Offline Bewegungsplanung: Objekte bewegen

(1)

Offline Bewegungsplanung: Objekte bewegen

Elmar Langetepe University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 18.11.13 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1314 1

(2)

Liniensegmente statt Punkte

(3)

Liniensegmente statt Punkte

• Liniensegment in der Ebene

(4)

Liniensegmente statt Punkte

• Startlage S

S

(5)

Liniensegmente statt Punkte

• Startlage S und Ziellage T

S

T

(6)

Liniensegmente statt Punkte

• Stetige Bewegung von S nach T

S

T π₁

π₂

(7)

Liniensegmente statt Punkte

• M¨oglichst kurz!

S

T π₁

π₂

(8)

Liniensegmente statt Punkte

S

T π₁

π₂

S

(9)

Liniensegmente statt Punkte

S

T π₁

π₂

S

T

(10)

Liniensegmente statt Punkte

S

T π₁

π₂

S

T π₁

π₂

(11)

Was ist eine kurze Bewegung?

(12)

Was ist eine kurze Bewegung?

• Bei ausgedehnten Objekten schwierig

(13)

Was ist eine kurze Bewegung?

S

(14)

Was ist eine kurze Bewegung?

S

T

(15)

Was ist eine kurze Bewegung?

S

T

(16)

Was ist eine kurze Bewegung?

• Hier: Wegl¨ange zweier(!) Tr¨ager: Summe

S

T

S

T

π₂ π₁

(17)

Was ist eine kurze Bewegung?

• Hier: Wegl¨ange zweier(!) Tr¨ager: Summe

• Andere Maße: Mittlerer Weg, Min/Max eines Tr¨agers

S

T

S

T

π₂ π₁

(18)

Formale Beschreibung!

(19)

Formale Beschreibung!

• Lage des Segmentes durch Tripel (x, y, α)

(20)

Formale Beschreibung!

(i)

(21)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x

(22)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

• Optimale Bewegungen: Rotation/Translation(Klar!!)

(i)

y α

x

(23)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x

(24)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x

(25)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(26)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(27)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(28)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(29)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(30)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

(31)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

α

(32)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

• Translation geht nicht immer

(i)

y α

x π₁

π₂

α

D

(33)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

α

D

(34)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

α

D

(35)

Formale Beschreibung!

• Normiert!

(i)

y α

x π₁

π₂

α

D

(36)

Kombinationen Th. 1.47

Zwischen je zwei Positionen von Liniensegmenten gibt es eine optimale Bewegung von einem der folgenden Typen:

1. maximal drei Rotationen,

2. maximal zwei Rotationen und eine geradlinige Bewegung, 3. eine Rotation zwischen zwei geradlinigen Bewegungen.

Die Bewegungen lassen sich effizient berechnen.

(37)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

(38)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

• Geschlossene konvexe Kurve C: Durchm. Funktion:

dia_C : [0, 2π) → R

(i)

dia_C(α)

C

α

(39)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

• Support Funktion: h_C(α) = sup{xcos α + ysin α|(x, y) ∈ C}

• X-Koordinate nach Rotation mit α

(i)

dia_C(α)

C

α

(40)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

(i)

dia_C(α)

C

α

(41)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

(i)

dia_C(α)

C

α

(42)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

(i)

dia_C(α)

C

α

h_C(α) = sup{xcosα+ysinα|(x, y)∈ C}

(43)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

• Offensichtlich: dia_C(α) = h_C(α) + h_C(α + π)

(i)

dia_C(α)

C

α

h_C(α+π)

(44)

Rotation? Hilfe: Surface-Area Th. 1.46!

dia_C : [0, 2π) → R

• Offensichtlich: dia_C(α) = h_C(α) + h_C(α + π)

• Es gilt: Length(C) =

π

R

0

dia_C(α) dα

(i)

dia_C(α)

C

α

h_C(α+π)

(45)

Beweis: Rotation ist optimal!

