Die Riemannsche Zeta-Funktion

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

WS 2008/09 12. Dez. 2008

Die Riemannsche Zeta-Funktion

Ubungsblatt 5¨

Aufgabe 17

Man beweise Γ⁰(1) =−γ.

Dabei istγ die Euler-Mascheronische Konstante.

Aufgabe 18

a) Es sei F(s) := cos(^πs₂)ζ(s). Man zeige, dass F in einer Umgebung des Punktes s = 1 holomorph ist und dass gilt

F(1) =−π

2 und F⁰(1) =−πγ 2 .

b) Man zeige mit Hilfe der Funktionalgleichungζ(1−s) = 2(2π)^−sΓ(s) cos(^πs₂)ζ(s)

ζ(0) =−1

2 und ζ⁰(0) =−1

2log 2π.

Aufgabe 19

Man zeige

ζ(σ)<0 f¨ur 0< σ <1.

Aufgabe 20

a) Seit >0 eine reelle Konstante. Man berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f :R→R, x7→f(x) := e^−2πt|x|.

b) Man zeige, dass die Poissonsche Summationsformel auch f¨urf gilt. Welche Formel erh¨alt man damit?

Aufgabe 5b)^∗ (Erinnerung)

X

p

1

p^1+it konvergiert f¨ur allet ∈R^∗.

Abgabetermin:Mittwoch, 7. Januar 2009, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock