Prof.Dr.TilmanPfau,UniversitätStuttgart
Fortgeschrittene Atomphysik
Stuttgart,Wintersemester2013/2014 Revision:16.September2014 FürHinweiseaufDruckfehlerundKommentarejederArtbinichdankbar.1 1HenriMenke,henrimenke@gmail.comLiteratur
Literatur
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131 ÜbertragunginLATEXdurchHenriMenke,MichaelSchmid,MarcelKlettundJanSchnabel.
DiesesWerkistuntereinerCreativeCommonsLizenzvomTypNamensnennung-Nicht-kommerziell-WeitergabeuntergleichenBedingungen3.0Deutschlandzugänglich.UmeineKopiedieserLizenzeinzusehen,konsultierenSiehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/oderwendenSiesichbrieflichanCreativeCommons,444CastroStreet,Suite900,MountainView,California,94041,USA.
Index imVakuum,8 Modendichte,14 Orthohelium,30 Orthonormalitätsrelation Kugelflächenfunktionen,24 Parahelium,30 Paritätsoperator,7,24 Pauli-Spin-Matrizen,2 PenningFalle,33 Phasengeschwindigkeit,80 Quantendruck,101 RabiFrequenz,44 RotationgWaveApproximation,45 Rydberg-Atom,35 Sättigungsparameter,53 SisyphosKühlmechanismus,65 Slaterdeterminante,30 Spindichte,18 Spinwellenfunktion Singulett,30 Triplett,30 STIRAP,74 Streulänge,84,87 Streuquerschnitt,86 Subrecoilcooling,67 Suszeptibilität,77 Thomas-FermiNäherung,96,97 Thomas-FermiRadius,96 Varianz,12 Wirkungsquerschnitt,85 Zeemaneffekt,20 Zyklotronfrequenz,34 130 Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1Atomstruktur1 1.1Dirac-Gleichung,ElektronenspinundFeinstruktur1 1.1.1DerSpindesElektron4 1.1.2DasmagnetischeMomentdesElektron5 1.1.3DasWasserstoffatominderDirac-Theorie6 1.2Feldquantisierung8 1.2.1Quantenfluktuationen12 1.2.2MultimodenFelderundZustandsdichte12 1.3Lambshift14 1.4HyperfeinstrukturundZeemaneffektimWasserstoffatom17 1.5ÜbergängeundAuswahlregeln22 1.6DasHeliumatom25 1.6.1AngeregteZustande28 1.6.2ElektronenspinundPauli-Prinzip30 1.7AlkaliAtome31 1.8Grund-undangeregteZuständevonMehrelektronenatomen32 1.9Geonium33 1.10Rydbergatome35 1.10.1GrundlegendeEigenschaftenvonRydbergatomen35 1.10.2RydbergatomeimelektrischenFeld37 1.10.3Sonstiges38 2Atom-LichtWechselwirkung39 2.1ZweiNiveauSystem:RabiOszillation39 2.1.1Jaynes-Cummings-Modell39 2.1.2Zwei-Niveau-Atome46 2.1.3SpontaneEmissionundoptischeBlochgleichungen51 2.2LichtkräfteundLaserkühlung54 2.2.1DipolkraftundspontaneLichtkraft55 2.2.2Laserkühlung57 2.2.3DieDopplerkühlung60 2.2.4MagnetooptischeFalle63 2.2.5DieSub-Dopplerkühlung63 2.2.6Subrecoilcooling67 2.3Drei-Niveau-Atome70 2.3.1DasklassischeModell70 2.4ElektromagnetischinduzierteTransparenz(EIT)optischerMedien75 2.5Pulspropagation79 3Atom-AtomWechselwirkung83 3.1Streutheorie83 iiiIndex
Index
Abschirmungelektrostatisch,27Anzahloperator,11,42Austauschoperator,27AuswahlregelnDipolübergänge,23Autler-TownesAufspaltung,73
BeerscheAbsorptionsgesetz,75Blochgleichungen,493-Niveau-Atom,77Blochgleichungenoptische,53Blochsphäre,49BogoliubovGleichungen,102Bogoliubov-Dispersionsrelation,103Bogoliubov-Spektrum,106BoseEinsteinKondensation,93Brechungsindex,80brightstate,68
ChemischePotential,96Clebsch-Gordon-Koeffizienten,20
darkstate,68deBroglieWellenlänge,83Dichtematrix,48Dipoldichtemagnetische,18Dipolkraft,56Dipolmatrixelement,23Dipolwechselwirkung,22Dirac-Gleichungstationär,3Dirac-See,3Dirac-Spinoren,3Dopplerkühlung,60,111Dopplertemperatur,63,115Drei-Niveau-Atom,70
Ehrenfest-Theorem,54Einstein-Relation,115Energie-ImpulsBeziehungrelativistisch,1 EulergleichungeinerQuantenflüssigkeit,101
Feinstrukturkonstante,8Feshbachresonanzen,90FockZustand,41Fockzustände,11
Gesamtdrehimpuls,5Gesamtdrehimpulsfunktionen,5Gross-PitaevskiiEnergiefunktional,98Gross-PitaevskiiGleichung,97Gruppengschwindigkeit,80Gruppenindex,80
HamiltonoperatorJaynes-Cummings,45single-modeFeld,42ZweiNiveauSystem,40Pauli,6relativistisch,1HealingLänge,96Healinglänge,99Heliumatom,25HundschenRegeln,32Hyperfeinstruktur,17
Jaynes-Cummings-Modell,39
Kastenpotential,88Kontinuitätsgleichung,100
Lambshift,14Landé-Faktor,6Landauerkriterium,103Landaukriterium,104Laserkühlung,58Leiteroperatoren,10LorentzModell,46
MagnetischesMomentElektron,6Magnetronfrequenz,34Maxwellgleichungen
129 3.2Streuproblem843.2.1StreuungamKastenpotential883.2.2Temperaturabhängigkeitders-Wellenstreuung893.3Feshbachresonanzen90
4UltrakalteAtome934.1BoseEinsteinKondensation934.1.1EffektderAtom-AtomWechselwirkung934.1.2GrundzustandeinesBECineinerharmonischenFalle954.2HydrodynamischeGleichungen1004.2.1AnregungálaBogoliubov1014.2.2Landauerkriterium103
ABeweisederKommutatorrelationen109
BTheoretischeBehandlungderLaserkühlung111
CQuantenmechanischeStreuung117
Index129
C QuantenmechanischeStreuung FürdieS-WellenstreuungsetzenwirdenIndexderNeumann-bzw.Besselfunktionenl=0, wasunsaufeinenAusdruckderPhasenverschiebungliefert n0(ka) j0(ka)=cot(δ0) sin(ka) ka
−cos
(ka) ka
=cot(δ0) −cot(ka)=cot(−ka)=cot(δ0) −ka=δ0
(C.76) FüreinAbstoßendesPotentialistdiePhasenverschiebungalsonegativ.Betrachtenwirnicht denFallderS-Wellenstreuung,sonderentwickelnwir(C.74)nachkleinenkergibtdieseinen AusdruckderPhasenverschiebungfolgenderArt tan(δl)=(2l+1) [(2l+1)!]2(ka)2l+1l−aαl l+1+aαl(C.77) WirlegitimierenjetztdieAussage,dassmandurchdieS-WellenstreuungfürkleineEnergie schoneineHauptaussagetätigenkann,oderandersgesprochen,dassfürkleineEnergiendie Zentrifugalbarrieresogroßwird,dassdieWellenfunktionfürl>0dasStreuzentrumnicht spührt.Dafürentwickelnwir(C.77)nocheinmalfürkleinekunderhaltendieInformation δl∝k2l+1(C.78) FürkleineEnergientragenwieschonerähntnurdieS-WellenzurStreuungbei.Dertotale Wirkungsquerschnittlautetdabei σ=4π k2sin(δ0)2=4πa2(C.79) DafürwurdeimletztenSchrittdasErgebnisaus(C.76)unddieTatsachekleinerkverwen- det. 1282014-07-02
Atomstruktur
1
1 Atomstruktur 1.1Dirac-Gleichung,ElektronenspinundFeinstruktur DieSchrödingergleichungistnichtrelativistisch,d.h.derSpinmussnachträglicheingeführt werden. ˆDiracEinführungeinesrelativistischenHamiltonoperatorsHindieSchrödingergleichung ˆi∂ψ=Hψt ˆwobeiHnureineeinfacheOrtsableitungenthält,dainderRelativitätstheorieOrtundZeit ˆingleicherBeziehungzueinanderstehen,mussderImpulspinHlinearsein.Esbietetsich folgenderAnsatzan: 2ˆH=cα·ˆp+βmc(1.1)0 αundβsinddimensionslosundsindzubestimmen.Ï DierelativistischeEnergie-ImpulsBeziehunglautet: 2222 04E=pc+mc(1.2) Bemerkung:ImGrenzfallgilt: q 2 0222 04224E=pc+mcmitpcmc s 22pc2=mc1+02 04mc ! 21p2≈mc1+02 022mc 2p2=mc+Ç0 2m0 ÄhnlichderEnergie-ImpulsBeziehungwirdderAnsatzdesrelativistischenHamiltonopera- torsquadriert,umanschließendeinenKoeffizientenvergleichmachenzukönnen: 222322 04ˆH=c(α·ˆp)+mc(βα·ˆp+α·ˆpβ)+βmc0 DerKoeffizientenvergleichmitGleichung(1.2)liefert: 2222pc=c(α·ˆp)(1.3) 30=mc(βα·ˆp+α·ˆpβ)(1.4)0 2 0422 04mc=βmc(1.5) 2013-10-161
QuantenmechanischeStreuung C
OptischesTheorem
AusderGleichungderStreuamplitude(C.54)bildenwirdenRealteilfürϑ=0underhaltenfürdentotalenWirkungsquerschnitt
σ= 4πk Im(fk(0))(C.69)
Streuphasen
ImfolgendenbetrachtenwireinkurzreichweitigesPotential,welchesfürr>aNullist.AußerhalbdiesesBereicheslautetdieLösungderRadialgleichung
R>l(r)= 12 hh∗l(kr)+e2iδlhl(kr) i(C.70) Dabeiisthl(kr)dieersteHankelfunktion,alsoh (1)l(kr)undR>l(r)beschreibtdieFunktionmitdemRadiusr>a.ÜberdieinnereRadialfunktionR<llässtsichohneWissendesPotentialeskeineAussagemachen,jedochgeltendieAnschlussbedingungen
R >l(r)r=a=R <l(r)r=a(C.71) ddr R>l(r)r=a= ddr R<l(r)r=a(C.72) TeiltmandieseBedingungendurcheinanderundsetztvorraus,dasssowohldieAbleitung,alsauchdieWellenfunktionamPunktr=aendlichist,ergibtsich R<l(r)ddrR<l(r)
r=a = R>l(r)ddrR>l(r)
r=a =αl(C.73)
FürunsereWellenfunktionführtdiesnacheinigenUmformungenaufdenAusdruck
ddr hh ∗l(kr)+e 2iδlhl(kr) i· 1h∗l(kr)+e2iδlhl(kr) !
r=a =α 2 ddr jl(kr) −αljl(kr)
αlhl(kr)− ddr[hl(kr)]
r=a =e2iδ−1
ddr[nl(kr)]−αlnl(kr)
ddr jl(kr) −αljl(kr)
r=a =cot(δl) (C.74)
AlsAnwendungsbeispielbetrachtenwireineharteKugelmitRadiusa.DieWellenfunktionmussdannamPunktr=aaufNullabgefallenseinundGleichung(C.73)ergibtdementspre-chendαl=∞
limαl→∞ ddr[nl(kr)]−αlnl(kr)
ddr jl(kr) −αljl(kr)
r=a =cot(δl)
nl(ka)jl(ka) =cot(δl) (C.75)
2014-07-02127 Dirac-Gleichung,ElektronenspinundFeinstruktur
AusGleichung(1.5)folgt:
β≠0β2=1.