(46)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Zwei Kurven C,

(47)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Zwei Kurven C,

1 1

(48)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Zwei Kurven C,

1 1

α

(49)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Zwei Kurven C, konvexe H¨ulle C⁰,

1 1

α C

π₁

π₂

(50)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Zwei Kurven C, konvexe H¨ulle C⁰, D einfache Rotation

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

(51)

Beweis: Rotation ist optimal!

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

(52)

Beweis: Rotation ist optimal!

• Rotation optimal?

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(53)

Beweis: Rotation ist optimal!

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(54)

Beweis: Rotation ist optimal!

2 + Kosten(C)

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(55)

Beweis: Rotation ist optimal!

2 + Kosten(C) ≥ L¨ange(C⁰)

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(56)

Beweis: Rotation ist optimal!

2 + Kosten(C) ≥ L¨ange(C⁰) =

π

Z

0

dia_C⁰(α) dα (Th. 1.46)

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(57)

Beweis: Rotation ist optimal!

π

Z

0

dia_C⁰(α) dα (Th. 1.46)

≥

π

Z

0

dia_D(α) dα (wegen dia_C⁰(α) ≥ dia_D(α))

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(58)

Beweis: Rotation ist optimal!

π

Z

0

dia_C⁰(α) dα (Th. 1.46)

≥

π

Z

0

= L¨ange(D) (Th. 1.46)

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(59)

Beweis: Rotation ist optimal!

π

Z

0

dia_C⁰(α) dα (Th. 1.46)

≥

π

Z

0

= L¨ange(D) (Th. 1.46) = 2 + Kosten(Rotation)

1 1

α C

π₁

π₂

1 1

C⁰

1 1

D

(60)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

(61)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

• Drei Winkelbereiche!!

1 1

C⁰

D

1 1

(62)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

1 1

C⁰

D

1 1

(63)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁

(64)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂]

(65)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂] α ∈[α₂, π]

(66)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

• α ∈ [0, α₁] ∪ [α₂, π] ⇒ dia_C⁰(α) ≥ dia_D(α)

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂] α ∈[α₂, π]

(67)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

• α ∈ [0, α₁] ∪ [α₂, π] ⇒ dia_C⁰(α) ≥ dia_D(α)

• F¨ur α ∈ [α₁, α₂] ex. stets Platzierung (x, y, α) in C⁰

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂] α ∈[α₂, π]

(68)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

• α ∈ [0, α₁] ∪ [α₂, π] ⇒ dia_C⁰(α) ≥ dia_D(α)

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂] α ∈[α₂, π]

α

(69)

Beweis: dia

_C⁰

(α) ≥ dia

_D

(α), α ∈ [0, π ]

• α ∈ [0, α₁] ∪ [α₂, π] ⇒ dia_C⁰(α) ≥ dia_D(α)

• α ∈ [α₁, α₂] ⇒ dia_C⁰(α) ≥ 1 = dia_D(α)

1 1

C⁰

D

1 1

α∈ [0, α₁]

α₁ α₂

α∈ [α₁, α₂] α ∈[α₂, π]

α

(70)

Kombinationen Th. 1.47

Zwischen je zwei Positionen von Liniensegmenten gibt es eine optimale Bewegung von einem der folgenden Typen:

1. maximal drei Rotationen,

2. maximal zwei Rotationen und eine geradlinige Bewegung, 3. eine Rotation zwischen zwei geradlinigen Bewegungen.

Die Bewegungen lassen sich effizient berechnen.

(71)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

(72)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

• Abst¨ande |A₀ − B₁| und |A₁ − B₀| kleiner gleich 1

(73)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

• Drei Rotationen!!

B₀

A₀

(74)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

B₀

A₀ A₁

B₁

(75)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

B₀

A₀ A₁

B₁

(76)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

B₀

A₀ A₁

B₁

(77)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

B₀

A₀ A₁

B₁

(78)

Beispiel: Nahe Placements Th. 1.47

B₀

A₀ A₁

B₁

(79)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

(80)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

• Schwierig zu l¨osen

(81)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

(82)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T

(83)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

• Bewegungen ¨uber Referenzpunkt

S

T

(84)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T

(85)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T

(86)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T

(87)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T

(88)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

S

T H

(89)

Bewegungen mit ausgedehnten Objekten

• Kollisionsfrei??

