Lehrstuhl für Informatik 1 WS 2013/14
Prof. Dr. Berthold Vöcking 23.01.2014
Kamal Al-Bawani Benjamin Ries
Übung zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität
Blatt 11
Aufgabe 11.1 (3 + 1 Punkte)
Wir betrachten die folgenden Entscheidungsprobleme.
IndependentSet
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl b ∈N.
Ausgabe: Ja, gdw. es eine Knotenmenge K ⊆V mit |K| ≥b gibt, so dass es in E keine Kanten zwischen den Knoten ausK gibt.
Clique
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl b ∈N.
Ausgabe: Ja, gdw. es eine Knotenmenge K ⊆ V mit |K| ≥ b gibt, so dass der von K induzierte Subgraph vollständig ist (die MengeK bildet eine b-Clique).
(a) Zeigen Sie (durch Polynomiellereduktion): Clique≤p IndependentSet (b) Zeigen Sie, dass IndependentSetNP-hart ist.
Aufgabe 11.2
Wir betrachten das folgende Entscheidungsproblem.
DominatingSet
Eingabe: Ein Graph G= (V, E) und eine Zahl k ∈N.
Ausgabe: Ja, gdw. es eine KnotenmengeD⊆V mit |D| ≤k gibt, so dass für jeden Knotenv ∈V \D eine Kante (v, w)∈E zu einem Knoten w∈D existiert.
Zeigen Sie durch eine polynomielle Reduktion von 3SAT, dass das DominatingSet- Problem NP-hart ist.
— bitte wenden —
Aufgabe 11.3
Eine KantenmengeM ⊆E ist einMatching in einem Graphen G= (V, E), wenn für alle Kanten e1, e2 ∈ M gilt, daß e1 ∩e2 = ∅. Ein Matching ist zudem ein induced Matching, wenn die Matchingkanten untereinander nicht durch Kanten inGverbunden sind.
Das Problem Induced Matching besteht nun darin, zu entscheiden ob ein induced Matching der Grösse k in einem gegebenen Graphen G existiert. Dieses Problem wird in der Literatur auch als risk-free marriage problem bezeichnet: gesucht ist eine Zuteilung auf Ehen, so dass keiner der Ehepartner Interesse an einem Ehepartner einer anderen Ehe hat. Zeigen Sie, dass Independent Set ≤p Induced Matching.
Induced Matching
Eingabe: Ein Graph G= (V, E)und eine Zahl k∈ N.
Ausgabe: Ja, gdw. es eine Kantenmenge M ⊆ E mit |M| ≥ k gibt, so dass für jedes Paar von Kanten e1 = {v, w} und e2 = {t, u} aus M der Schnitt e1 ∩e2 leer ist und keine zwei Kanten aus e1, e2 ∈ M untereinander durch eine Kante e3 ∈/ M, mit e3 6=e2, e1, verbunden sind.
Abgabe bis Donnerstags, den 30.01.2014 um 9.00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