AusGleichung(1.4)folgt,dassαundβkeinec-Zahlensindsondern:
β·α+α·β=0daˆpβ=βˆp
AusGleichung(1.3)folgt:
ˆp2=(α·ˆp
) 2
=(α·ˆp
)(α·ˆp
)
= X
i αiˆpi X
k αkˆpk
ExplizitesausführenderSummenliefert:
ˆp2=α1α1ˆp1ˆp1+α1α2ˆp1ˆp2+α1α3ˆp1ˆp3+α2α1ˆp2ˆp1+α2α2ˆp
2ˆp
2+α2α3ˆp
2ˆp
3+α3α1ˆp
3ˆp
1+α3α2ˆp
3ˆp
2+α3α3ˆp
3ˆp
3
Daˆpiˆpk=ˆpkˆpigilt:
= 3X
k,i=1 12 (αkαi+αiαk)ˆpiˆpk
!= 3X
k,i=1 δik
iˆpˆp
k
=ˆp
2
AusGleichung(1.3)erhaltenwirsomit:
αiαk+αkαi=2δik(1.6) Insgesamtbedeutetdies,dassαiundβMatrizenseinmüssen,dereneinfachsteLösungen
α= αxαyαz ,β
sind4×4Matrizen.MitHilfederPauli-Spin-Matrizen
10 x=,ˆσ 01 !
i0 y=,ˆσ 0−i !
0−101 z=,1=,ˆσ 1010 !! kannfürαiundβfolgendeDarstellunggefundenwerden:
αx= 0ˆσx
x0ˆσ y,α= y0ˆσ !
y0ˆσ z,α= z0ˆσ !
z00−1ˆσ ,β=. 10 !!
22013-10-23
C QuantenmechanischeStreuung Aus(C.55)erhaltenwirdanneinenAusdruckdesdifferentiellenWirkungsquerschnitts dσ dΩ=dN(Ω) NeindΩ =|fko|2dΩk0 mR∞ −∞dt|ψ0,r|2 k0 mR∞ −∞dt|ψ0,quelle|2dΩ =|fk0|2
(C.62) Eswurdehierjedochangenommen,dasssichdieBreitedesWellenpaketessichnichtmit demAbstandvonderQuelleändert,andersgesprochen |ψ0,quelle|2 =|ψ0,r|2 DentotalenStreuquerschnitt,bzw.dergesamteWirkungsquerschnittenstehtdurchIntegra- tionüberdΩ σ=Z dΩ|fk0|2 (C.63) FürunsereStreuamplitude(C.54)lautetderdifferentielleWirkungsquerschnitt dσ dΩ=1 k2X l,l0(2l+1)(2l0+1)ei(δl−δl0)sin(δl)sin(δl0)Pl(cos(ϑ))Pl0(cos(ϑ))(C.64) EstretenalsoInterferenz-BeiträgederFormδl−δl0auf.ImtotalenStreuquerschnittver- schwindendiesejedoch. σ=Z dΩdσ dΩ=4π k2
∞X l=0(2l+1)sin(δl)2 (C.65) DiesFolgtunmittelbarausderEigenschaftderLegendre-Polynome Z dΩPl(cos(ϑ))Pl0(cos(ϑ))=4π 2l+1δl,l0.(C.66) FürdieS-Wellenstreuungmitl=0erhaltenwirdenmaximalenWirkunsquerschnitt σmax(l=0)=4π k2.(C.67) DerBeitragjedereinzelnenPartialwellein(C.65)istdabei≤
4π k(2l+1),wobeidasMaximum2 π (Gleicheitszeichen)dannerreichtwird,fallsδ=n+ist.ZudemtrageninderSummel2 (C.65)nurdiejenigenlbei,welchedieBedingungl≤kaerfüllen.WobeiadieReichweitedes 2l(l+1) Potentialswiderspiegelt.FürAbständer>awirktnurdasZentrifugalpotential.Im22mr√ l(l+1) klassischenSinnewürdederUmkehrradiusbeir=liegen.FürAbständediekleinerklk sindalsderklassischeUmkehrradiusr<rerfährtdieWellenfunktioneinenexponentiellenkl Abfall.Dasheißtistr>a,sospührtdieWellenfunktionkeinPotential.DieBedingungfürkl eineStreuungistalso q r≤al(l+1)≈l≤ka(C.68)kl 1262014-07-02
Atomstruktur
1 Konsequenz:DieWellenfunktionψhat4Komponenten,d.h. ψ1 ψ2 α= ψ3 ψ4
Ç Interpretation: WirbetrachtenstationäreLösungen,d.h.eswirdfolgenderAnsatzverwendete: ψ(r,t)=ψ(r,t=0)e−iEt undindieDirac-Gleichungeingesetzt.DiesführtzurstationärenDirac-Gleichung: cα·ˆp+βm0c2 ψ=Eψ(1.7) FürψverwendenwirhierbeidieDarstellung: ψ=ψA ψB! wobeiψA=ψ1 ψ2! ,ψB=ψ3 ψ4! DiesbezeichnetmanauchalsDirac-Spinoren.ψArepräsentierthierbeieinTeilchenund ψBdasdazugehörigeAntiteilchen.DieInterpretationDiracsfolgtedurchdieTheoriedes sog.Dirac-See.DabeiwirdbeieinerPaarbildung(z.B.ElektronundPositron)einTeilchen ausdemBereichnegativerEnergieangehoben,sodasseinLochimnegativenEnergiebereich entsteht.DiesesLochspiegeltdasAntiteilchenwider.MitHilfederSpinorenerhaltenwirdas DGL-System: (ˆσ·p)ψB=1 cE−moc2 ψA(1.8) (ˆσ·p)ψA=1 cE+moc2 ψB(1.9) ˆσentsprichthierbeieinenVektormitdenPauli-MatrizenalsKomponenten. Bemerkung:DurchdasSkalarprodukt(ˆσ·p)manifestiertsichbereitshierdieSpin-Bahn- Kopplung.Ç FüreinruhendesTeilchenpψA,B=0erhaltenwir: ñzweiLösungenzurpositivenEnergieE=mc2: ψA=1 0! ,0 1! undψB=0 2013-10-233
QuantenmechanischeStreuung C
unddamitaufdieendgültigeStreuamplitude
fk(ϑ)= 1k ∞X
l=0 (2l+1)eiδlsin(δl)Pl(cos(ϑ))(C.54)
DiePhysikalischeBedeutungvonδlistdabeischnellerklärt,siebeschreibtdiePhasenver-schiebungdergestreutenWellezurSituationeinerauslaufendenWelle,welchenichtgestreutwird.
DifferentiellerWirkunsquerschnitt
ImvorherigenAbschnitthabenwirmitvielenNäherungenunduntervielAufwandeinenAusdruckderStreuamplitudehergeleitet,dochwozubenötigenwirdieseüberhaupt?DazumachenwirunszunächstmitdemdifferentiellenWirkungsquerschnittvertraut.Diesergibtan,wievieleTeilchenineinWinkelelementdΩumΩgestreutwerden.Oderandersausgedrückt,wieistdasVerhältnisallereinfallendenTeilchenzudenausfallendenTeilchenineinembestimmtenRaumbereich,
dσdΩ = dN(Ω)NeindΩ .(C.55)
MitderallgemeinenDefinitionderStromdichte
j= 2mi (ψ∗∆ψ−ψ∆ψ∗)≈ k0m |ψ(r,t)|2(C.56)
LassensichdieeinfallendenundausfallenTeilchenwiefolgtausdrücken
Nein= ZdtjeindN(Ω)= Zdtjrr2dΩ(C.57)
MitderNäherungaus(C.56)erhaltenwirfürdieeinfallendenTeilchenzahl
Nein= k0m Z∞
−∞ dt|ψ(r,t)|2(C.58)
UmdieauslaufendeTeilchenzahlzubestimmenbetrachtenwirzuersteinmaldieNebenrech-nung
∂∂r ψ0= ∂∂r Zd3k(2π)3eik·k0rake−iEk(t−t0)/
=ik0ψ0 (C.59)
EswurdehierbeidieallgemeineStreuwellenfunktionaus(C.23)verwendetunddieEbenen-WellendurchdieEntwicklungaus(C.1)ersetzt.FürdieradialeStromdichtefolgtnun
jr= m Im f∗r ψ∗0 ∂∂r fr ψ0 = k0m |fko|2r2|ψ0|2(C.60)
unddamit
dN(Ω)= Z∞
−∞ dtjrr2dΩ=|fko|2dΩ k0m Z∞
−∞ dt|ψ0,r|2(C.61)
2014-07-02125 Dirac-Gleichung,ElektronenspinundFeinstruktur
ñzweiLösungenzurnegativenEnergieE=−mc2:
ψB= 10 !, 01 !undψA=0 DerSpinorψAentsprichtsomitTeilchenmitzwei»Arten«(Spineinstellungen).DerSpinorψBhingegenentsprichtAntiteilchenmitzwei»Arten«(Spineinstellungen).
1.1.1DerSpindesElektron
WirbetrachtenzunächstdenOperator:
ˆS= 2 σ00σ !.
ErerfülltdieKommutatorrelationfürDrehimpulse:hˆSi,ˆSj i=iεijkˆSk
WirktzumBeispielˆSzaufeinenEigenzustand,soerhaltenwirdessenSpin:
ˆSz 1000 =+ 2 =↑ˆSz 0100 =− 2 =↓ KommutatorrelationenEsgeltenfolgendeRelationen(BeweissieheAnhangA):hˆS,ˆHD i=−ic(α×p)(1.10)hˆL,ˆHD i=ic(α×p)(1.11)hˆL+ˆS,ˆHD i= hˆJ,ˆHD i=0(1.12)
BeweisEssollimfolgendenfüreineKomponentevonGleichung(1.10)derBeweisgeführtwerden,fürdieanderengiltanalogesVorgehen.
[Sx,HD]= "2 σx00σx !, ci α·∇+βmc2 #
= c2 0σxσ·p+σ·pσxσxσ·p+σ·pσx0 !
= c2 0σypz+σzpyσypz+σzpy0 !
=−ic(α×p)x
RestsieheÜbungsaufgaben.
