Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2008/09 14. Nov. 2008
Die Riemannsche Zeta-Funktion
Ubungsblatt 3¨
Aufgabe 9
a) Man zeige f¨ur die Teileranzahl-Funktionτ X
n6x
τ(n) = X
n6x
jx n k
.
b) Mit der Euler-Mascheronischen Konstantenγ gilt X
n6x
x n −jx
n k
= (1−γ)x+O(√ x).
Aufgabe 10
a) Man beweise: X
n6x
µ(n)jx n k
= 1 f¨ur allex>1.
b) F¨ur die Funktion m(x) :=X
n6x
µ(n) n gilt
|m(x)|61 f¨ur allex>1.
Aufgabe 11
F¨ur die Tschebyscheffschen Funktionen ϑ und ψ beweise man ϑ(x) =X
k>1
µ(k)ψ(x1/k).
Aufgabe 12 Sei f : [1,+∞[→R eine monoton fallende Funktion mit lim
x→∞f(x) = 0 und F(x) :=
Z x
1
f(u)du
a) Man zeige X
n6x
f(n) = F(x) +O(1).
b) Genauer gilt: Es gibt eine Konstante β ∈R, so dass X
n6x
f(n) = F(x) +β+O(f(x)).
Abgabetermin:Mittwoch, 26. November 2008, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock
