p (x) = −37,5⋅x + 3750

Lösungsansatz Aufgabe 2 Vorklausur 2020 2.1

Kostenfunktion:

d= 216 K(5) = 421 K(10) = 976 kv(4) = 40 kv`(4) = 0 (BM)

125a + 25b + 5c +216 = 421

→ 25a + 5b + c = 41 (I) 16a + 4b + c = 40 (II) 8a + b = 0 (III)

Lösung durch Gaußsche Elimination, Kontrolle TR mit sys-solv

 a = 1, b = -8, c = 56

Daraus ergibt sich folgende Kostenfunktion:

→ K(x) = x³ – 8x² + 56x + 216 (7P.)

2.2

E(x) = G(x)+K(x)

E(x) = −37,5⋅x²+3750⋅x

p(x) = −37,5⋅x+3750 (4P.)

2.3

Gewinnmaximum: G‘(x) = 0 ; G''(x) < 0 G‘(x) = -1,5x² + 45 x + 1250 = 0

x1 = - 17,53 (außerhalb des Definitionsbereiches) x2 = 47,53

G''(x)= -3x + 45 G''(47,53) < 0 → HP

G(47,53) = 26.554,74 → Er kann mit maximal 26.554,74 GE rechnen. Das Ziel wird

übertroffen. (7P.)

2.4

Kurzfristiger Mindestpreis (Betriebsminimum) kv(x) = 0,5 x² – 60 x + 2500

1. Bed.: kv’(x) = 0 kv‘(x) = x – 60 = 0

<=> x=60

2. Bed.: kv‘‘(x) = 1 >0 Minimum kv(60) = 700 Bmin (60/700)

Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 700 GE. (4P.) 2.5

Grenzkostenminimum

GK(x)=1,5x²−120x+2500 1. Bed.: GK’(x) = 0

GK ´(x)=3x−120=0 → x = 40 2. Bed.: GK´´(x) > 0 für alle x>0 -> Min.

GK ´ ´(40)=3>0 → TP

Einsetzen: GK(40)=1,5⋅40²−120⋅40+2500=100

GK min (40/100) (4P.)

2.6

Langfristiger Mindestpreis (Betriebsoptimum) k(x) = 0,5 x² – 60 x + 2500 + 30.000 *x ^-1

1. Bed.: k’(x) = 0

k‘(x) = x – 60 – 30.000 *x ^-2 = 0

<=> x= 66,74

2. Bed.: k‘‘(x) = 1 + 60.000 *x ^-3 > 0 für alle x>0 -> Min.

k(66,74) = 1172,22 Bopt. (66,74 /1172,22)

Die langfristige Preisuntergrenze beträgt ca. 1172 GE. (5P.) 2.7

P(47,53) = 1967,63 GE → Gewinnoptimaler Preis liegt bei ca. 1968 GE. (3P.)