42013-10-23
C QuantenmechanischeStreuung DieLösungistgegebendurcheineSummeausspährischenHankelfunktionenh(n) l,aufdie hiernichtweitereingegangenwird.DiewichtigeInformationistihrasymptotischesVerhalten fürgroßeAbständer.HierfürgeltendiefolgendenBeziehungen h(1) l(kr)∝−iei(kr−lπ krh(2) l(kr)∝ie−i(kr−lπ kr.(C.47) DieersteHankelfunktionentsprichteinereinlaufenden,diezweiteeinerauslaufenden Kugelwelle.DurchGleichsetzenvon(C.46)und(C.39)erhältmanAufschlussüberden KoeffizientenBl Bl=1 2(C.48) DernochzuBestimmendeKoeffizientSl(E)kannimRahmenderallgemeinenStreutheorie durchBestimmungderEigenwertederStreumatrixSbestimmtwerden.Wirkönnenihn jedochauchandersbestimmen.DazubetrachtenwirdieErhaltungdesWahrscheinlich- keitsstromes,dennklarist,dassdiePotentialstreuungelastischist,d.h.jedeseinfallende Teilchenmussauchwiederherauskommen.JedeeinzelnePartialwellemussalsodieEi- genschaftaufzeigen,dassseineradiale-Wahrscheinlichkeitsstromdichtejr=0seinmuss. Andersgesprochen,ineinerfiktivenKugelschalemitdemRadiusRmüssengenausovie- leTeilcheneinlaufenwieauslaufen.DiesführtaufeineUnitarität,dasheißtdieSumme derEigenwerteausderStreumatrixmüssen|1|ergeben.WasunserenKoeffizientenan dieBedingung|Sl(E)|=1kettet.DieseForderunglässtsichauchausderDefinitiondes Wahrscheinlichkeitsstromesherleiten. jr= mIm R∗ l∂ ∂r =k mImhlhl∗0+|Sl(e)|2h∗ lh0 l+2Re(hlSlh0 l ≈− mkr2(1−|Sl(e)|2)
(C.49) DurchAusnutzungvon(C.47)undvernachlässigungvon|Pl(cos(ϑ))|2.UnserKoeffizient lautetnuntrivialerweise Sl(E)=e2iδl(E) (C.50) WobeiwirproblemlosSl(E)=Sl(k)schreibenkönnen,dadieEnergiedirektmitkinVerbin- dungsteht.UnsereLösungderRadialgleichungistdamitgegebendurch Rl(r)=1 2(h(2) l(kr)+e2iδl(E))h(1) l(kr)(C.51) VerwendenwirnunwiderumdasasymptotischeVerhaltenderHankelfunktionenaus(C.47) undsetzenunsereRadiallösungin(C.44)ein,soergibtsich ψk≈
∞X l=0Pl(cos(ϑ))il(2l+1) 2ikr ei(kr−lπ 2+2δl)−e−i(kr−lπ 2) .(C.52) EinletzterKoeffizientenvergleichmit(C.39)führtunsaufdiePartialwellenamplituden fl(ϑ)=e2iδl−1 2ik=eiδlsin(δl) k(C.53) 1242014-07-02
Atomstruktur
1 ˆˆGleichung(1.10)zeigt,dassSkeineErhaltungsgrößemehrist,gleichesfolgtfürLaus Gleichung(1.11).DieSummebeiderOperatoren,alsoGleichung(1.12)führtjedochaufeine Erhaltungsgröße,denGesamtdrehimpulsmitdenQuantenzahlenjundm.j ˆJetztbleibtnochdieFragenachdenGesamtdrehimpulsfunktionen(fürLsinddiesdie KugelflächenfunktionenY(θ,φ)).ImjetztigenFallmüssendieEigenfunktionensomit`m zweikomponentigsein. ¸Beispiel1.)Sei`=0,j=`+1/2,m=m=1/2:js j=1/2,m=1/2=|l=0,m=1/2ijs misthiereineguteQuantenzahl,dakeineLinearkombonationderaltenZuständes existiert. 2.)Sei`=1,j=`−1/2,m=m=1/2:js ss 21 j=1/2,m=1/2=|m=1,m=−1/2i−|m=0,m=1/2ijlslS 33 misthierbeikeineguteQuantenzahlmehr,daderZustanddesGesamtdrehimpulss eineLinearkombinationausdenSpinzuständenupunddownist.µ 1.1.2DasmagnetischeMomentdesElektron Dirac-Regel (σ·a)(σ·b)=a·b+iσ(a×b)(1.13) Ï UmdasmagnetischeMomentdesElektronsunddessenLandéFaktorzubestimmenmüssen Gleichung(1.8)undGleichung(1.9)umdenTermeAergänztwerden,sodasgilt: 12ˆσ·(p+eA)ψ=E−mcψ(1.14)BoA c 12ˆσ·(p+eA)ψ=E+mcψ(1.15)AoB c FürlangsameElektronengiltdieNäherung: 2E∼mc0 2weshalbdieKlammernaufderrechtenSeitesichzu2mcreduzieren.0 ! 21v ψ=σ·p+eA+O()ψBA22mcc EingesetztinGleichung(1.14)ergibtsich: 112(E−mc)ψ=σ·(p+eA)σ·(p+eA)ψAA c2mc 2013-10-235
QuantenmechanischeStreuung C DieKoeffizientenflwerdenoftauchPartialwellenamplitudengenannt.UnteralldiesenNäherungenlässtsichunsereWellenfunktionbeschreibendurch
ψk(r)= ∞X
l=0 (2l+1)kr Pl(cos(ϑ)) "il2i ei(kr−lπ2)−e−i(kr−lπ2) +kfleikr #.(C.39)
FüreinrotationssymmetrischesPotentialfindetsich,wieimbekanntenBeispieldesWasser-stoffatomes,einSeparationsansatz.DieLösungbestehtdannausdenKugelflächenfunktionenundeinemRadialteil
ψ=Rl(r)Yl,m(ϑ,ϕ).(C.40) FürbeliebigesPotentialV(r)lautetdieDifferentialgleichungdesRadialteils"d2
dr2+k 2− l(l+1)r2 #rRl(r)= 2m2V(r)Rl(r).(C.41) WobeiwirdieseGleichungauchUmformenkönnen"d2
dr2−Veff(r) #rRl(r)=−k2Rl(r).(C.42)
DabeihabenwirdasEffektivePotentialeingeführt,welchesdieForm
Veff(r)= l(l+1)r2 + 2m2r V(r)(C.43)
annimmt.Ersichtlichist,dassdasEffektive-PotentialstarkvonderDrehimpulsquantenzahllabhängt.Mansprichthierauchvondersog.Zentrifugalbarriere.FürdieS-Wellenstreuungistl=0undesgilt
Veff∝V(r)
AngenommenwirkennendieLösungaus(C.41)fürunsereRadialgleichung,sokönnenwirunserestationäreWellenfunktionnachdiesenRadialfunktionenunddenKugelflächenfunk-tionenentwickeln
ψk(r)= ∞X
l=0 il(2l+1)Rl(r)Pl(cos(ϑ))(C.44)
FürdenFall,großerEntfernungzumStreuer,lässtsichdasPotentialaus(C.41)mitV(r)=0annähern.DaStreupotentialezumeistdieForm
V(r)∝ 1ruu≥1(C.45)
annehmen.FürdenFallweiterEntfernunglautetdieLösungderRadialgleichung
Rl(r)=Bl h (2)l(kr)+Sl(E) h (1)l(kr)(C.46)
2014-07-02123 Dirac-Gleichung,ElektronenspinundFeinstruktur
MittelsGleichung(1.13)folgt:
1c (E−mc2)ψA= (p+eA) 2+iσ·(p+eA)×(p+eA)|{z}(∗) ψA
Hierbeigiltzubeachten,dass
[p,A]≠0.
