Offline Bewegungsplanung: Translation und Rotation

(1)

Offline Bewegungsplanung: Translation und Rotation

Elmar Langetepe University of Bonn

(2)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

Offline Bewegungsplanung 11.12.13 Kollisionsfreie Wege cElmar Langetepe WS ’1314 2

(3)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

• |R| = m konvex, P

|P_i| = n

(4)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• Anzahl Kritische Platzierungen: O(mn λ₆(mn))

(5)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• λ₆(mn) ∈ O(mn log^∗(mn))

(6)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• λ₆(mn) ∈ O(mn log^∗(mn)) subquadratisch

(7)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• Davenport-Schinzel-Sequenzen

(8)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• Wichtige Elemente f¨ur Bahnplanung

(9)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• Beweis Komplexit¨at

(10)

R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32

|P_i| = n

• Beweis Komplexit¨at

• Berechnen!

(11)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

(12)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Idee: Zwei Kontaktpaare ausw¨ahlen, mit Kontakt,

(13)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Idee: Zwei Kontaktpaare ausw¨ahlen, mit Kontakt, drittes Paar sp¨ater dazu

(14)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Kontakt lebt eine Weile

(15)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Bedingungen an das Paar von Kontaktpaaren

(16)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Klassische Methode:

(17)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Klassische Methode: weniger Paare als Tripel

(18)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Klassische Methode: weniger Paare als Tripel

• Funktionen aufbauen

(19)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

(20)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Vier F¨alle!: O₂ beschr¨ankt O₁ bei Θ

(21)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• T₁, T₂: Verl¨angerungen der beteiligten Kanten

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

(i) Typ I/Typ I (ii) Typ I/Typ II

(iv) Typ II/Typ I S1

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(22)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Schnittpunkt s, ch(S₁ ∪ S₂): Verschieben!

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(23)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Kontakt von ch(S₁ ∪ S₂) mit W₂ bleibt ¨uber gesamte Strecke

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(24)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

• Muss nicht frei sein!!!

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(25)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(26)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(27)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(28)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(29)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(30)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(31)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(32)

Beschr¨ anken: Def. 2.33

ρ1 ρ1

u2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 v2

v2 v2

u1

v1 u1 v1

v1 l

l l

l1

l1 l2

l2 l2 l1

u1

T1 S

S S T2

T2

S T2 T1

T1 T1

T2

S2 S2

W2

W2 W2

S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1

W1 S1 W1

W1

(33)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

(34)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

• Kontaktpaare O₁ = (W₁, S₁), O₂ = (W₂, S₂)

(35)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

• Kontakt bei Θ

(36)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

• Kontakt bei Θ

• O₁ beschr¨ankt O₂ oder

(37)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

• Kontakt bei Θ

• O₂ beschr¨ankt O₁

(38)

Beschr¨ anken: Lem. 2.34

• Kontakt bei Θ

• O₂ beschr¨ankt O₁

• Beweis!!!

(39)

Beweis: Lem. 2.34

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(40)

Beweis: Lem. 2.34

• O₁ beschr¨ankt O₂ oder O₂ beschr¨ankt O₁

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(41)

Beweis: Lem. 2.34

• Fallunterscheidungen: Verschieben!

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(42)

Beweis: Lem. 2.34

• Endpunkte v₁, v₂, u₁, u₂ in Richtung s

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(43)

Beweis: Lem. 2.34

• i) l₁ schneidet W₂ oder l₂ schneidet W₁

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(44)

Beweis: Lem. 2.34

• i) l₁ schneidet W₂ oder l₂ schneidet W₁

• Funktionswert ρ f¨ur den Winkel!

ρ1 ρ1 ρ1

ρ1 v2 l

l1

v1 l2 v2

u2

u1

u2

u2 u2

v2

u1

u1 u1

v1 v1

v1 l

l l

l1

l2

l1 l1

l2 T1

T2 T1

T2

T1 T1

S

S S S T2

S2

S2 S2

W2

W2 W2

W1

W1 W1

S1

S1 S1

(iii) Typ II/Typ II

W2

W1 S2

(45)

Konvexit¨ at geht ein!!

(46)

Konvexit¨ at geht ein!!

O₁

O₂ R

(47)

Konvexit¨ at geht ein!!

O₁

O₂ R

(48)

Besonderheit: Bem. 2.35

ρ1

l2 l

v1 v2

u2

u1 l1

T2 T1 S W1

S2

(i) Typ I/Typ I S1

W2

(49)

Besonderheit: Bem. 2.35

• Orientierung Θ bei der die Aussage wechselt

ρ1

l2 l

v1 v2

u2

u1 l1

T2 T1 S W1

S2

(i) Typ I/Typ I S1

W2

(50)

Besonderheit: Bem. 2.35

• O₁ beschr¨ankt O₂ und O₂ beschr¨ankt O₁ bei Θ

ρ1

l2 l

v1 v2

u2

u1 l1

T2 T1 S W1

S2

(i) Typ I/Typ I S1

W2

(51)

Besonderheit: Bem. 2.35

• O₁ beschr¨ankt O₂ und O₂ beschr¨ankt O₁ bei Θ

• Definition Beschr¨anken leicht abwandeln

ρ1

l2 l

v1 v2

u2

u1 l1

T2 T1 S W1

S2

(i) Typ I/Typ I S1

W2

(52)

Funktionen und ihre Bedeutung

(53)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Def.-bereich: Π_O₁_O₂ := {θ|O₂ beschr¨ankt O₁ bei Winkel θ }.

