4t Bluff joy fte

Volltext

(1)TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. FAKULTÄT FÜR INFORMATIK. Lehrstuhl für Physik-basierte Simulation Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr.-Ing. Nils Thürey, G. Kohl, L. Prantl, E. Franz Übung: KW 25 (2021–06–21 2021–06–25) Abgabe H: 2021–07–04 (bis 23:59 Uhr). 11. inhere. Wurzel O. Bluff. Knotek. y. Tiefe. SS 2021 Übungsblatt 9 2021–06–16 Wurzel o Tiefeco. joy. fte. Der Baum. links hat. 0 Blatter Tiefe 2 Tiefe. 3 2 Wiederholung einiger Definitionen: Ein Knoten eines gewurzelten Baumes ist ein Blatt, wenn er keine Kinder hat. Andernfalls ist er ein innerer Knoten.. (In der Literatur wird ein gewurzelter Baum, der nur aus der Wurzel besteht, nicht einheitlich gehandhabt - in einigen Fällen ist dieser einzelne Knoten per Definition ein innerer Knoten, in anderen Fällen ein Blatt, und in wieder anderer Literatur ein Spezialfall, der weder innerer Knoten, noch Blatt ist. Bei unserer Definition ist ein solcher Knoten ein Blatt.) 1 1 Die Tiefe eines Knotens ist die Länge des (eindeutigen) Pfades von dem Knoten zur Wurzel, gemessen in der Zahl der Kanten des Pfades. D.h. insbesondere, dass die Wurzel Tiefe 0 hat. (Dies ist, wie bereits in einem Beitrag auf Zulip angemerkt worden ist, nicht einheitlich in der Literatur: in einigen Fällen wird in der Zahl der Knoten des Pfades gemessen, was dann gerade 1 mehr ist als die Zahl der Kanten). Die Baumtiefe eines gewurzelten Baumes ist das Maximum der Tiefen aller enthaltenen Knoten. Das i-te Level eines gewurzelten Baumes besteht aus allen Knoten, die Tiefe i besitzen. Ein gewurzelter Baum ist ein Binärbaum, wenn jeder innere Knoten maximal zwei Kinder hat. Wenn jeder innere Knoten genau zwei Kinder hat, ist er ein echter Binärbaum. Ein Binärbaum ist vollständig, wenn er ein echter Binärbaum ist und alle Blätter dieselbe Tiefe haben. Sei t die Tiefe eines Binärbaumes T . Der Baum T ist ein fast vollständiger Binärbaum, wenn T entweder nur aus der Wurzel besteht oder wenn die ersten t 1 Level gemeinsam einen vollständigen Binärbaum bilden, und die Knoten von T so angeordnet werden können, dass es auf dem Level t einen Knoten e mit dem Vaterknoten v gibt, sodass gilt: Alle Knoten auf dem Level t Alle Knoten auf dem Level t. 1, die links“ von v stehen, haben zwei Kinder. ” 1, die rechts“ von v stehen, haben keine Kinder. ”. Die folgende Abbildung zeigt einen fast vollständigen Binärbaum mit Baumtiefe 4.. 2. 3. t I. v. 4. t. e. Tiefe. z 2 2 2 Kinder Kinder Kinder Kinder. Keine Kinder.

(2) 2 Aufgabe 9.1 (P) Vollständig In der Vorlesung wurde die folgende Aussage verwendet: Jeder fast vollständige Binärbaum mit n 1 Knoten und Baumtiefe t 0 erfüllt 2t  n  2t+1 1. Beweisen Sie diese Aussage. Aufgabe 9.2 (P) Binärbaum mit b-Blättern Zeigen Sie, dass es für jedes b 1 einen fast vollständigen echten Binärbaum mit b Blättern gibt. Aufgabe 9.3 (P) Heapsort Prioritätswarteschlangen, wie beispielsweise durch Heaps implementiert, lassen sich auch problemlos zum Sortieren von Sequenzen verwenden. Insbesondere haben wir in der Vorlesung gelernt, dass sich binäre Heaps ohne zusätzlichen Speicherbedarf gut auf einem Feld umsetzen lassen. Dabei muss allerdings beachtet werden, dass die Funktion deleteMin() das jeweils kleinste Element zuerst mit dem letzten vertauscht, und dann aus dem Heap entfernt (bevor die Heap-Invariante per siftDown wiederhergestellt wird). Das sorgt dafür, dass man eine Sequenz, die in einem Feld gespeichert ist, mit einem normalen min-Heap absteigend sortiert, statt wie sonst aufsteigend. Gegeben ist die folgende Sequenz, die bereits so in einem Feld im Speicher vorliegt:. [94, 34, 55, 14, 37, 74] Sie können davon ausgehen, dass jede Zahl immer genau ein Speicherfeld belegt. Sortieren Sie das Feld nun wie gewohnt aufsteigend (also mit dem kleinsten Element an erster Stelle), indem Sie Heapsort auf Basis eines Max-Heaps ausführen. Ein Max-Heap verhält sich genauso wie ein Min-Heap, mit dem Unterschied, dass die Priorität eines Knotens immer größer oder gleich seiner Kindknoten sein muss. a) Führen Sie zunächst die Operation build auf dem Feld aus, und stellen Sie die MaxHeap-Invariante sicher, indem Sie passende siftDown-Operationen ausführen. b) Führen Sie nun so lange deleteMax aus, bis kein Element mehr im Heap ist. Vertauschen Sie dazu wie gelernt das erste (hier: maximale!) Element mit dem letzten im Heap. Anstatt nun das letzte Element zu löschen, ignorieren Sie für alle weiteren Operationen den Speicher von diesem und allen nachfolgenden Elementen. Mit dieser Einschränkung können Sie nun wie gewohnt siftDown auf dem obersten Element ausführen, bis die Heap-Invariante wiederhergestellt wurde.. Aufgabe 9.4 (P) Binäre Heaps Führen Sie auf einem anfangs leeren Binären Heap folgende Operationen aus und stellen Sie die Zwischenergebnisse graphisch dar: build({15, 20, 9, 1, 11, 8, 4, 13, 17}), insert(7), delMin(), replaceKey(20, 3),.