Damitwird(∗)zu:
(p+eA)×(p+eA)=erotA.
DerDirac-HamiltonoperatorˆHDgehtimFallelangsamerElektronenindenPauli-HamiltonperatorˆHPüber.
ˆHP= 12m (p+eA) 21+ e2m σ·B(1.16)
DarausfolgtdasmagnetischeMomentdesElektronsundderLandé-Faktor:
µs= e2m σ=2|{z}=g µB S
gisthierbeiderLandé-Faktor(imGrenzfalllangsamerGeschwindigkeiten).
1.1.3DasWasserstoffatominderDirac-Theorie
ImFolgendenwollenwirdieEnergieniveausunddieWellenfunktionendesrelativistischenWasserstoffatomsberechnen.FürdasPotentialgiltdasbekannteZentralpotential(Coulomb-Potential)
V(r)=− Ze24πε0 1r ,(1.17)
wobeiZdieKernladungszahlist.MitderDirac-GleichungdieumeinPotentialtermerweitertwird
HD=cα·p+βmc2+V(r)·1
undGleichung1.17giltesfolgendestationäreDirac-GleichunginMatrixformzulösen
V(r)+mc2cσ·pcσ·pV(r)−mc2 ! ψAψB !=E ψAψB !(1.18)
62013-10-30
C QuantenmechanischeStreuung ergibtsichnachMultiplikationvonPl(cos(ϑ))undIntegrationüberϑ Aljl(kr)=[4π(2l+1)]1/2 2
Zπ 0dϑPl(cos(ϑ))eikrcos(ϑ) Aljl(kr)=[4π(2l+1)]1/2 2
Z1 −1dzPl(z)eikrz(C.31) FürdenFallm≤0lassensichdieLegendre-PolynomeauchUmschreiben Pl(x)=1 2ll!dl dxl(x2−1)l(C.32) DurchmehrfacherVerwendungderOrthogonalrelation(C.30)und(C.32)erhaltenwir Z1 −1dzPl(z)eikrz=Z1 −1dzPl(z) ∞X l=0(ikrz)l l!
=(ikr)l2ll! (2l)!Z1 −1dzPl(z)Pl(z)+Oh (kr)l+1i(C.33) AufderlinkenSeitemüssenwirdieBessel-Funtkionfürkleinernähern.Dieseverhältsich imGrenzfallwiefolgt lim x→0jl(x)=xl 1·2·3...(2l+1).(C.34) SetzenwirbeideSeitengleich,unterderNäherungkleinerrerhaltenwir,einenAusdruck fürdieKoeffizientenAl Al2ll! (2l+1)!(kr)l=(ikr)l2ll! (2l)!Z1 −1dzPl(z)Pl(z) Al=il [4π(2l+1)]1/2 .(C.35) UnsereReihenentwicklung,auchParialwellenentwicklunggenannt,lautetsomit eik·r=
∞X l=0il(2l+1)jl(kr)Pl(cos(ϑ)).(C.36) AußerdemerhaltenwirzusätzlichdieIntegraldarstellungderBesselfunktionen jl(x)=(−i)l 2
Z1 −1dzPl(z)eixz.(C.37) DaunsereEntwicklungderEbenenWelle,unterderVorraussetzung,dasssichdieeinfal- lendeWelleinz-Richtugnausbreitet,unabhängigvomAzimutalwinkelist,mussauchdie StreuamplitudeinvariantuntereinerDrehungumdiez-Achsesein.Esmussalsogelten fk(ϑ,ϕ)=fk(ϑ)=
∞X l=0(2l+1)flPl(cos(ϑ)).(C.38) 1222014-07-02
Atomstruktur
1 UmzuerkennenobeineSeparationinRadial-undWinkelanteilgünstigist,überprüfenwir denTermσ·paufseineSymmetrieindemwirunsderDirac-IdentitätundKugelkoordinaten bemächtigen. σ·p=1·σ·p σ·r = r
σ·r r
σ·p =1 r2(σ·r)−ir·∇+iσ·` =1 r(σ·r)" −i∂r+iσ·` r