S

T H

(90)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

(91)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

(92)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

Translation: Verschieben Referenzpunkt

s

t

Aufblasen der Hindernisse

(93)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

s

t

Aufblasen der Hindernisse

(94)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

s

t

Aufblasen der Hindernisse Vereinigung Sweep

(95)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

s

t

Kürzester Weg????

(96)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

s

t

Kürzester Weg????

(97)

Kollisionsfreie Bahnen: Startbeispiel!!

s

t

Kürzester Weg????

(98)

Kollisionsfreie Bahnen: Allgemeiner!!

S

T P₃

P₂ P₁

P5

P₄

(99)

Kollisionsfreie Bahnen: Allgemeiner!!

• Existiert Weg von S nach T

S

T P₃

P₂ P₁

P5

P₄

(100)

Kollisionsfreie Bahnen: Allgemeiner!!

• Berechne Weg von S nach T

S

T P₃

P₂ P₁

P5

P₄

(101)

Kollisionsfreie Bahnen: Allgemeiner!!

• Berechne Weg von S nach T

• K¨urzester Weg

S

T P₃

P₂ P₁

P5

P₄

(102)

Formal: Rotation und Translation

(103)

Formal: Rotation und Translation

• Platzierung Endpunkte

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

3 3

4

−2 R₁

(104)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

3 3

4

−2 R₁

R₂

(105)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• Referenzpunkt r

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

(106)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• Referenzpunkt r Winkelreferenzpunkt r⁰

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

(107)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• R₁ = R(0, 0, π/2) = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

(108)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• R₁ = R(0, 0, π/2) = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• R(x, y, α),

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

(109)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• R₁ = R(0, 0, π/2) = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• R(x, y, α), Translation/Rotation:

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

R₃

(110)

Formal: Rotation und Translation

R₁ = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• Verschiebung R₂ = {(5, 3), (5, 5), (4, 7), (3, 5), (3, 3)}

• R₁ = R(0, 0, π/2) = {(1, −1), (1, 1), (0, 3), (−1, 1), (−1, −1)}

• R(x, y, α), Translation/Rotation: R₃ = R(3, 0, 0)

3 3

4

−2 R₁

R₂ r⁰

α r

R₃

(111)

Formale Definitionen: Def. 2.1

(112)

Formale Definitionen: Def. 2.1

• Tripel (x, y, α) ∈ IR × IR × [0, 2π) Platzierung, 3 DOF (Freiheitsgrade) Referenzpunkt+Winkel!!!

(113)

Formale Definitionen: Def. 2.1

• Konfigurationsraum C = IR × IR × [0, 2π)

(114)

Formale Definitionen: Def. 2.1

• Arbeitsraum: R(x, y, α), P₁, P₂, . . . , P_k

(115)

Formale Definitionen: Def. 2.1

• Verbotene Platzierungen C_verb :=

n

c ∈ C|R(c) ∩ S ^◦

Pi 6= ∅ o

(116)

Formale Definitionen: Def. 2.1

n

c ∈ C|R(c) ∩ S ^◦

Pi 6= ∅ o

• Freie Platzierungen C_frei := C \ C_verb

(117)

Formale Definitionen: Def. 2.1

n

c ∈ C|R(c) ∩ S ^◦

Pi 6= ∅ o

• Freie Platzierungen C_frei := C \ C_verb

• Halbfreie Platzierungen

(118)

Beispiel!!

• Reine Translation

• Bereich der g¨ultigen Platzierungen

(119)

Beispiel!!

P₃ P₁

P₂

P₅

P₄

• Reine Translation

• Bereich der g¨ultigen Platzierungen