie eine geeignete Schätzung dafür an und zeigen Sie, dass die Schätzung erwartungstreu und konsistent ist.

Hinweis: Modifizieren Sie den Schätzer aus der Vorlesung.

Lösung: Es ist bekannt, dass eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte Zufallsvariablen den Erwartungswert ^a+b₂ haben, wobei der Schätzer für den Erwartungswert aus der Vorlesung bekannt ist. Damit ist der gesuchte Schätzer

T(x₁, . . . , xn) =1

2·x₁+. . .+xn

n mit

E(T(X1, . . . , Xn)) =E 1

2n Xn

i=1Xi

= 1 2n

n

X

i=1

E(Xi) = 1

2E(X1) =a

erwartungstreu. Er ist auch konsistent, weil 2·T(X₁, . . . , X_n) nach Vorlesung ein konsistenter Schätzer ist.

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11. Übung Mathematik und Statistik für Biologie

Aufgabe 43

Im Rahmen einer Studie möchte Biologie B. untersuchen, wie weit ein bestimmtes Merkmal bei Honigbienen verbreitet ist. Dazu betrachtet er zufällig ausgewählte Bienen mehrerer Bienenstöcke.

B. überlegt sich folgende Modellannahmen: Jede Biene hat das untersuchte Merkmal mit der selben Wahrscheinlichkeit p unabhängig von allen anderen Tieren. Die Zufallsvariable Xi verwendet er zur mathematischen Modellierung deri-ten Beobachtung.X_i erhält den Wert1, falls diei-te Biene das Merkmal aufweist und 0 sonst. Die Gesamtanzahl aller betrachteten Bienen sein.

Geben Sie einen erwartungstreuen und konsistenten Schätzer für den Parameterp an und begrün- den Sie, dass der von ihnen angegebene Schätzer diese Eigenschaften hat.

Lösung: X1, . . . , Xn sind jeweils binomialverteilt mit Parametern 1 und p. Außerdem sind sie wegen der gemachten Modellannahmen unabhängig. Für die Binomialverteilung mit Parametern 1 und pgilt

p=EX.

Nach der Vorlesung ist

T(x₁, . . . , xn) = x₁+· · ·+xn

n

ein konsistenter und erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert, deshalb haben wir mit T(X₁, . . . , Xn)einen erwartungstreuen und konsistenten Schätzer fürp.

Aufgabe 44

Wir wollen bei einem Multiple-Choice-Test überprüfen, ob ein Teilnehmer die Antworten durch einfaches Raten ermittelt hat. Dazu beschreiben wir die (richtige) Beantwortung jeder Frage mit einer b(1, p)-verteilten Zufallsvariable und nehmen an, dass die Fragen unabhängig von einander beantwortet wurden. Bei jeder der n= 8 Aufgaben war genau eine der 4angegebenen Antworten richtig. Um nun zwischen den beiden Hypothesen

H₀ : p= 0.25 H₁ : p >0.25 zu entscheiden, soll der Test

ϕ(x₁, . . . , xn) =

(1 falls Pn

i=1x_i≥c 0 falls Pn

i=1xi< c

verwendet werden. Bestimmen Sie den kleinsten Parameter c∈ {1, . . . , n} so, dass dies zu einem Test zum Niveau α= 0.05 wird.

Lösung: Für unabhängige b(1, p)-verteilte Zufallsvariablen X₁, . . . , X_n ist Pn

i=1X_i eine b(n, p)- verteilte Zufallsvariable. Daher ist die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art dieses Tests gegeben durch:

Pp=0.25[ϕ(X₁, . . . , X_n) = 1] =Pp=0.25[

n

X

i=1

X_i ≥c]

=Pp=0.25[

n

X

i=1

Xi=n] +Pp=0.25[

n

X

i=1

Xi=n−1] +. . .+Pp=0.25[

n

X

i=1

Xi =c]

= n

n

·pⁿ·(1−p)⁰+ n

n−1

·p⁽ⁿ⁻¹⁾·(1−p)¹+. . .+ n

c

·p^(n−c)·(1−p)^c

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11. Übung Mathematik und Statistik für Biologie

Für n= 8 und p= 0.25 erhalten wir:

8 8

·0.25⁸·0.75⁰ = 0.000015

8 7

·0.25⁷·0.75¹ = 0.000366 8

6

·0.25⁶·0.75² = 0.003845

8 5

·0.25⁵·0.75³ = 0.023071 8

4

·0.25⁴·0.75⁴ = 0.086517

Also ist c= 5 der kleinste Parameter, so dass Pp=0.25[ϕ(X₁, . . . , X_n) = 1]≤α= 0.05.

4