ρ₁

θ₁ u2

v2

v1 u1

T2 T1 S W1

S1

W2 S2

(i) Typ I/Typ I θ₂

(54)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Wert: ρ_i :=

|x_iu_i|, falls S_i Roboterkante

|v_ix_i|, falls S_i Roboterecke

ρ₁

θ₁ u2

v2

v1 u1

T2 T1 S W1

S1

W2 S2

ρ₂

(55)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Wert: ρ_i :=

• Funktionen:

ρ₁

θ₁ u2

v2

v1 u1

T2 T1 S W1

S1

W2 S2

ρ₂

(56)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Wert: ρ_i :=

• Funktionen:

f_O₁_O₂ : Π_O₁_O₂ −→ R^>0 θ 7−→ ρ₁

ρ₁

θ₁ u2

v2

v1 u1

T2 T1 S W1

S1

W2 S2

ρ₂

(57)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Wert: ρ_i :=

• Funktionen:

f_O₁_O₂ : Π_O₁_O₂ −→ R^>0 θ 7−→ ρ₁

• Dritter Kontakt, O₃ beschr¨ankt O₁ bei θ₁, Krit. Platzierung?

ρ₁

θ₁ u2

v2

v1 u1

T2 T1 S W1

S1

W2 S2

ρ₂ S3 W3

S

(58)

Funktionen und ihre Bedeutung

(59)

Funktionen und ihre Bedeutung

• O₄ beschr¨ankt O₁ bei θ₂, keine Krit. Platzierung!!

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ ρ₂

S3W3 S

S3 W4

(60)

Funktionen und ihre Bedeutung

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ ρ₂

S3W3 S

S3 W4 θ₂

ρ₃

(61)

Funktionen und ihre Bedeutung

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ θ₂

ρ₂

S3W3 S

S3 W4 θ₂

ρ₃

(62)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Arrangement: A(O₁),

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ θ₂

ρ₂

S3W3 S

S3 W4 θ₂

ρ₃

(63)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Arrangement: A(O₁), alle Funktionen f_O₁_O_j, O_j beschr¨ankt O₁

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ θ₂

ρ₂

S3W3 S

S3 W4 θ₂

ρ₃

(64)

Funktionen und ihre Bedeutung

• Arrangement: A(O₁), alle Funktionen f_O₁_O_j, O_j beschr¨ankt O₁

• Nur untere Kontur des Arrangements ist entscheident!!!

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I

W1 ρ₃

ρ₂

f_O₁_O₄(θ) f_O₁_O₃(θ)

f_O₁_O₂(θ)

θ₂ θ

θ₁ A(O₁) ρ

ρ₁ θ₂

ρ₂

S3W3 S

S3 W4 θ₂

ρ₃

(65)

Beweis: Krit. Platz in O(mn λ

₆

(mn))

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I W1

θ ρ₁

ρ₃ f_O₁_O₅(θ) f_O₁_O₇(θ)

ρ A(O₁)

θ₁ θ₂

f_O₁_O₂(θ) f_O₁_O₄(θ) ρ₂

f_O₁_O₃(θ) θ₂

ρ₂

W3

S S3

S3 W4 ρ₃

(66)

Beweis: Krit. Platz in O(mn λ

₆

(mn))

• (x, y, θ) Kritische Platzierung

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I W1

θ ρ₁

ρ₃ f_O₁_O₅(θ) f_O₁_O₇(θ)

ρ A(O₁)

θ₁ θ₂

f_O₁_O₂(θ) f_O₁_O₄(θ) ρ₂

f_O₁_O₃(θ) θ₂

ρ₂

W3

S S3

S3 W4 ρ₃

(67)

Beweis: Krit. Platz in O(mn λ

₆

(mn))

• (x, y, θ) Kritische Platzierung

• Nur den Fall: Drei Kontaktpaare O₁, O₂, O₃

ρ₁

θ₁ u2

v1 u1

v2

S1

W2

S T2 S2 T1

(i) Typ I/Typ I W1

θ ρ₁

ρ₃ f_O₁_O₅(θ) f_O₁_O₇(θ)

ρ A(O₁)

θ₁ θ₂

f_O₁_O₂(θ) f_O₁_O₄(θ) ρ₂

f_O₁_O₃(θ) θ₂

ρ₂

W3

S S3

S3 W4 ρ₃