(3) 3 delete(8).. Aufgabe 9.5 (H) AVL-Baum - Diese Aufgabe zählt für den Notenbonus. Sie finden die Aufgabe und weitere wichtige Informationen unter https://artemis.ase. in.tum.de/#/courses/119/exercises/4269. Warten Sie mit Verständnisfragen bitte, bis das Thema in der Vorlesung bzw. in der Übung besprochen wurde. Hier werden sich die meisten Fragen von alleine klären..

(4) 97. Der schwarze Baum ist vollstandig und dann't auch echt O. EO O. try 2. O. o. o. o. o. be. a Knoten. in Tiefe t. Known bis zu. 2. Zi. Tiefe t. wenn t die Baumtiefe Ei. 22. to. c. ist. dann t. und. n. unbendSchranke fiir. Obere. n. E. I I. i 0. Also y. zt. e. ttt. n. E. Z. n. e. ztt 1. ist. 1 y. n. 202. en.

(5) Sei b. 9.2. 2T. t. eine Zweirpotent. logb. Konstruiere einen vollsteindigen Bineirbaum Mit Tiefe t. Fertig. Andernfalls Setze t LlogBJ. Konstruiere einen vollsteindigen Bineirbaum Mit Tiefe t Fair jedes zuscitzliche b 2T Blatt fiige ein neues Knofen. paar hinzu Beispiel. b. it. t. 12. LlogBJ. 3. b 2T. 12 8. 4. O. 0. Il 0. 5. 1. a 6. on Il. Of Og 2. A. Il 0 O 9. or. 3. 10. Il O O 77. 4. 12. s. a.

(6) si. 94 34 55 74 37 74. 9.3 a. wn. n. G. LET. 3. build r. links much. Zahlen von. rechts. in den Heap einfiigen. 94 55. 34. 11 14 37 2. Fiihre fair die ersten aus. und. von. 2war. sift Down 55. 1 74. LET. sift Down Operationeer rechts nach links. siftDown134. Elemente. sift Down 94. 94 55. 34 14. It. 74. 37. siftDown 55 94 34. 11 14 37. A. 74. 1 55.

(7) 94 34. 14. 74. r. Nu. l. 55. 37 34. 34g. siftDown 4 94. 74cg. 37cg. 14. a. l. 55. 34. siftDown 94. Nicht. zu. tan 94. 37. 74. 11 14. 1 55. 34. Die build Phase ist abgeschlossen b. 6x deleteMax. 94. 1. 37. 74. 11 14. 1 34. 55. geloscht.

(8) deleteMax 94. 11. 37. 14. Il. 55 74. I. 34. Xv. 74. 37. NE. 55. 14. Letzte. 74. 37. l. 14. 55. 1. 11. 94. 34. 11. 94. 34. Element. deleteMax 74. 37. 14. II. 11. 55. 37. 94. 14. Il. 1. sitDOWN. 94. Il. 37. 14. a. 74 34 194. 74. 55. 55 34 194. 74. 37734. 55. 14. Xu. I. 74. deleteMax. 37. 34 r. 15. I. 34. 37. 55. 55. 37. 373,4. 434. 74. 94. Il. l. sitDOWN 55. 141 Il. 74. 134. l. 94. delete Max 37. 14. 55. Il. 74. 11. 34 34. I. 94. t. 11. 7 55. 14 34. 37. 74. 94. N. l. D. Es cinder sich nicht.

(9) deleteMaxC. f3. g7 4. deleteMax 14. 55. 14. 341 137 l Il 74. 94. 55. 341 137 l Il 74. 94. Es cinder sich nicht.

(10) 9 4. Min Heap. build. 15. I. n. 20. an8. 1. 73. IL. 7. Z. siftDown. siftDown. t. 4 9. M. 17. 171. 9h 4. CS eg X X. 428. 71. 20. 15. Nichts ZU teen da 13 7. and. 17 7. siftDown 9 20. fan. 4. 120 12208 9 x Xx. 13 17 20 CIO. 11. 1347. X. x. siftDown 20. 15. 7 73. I. Be. 15. E. 20 17. siftDown 15 17. 73. 11. 20 17. 4. 77 8. NE. build fertig. 1. l. 9. y. 15 8. 4. A. 9. 1 11. 4 73. g. 4.

(11) insert ft 1. y. 73. 1. 11. 11. 15 8. A. I. 11. sift. c. 7 a. 7. 20 17. vert Vert. 745 7cm. 9. 7. 73. stop. 11. 11. 11. 4. M 8. 1. 9. 1. 20 17 15. deleteMin 1. 75 4. 7 118. 73. 20. 7 9. 5. 15. 4 7. 9. 8 S. 17 8. 73. letzte 47 Is Element. 4. 11. 1. 20 17. 45. as. x. y. M 15. 73. Il. y. 18. 7. siftDowull. 20 17. decreasekey 20,3 4 7. an. 8. 2. 9. 1115. 73. 3 14 vs. 20 17. 8. 7. 3 73. gA 3. 3. 1115. 4. siftUp. a. 9. 7. 17. 13. A. 8. an. 9. 1915. 17. delete 8 3. 4. 7 13. 11. 3. 8. ya 11 15. 17. 4 9. letztes Element. 7. 13. A. 11. an. 3. 1915. 8. In. 17 9. I. gaps. I. 13. 7. a 17. 1915. g.

(12)