# Eszeigtsich,dassderTerm−i∂rnuraufdenRadialanteilund iσ·`=1 j2 −`2 −s2 nuraufdenWinkelanteilwirkt.EineSeparationinRadial-undWinkelanteilerleichtertsomit dasvorgehen.FürdieweitereRechnungwirdnochdieKenntnisüberdieWirkungvonσ·r, bzw.σ·`aufdieEigenzuständeχ± jmj(dieUnterscheidungzwischen+und−beruhtaufden zweiverschiedenenMöglichkeitenbeivorgegebenerQuantenzahlenjdesBahndrehimpulses `unddesElektronenspinss=1/2zukombinieren). σ·` χ± jmj=1 j2 −`2 −s2 χ± jmj = j(j+1)−`(`+1)−s(s+1) χ± jmj `=0 =0 Wirwissen,dassσ·r reinSkalarist,dassdieRelation σ·r r2 =12×2erfüllt.Dah σ·r r,j2i =0 folgtdassχ± jmjauchEigenfunktionenzuσ·r rsind.BeiRauminversionengilt r→−r=⇒σ·r r→−σ·r r. D.h.σ·r rhatungeradeParität.Esfolgtsomit (σ·r) rχ± jmj=−χ∓ jmj. ImfolgendenistP(∗)derParitätsoperator. P χ± jmj =χ± jmj(−r) =(−1)` χ± jmj ExpliziteDarstellung σ·r r=1 rzx−iy x+iy−z
! =cosθsinθe−iφ sinθeiφ−cosθ! 2013-10-307
QuantenmechanischeStreuung C
kz ϑ
ñ102StreuungEbenerWellenaneinemZentrum
Partialwellen
WirbeschränkenunsnunaufdenSpezialfalleinesradialsymmetrischenPotentiales.DasheißtV(r)=V(r).UnterdieserVorraussetzunganunserStreupotentialentwickelnwir(C.23)nachKugelflächenfunktionen.EbeneWellenkönnenimmerinKugelflächenfunktionenentwickeltwerden,dadieLösungenderSchrödingergleichungeinesfreienTeilchensinsphärischenKoordinatengegebenistdurch
ψk(r)= ∞X
l=0 cl,m(k)jl(kr)Yl,m.(C.26)
Dawirwissen,dassEbeneWellenauchLösungenvonfreienTeilchensind,machenwirdenAnsatz
eik·r= ∞X
l=0 m=lX
m=−l cl,m(k)jl(kr)Yl,m(C.27)
Dabeibeschreibenjl(kr)dieBesselfunktionen.Zubestimmensindnunnochdieunbe-kanntenKoeffizientencl,m(k).DaessichumspährischeKoordinatenhandelt,könnenwirdenk-Vektorindiez-Richtunglegen.DasheißtderExponentderlinkenSeitewirdzuk·r=krcos(ϑ)wasunseineϕunabhänigkeitliefert.DanurdieKugelflächenfunktio-nenmitm=0unabhängigvomAzimutalwinkelsind,könnenwirdiezweiteSummein(C.27)eingrenzen.ZudemlassensichdieKugelflächenfunktionenmitm=0auchdurchdieLegendre-Polynomeausdrücken Y1,l= 2l+14π 1/2Pl(cos(ϑ))(C.28)
UnserProblemredzuiertsichaufdieGleichung
eikrcos(ϑ)= ∞X
l=0 2l+14π 1/2Aljl(kr)Pl(cos(ϑ))(C.29)
UnterAusnutzungderOrthogonalitätsbedingungderLegendre-PolynomeZπ
0 dϑPl(cos(ϑ))Pl0(cos(ϑ))= 2δl,l02l+1 (C.30)
2014-07-02121 Feldquantisierung
FürdieLösungderstationäreDirac-Gleichung V(r)+mc2c σ·rr −i∂r+i σ·`r
c σ·rr −i∂r+i σ·`r V(r)−mc2 ψAψB !=E ψAψB !
verwendenwirdenAnsatz
ψAψB != F(r)χ±jmj (θ,φ)iG(r)χ∓jmj(θ,φ) !(1.19) DerLösungsansatzführtunsaufdieSeparationinWinkel-undRadialanteil.DieLösungdesWinkelanteilsisthierbereitserledigt,dadiesedurchχ±jmjgegebenist.EinsetzeninGleichung1.19führtaufzweigekoppelteDifferentialgleichungen.
c i∂r−i r −1∓ j+ 12 Gχ±jmj=E−mc2−V Fχ±jmj(1.20) c i∂r−i r −1± j+ 12 Fχ∓jmj=E+mc2−V iGχ∓jmj(1.21)
EsfolgenzweiGleichungssystemefürdenRadialteil(nurfür(+)).
c −∂r− 1r j+ 32 G=E−mc2−V F(1.22) c ∂r− 1r j− 12 F=E+mc2−V G(1.23)
DiesführtnuraufsinnvolleLösungenfürZ<137.FürdieEnergieeigenwertefolgtsomit.
E(n,j)= mc2s1+ Zαn−(j+1/2)+ √(j+1/2)2−(Zα)2 2 (1.24)
αentsprichthierbeiderFeinstrukturkonstante
α= e24πε0c ≈ 1137 .(1.25)
EntwickelnwirdiesesErgebnisinPotenzenvonαsoerhaltenwir
E(n,j)≈mc2 "1− 12 (Zα)2n2− 12 (Zα)4n3 1j+1/2 − 34n !+O(α5) #
1.2Feldquantisierung
DieMaxwellgleichungenimVakuumsindgegebendurch
rotE=−˙B(1.26) rotB=µ0ε0˙E(1.27)
divB=0(1.28)
divE=0(1.29)
82013-10-30
C QuantenmechanischeStreuung Dabeiistz0diePolstellek−iε 2.UnserResiduumlautetalso Res=−1 4iπ2rlim ε→0qeiqr 2q q=k−iε 2 =−1 4iπ2rlim ε→01 2eirk−iε 2 =−1 4iπ2reikr 2
(C.17) DasErgebnisdesIntegrals(C.15)erhaltenwirdurchMultiplikationvon2πimitseinem Residuum.DasheißtunsereretardierteGreensfunktionistgegebendurch G(y)=−2πi1 4iπ2reikr 2 G(y)=−eikr 4πr G(r−r0)=−eik|r−r0| 4π|r−r0|
(C.18) ZurückzuunseremeigentlichenStreuproblem.DiehomogeneLösungwirdbeschrieben durchebeneWellenundmitHilfevon(C.18)lässtsichunsereWellenfunktionangeben ψk=eik·r−m 2π2Z eik|r−r0| |r−r0|V(r0)ψk0d3r(C.19) ImallgemeinensinddieStreuerweitentferntvondenDetektoren,d.h.|r||r0|.Damit lässtsichfolgendeEntwicklunglegitimieren. k|r−r0|=kp r2−2rr0+r02(C.20) ≈kr−kr rr0=kr−k0 r0(C.21) WobeiwirdieDefinitionk0 =kr rverwendethaben.Gleichung(C.19)kannunterderAbkür- zungderStreuamplitude fk(ϑ,ϕ)=−m 2π2Z V(r0 )ψk0d3 r,(C.22) inweiterEntfernungvomStreuerbeschriebenwerdenals ψk=eik·r+eikr rfk(ϑ,ϕ).(C.23) ImFolgendenwirddieZeitentwicklungderStreuwellebeschrieben,dazuverwendenwir (C.23)undsetzenunserebekannteFormderZeitabhängigkeitaus(C.5)ein. ψ(r,t)=ψ0(r,t)+Z d3k (2π)3Akei(kr−Ek(t−t0))/ rfk(ϑ,ϕ)(C.24) Mit ψ0(r,t)=Z d3k (2π)3Akeikr−iEk(t−t0))/.(C.25) 1202014-07-02
Atomstruktur
1 AusihnenfolgtdieWellengleichung 122∇E=∂E(1.30)t2c LösungenvonGleichung1.30sindmituntergegebendurch E=Asin(kz−ωt+φ) .y z
x L ñ1EM-FeldineinereindimensionalenCavity ElektromagnetischesFeldineinereindimensionalenCavity:ImfolgendenwollenwirAbbil- dung1betrachten.SeidiePolarisationinx-Richtung,sogilt E(r,t)=Ex(z,t)ex. Also Ex(z,t)=s 2ω2 Vε0q(t)sin(kz) VentsprichthierderLängedereindimensionalenCavity,q(t)isteinzeitabhängigerFaktor mitderEinheiteinerLänge.FürdasMagnetfeldgilthierbei By(z,t)= µ0ε0 k
s 2ω2 Vε0˙q(t)cos(kz). ˙qentsprichthierbeidemkanonischenImpuls,also p(t)=˙q(t). DieklassischeFeldenergieistdementsprechenddiegesuchteHamiltonfunktion. H=1 2Z" ε0E2 (r,t)+1 µ0B2 (r,t)# dV =1 2ZL 0" ε0E2 x(z,t)+1 µ0B2 y(z,t)# dz =1 2p2+ω2q2 DiesentsprichtdemharmonischenOszillatormiteinerMassevonm=1.µ 2013-10-309
QuantenmechanischeStreuung C
Imq
−k +kReq
ñ101VerschiebungderPoleinderkomplexenq-Ebene
DiePolstellendesNennersliegenbeiq= k−iε2.IntegrierenwirdenWinkelanteilin(C.14)aus,indemwirdenRichtungsvektoryindiesphärischez-Richtunglegen,d.h.y=rez,erhaltenwir G(y)=− 18π3limε→0 Z2π
0 Zπ
−π Z∞
0 q2sin(ϑ) eiqrcos(ϑ)q2−k2−iε dϕdϑdq
G(y)=− 14π2 limε→0 Zπ
−π Z∞
0 q2sin(ϑ) eiqrcos(ϑ)q2−k2−iε dϑdq
G(y)=− i4π2r limε→0 Z−iqr
iqr Z∞
0 q euq2−k2−iε dudq
G(y)=− 14iπ2r limε→0 Z∞
0 qq2−k2−iε eiqr−e−iqrdq
Substitutionvonq→−qimhinterenTermführtauf
G(y)=− 14iπ2r limε→0 Z∞
−∞ qeiqrq2−k2−iε dq
(C.15)
WirkönnennundenResiduensatzanwenden
Res= f(q)f0(q)
z0 (C.16)
2014-07-02119 Feldquantisierung
DaselektrischeFeldübernimmtalsohierdieStelleeinesOrtesein,unddasmagnetischeFelddieeinesImpulses.SomiterfolgteineQuantisierungdesLichtfeldes
q→ˆqp→ˆp
wobei
,ˆqˆp
=i1(1.31)
DaselektrischeunddasmagnetischeFeldsindsomitOperatoren
ˆEx= s2ω2Vε0 ˆq(t)sin(kz)(1.32) ˆBy= µ0ε0k s2ω2Vε0 ˆp(t)cos(kz)(1.33) DieBeschreibungdesFeldeserfolgtdurchnichthermitscheOperatoren.InAnlehnungandenquantenmechanischenharmonischenOperatorsinddiesˆaundˆa†(Glauber).
ˆa= 1√2πω ωˆq+iˆp ˆa†= 1√2πω ωˆq−iˆp TheoremFürdenKommutatorderLeiteroperatoren,bzw.Glauberoperatorengiltˆa,ˆa†=1(1.34)Ï
DamitlassensichelektrischeundmagnetischesFeldumschreiben
ˆEx∼ˆa+ˆa†
ˆBy∼i
−ˆa
ˆa †
Bemerkung:FürdasquantisierteelektrischeundmagnetischeFeldineinerDimensiongilt
ˆEx(z,t)=E0ˆa+ˆa†sin(kz) ˆBy(z,t)=B0ˆa−ˆa†cos(kz) wobeifürE0undB0
E0= sωε0V
B0= N0k sε0ω2V gilt.E0undB0könnenhierbeialselektrischesundmagnetischesFeldproPhotoninterpretiertwerden.Ç
102013-11-06
