Offline Bewegungsplanung: Maximaler Durchmesser

Offline Bewegungsplanung: Maximaler Durchmesser

Elmar Langetepe University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 1

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

A

B

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

• Endpunkte sind Ecken des Polygones

A

B

Maximieren

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

• Endpunkte sind Ecken des Polygones

Maximieren

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

• Endpunkte sind Ecken des Polygones

Maximieren

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

• Endpunkte sind Ecken des Polygones n² Kandidatenpaare

Maximieren

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

1.2.3 Durchmesser einfacher Polygone

• Einfaches Polygon P

• L¨angster K¨urzester Weg zwischen zwei Punkten

• Endpunkte sind Ecken des Polygones n² Kandidatenpaare

• Formal: max_p

i,p_j Ecken von ^P d(p_i, p_j)

Maximieren

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 2

Idee der Berechnung:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

pi

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

pi

pj

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

pi

pj pl

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

pi

pj pl

pm

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

pi

pj pl

pm

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

• Dreiecksungleichungen anwenden!!

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

• Dreiecksungleichungen anwenden!!

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

• Dreiecksungleichungen anwenden!!

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

• Dreiecksungleichungen anwenden!!

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Idee der Berechnung:

• p_i, p_j, p_l, p_m entlang des Randes

• Monge Eigenschaft: d(p_i, p_m) + d(p_j, p_l) ≤ d(p_i, p_l) + d(p_j, p_m)

• Wege π(p_i, p_l) und π(p_j, p_m) schneiden sich

• Dreiecksungleichungen anwenden!!

pi

pj pl

pm q

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 3

Matrix A mit sch¨ oner Eigenschaft!

1 2 3 n − 1 n

1 2 3 ...

n − 1 n



















1 − n d(1, 2) d(1, 3) . . . d(1, n − 1) d(1, n) 1 − n 2 − n d(2, 3) . . . d(2, n − 1) d(2, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . d(3, n − 1) d(3, n)

... ... ... . . . ... ...

1 − n 2 − n 3 − n . . . d(n − 1, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . 0



















d(i, j) entspricht d(p_i, p_j) und p₁, p₂, . . . , p_n Knoten entlang des Randes von P!

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Def. 1.17: Monotone Matrix!

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Def. 1.17: Monotone Matrix!

n × m-Matrix A = (a_i`) heißt monoton, falls

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 5

Def. 1.17: Monotone Matrix!

n × m-Matrix A = (a_i`) heißt monoton, falls

∀1 ≤ i < j ≤ n, 1 ≤ k < ` ≤ m : (a<sub>ik</sub> < a<sub>i`</sub> ⇒ a_jk < a_j`).

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 5

Def. 1.17: Monotone Matrix!

n × m-Matrix A = (a_i`) heißt monoton, falls

∀1 ≤ i < j ≤ n, 1 ≤ k < ` ≤ m : (a<sub>ik</sub> < a<sub>i`</sub> ⇒ a_jk < a_j`).

k `

i j







a_ik < a_i`

⇓

a_jk < a_j`







Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 5

Linkeste Zeilenmaxima weiter nach rechts

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 6

Linkeste Zeilenmaxima weiter nach rechts







5 5 5 5 5

1 7 9 6 3 4 6 10 7 12







Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 6

Lemma 1.19: A ist monoton!

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Lemma 1.19: A ist monoton!

1 2 3 n − 1 n

1 2 3 ...

n − 1 n



















1 − n d(1, 2) d(1, 3) . . . d(1, n − 1) d(1, n) 1 − n 2 − n d(2, 3) . . . d(2, n − 1) d(2, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . d(3, n − 1) d(3, n)

... ... ... . . . ... ...

1 − n 2 − n 3 − n . . . d(n − 1, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . 0



















Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 7

Lemma 1.19: A ist monoton!

1 2 3 n − 1 n

1 2 3 ...

n − 1 n



















1 − n d(1, 2) d(1, 3) . . . d(1, n − 1) d(1, n) 1 − n 2 − n d(2, 3) . . . d(2, n − 1) d(2, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . d(3, n − 1) d(3, n)

... ... ... . . . ... ...

1 − n 2 − n 3 − n . . . d(n − 1, n) 1 − n 2 − n 3 − n . . . 0



















Beweis!!!

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Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

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Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

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Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 8

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 8

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i) aus Zeilenmaxima (A⁰, i) gewinnen

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 8

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i) aus Zeilenmaxima (A⁰, i) gewinnen

• Alg.1.8 Zeilenreduktion (gerade Zeilen ausw¨ahlen): Monotone n × m-Matrix B

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Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i) aus Zeilenmaxima (A⁰, i) gewinnen

• Alg.1.8 Zeilenreduktion (gerade Zeilen ausw¨ahlen): Monotone n × m-Matrix B

• Zeilenmaxima ungerade Zeilen

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 8

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i) aus Zeilenmaxima (A⁰, i) gewinnen

• Alg.1.8 Zeilenreduktion (gerade Zeilen ausw¨ahlen): Monotone n × m-Matrix B

• Zeilenmaxima ungerade Zeilen aus Zeilenmaxima gerade Zeilen gewinnen

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Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

• Monotone n × m-Matrix A = (a_i`), m ≥ n

• Alg.1.7 Spaltenreduktion (Spalten streichen): monotone n × n-Matrix A⁰

• Zeilenmaxima (A, i) aus Zeilenmaxima (A⁰, i) gewinnen

• Alg.1.8 Zeilenreduktion (gerade Zeilen ausw¨ahlen): Monotone n × m-Matrix B

• Zeilenmaxima ungerade Zeilen aus Zeilenmaxima gerade Zeilen gewinnen

• Rekursiv mit Spaltenreduktion (Alg. 1.7)!!

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Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 9

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 9

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5 Falls nein, dann:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 9

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5

Falls nein, dann: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 ≥ a_1,5

⇑

a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 ≥ a_2,5

⇑

a_3,3 ≥ a_3,4 ≥ a_3,5

⇑

a_4,4 ≥ a_4,5

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Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5 Falls ja, dann:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5 Falls ja, dann: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 a_1,5

a_2,2 ≥ a_2,3 a_2,5 a_3,3 < a^? _3,5 a_4,5

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5 Falls ja, dann: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 a_1,5

a_2,2 ≥ a_2,3 a_2,5 a_3,3 < a^? _3,5 a_4,5 Streiche Spalte 4, weil:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Invariante: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 ≥ a_1,4 a_1,5 a_2,2 ≥ a_2,3 ≥ a_2,4 a_2,5 a_3,3 ≥ a_3,4 a_3,5 a_4,4 < a^? _4,5 Falls ja, dann: a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 a_1,5

a_2,2 ≥ a_2,3 a_2,5 a_3,3 < a^? _3,5 a_4,5 Streiche Spalte 4, weil:

a_i,4 ≤ a_i,3 f¨ur i = 1, 2, 3 und a_i,4 < a_i,5 f¨ur i = 4, . . . , n

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 10

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Letzte Zeile erreicht!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Letzte Zeile erreicht!

a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 . . . a_1,n ≥ a_1,n+1 . . . a_1,m a_2,2 ≥ a_2,3 . . . a_2,n ≥ a_2,n+1 . . . a_2,m

. . . ...

. . . a_n,n ≥ a_n,n+1 . . . a_n,m

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Letzte Zeile erreicht!

a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 . . . a_1,n ≥ a_1,n+1 . . . a_1,m a_2,2 ≥ a_2,3 . . . a_2,n ≥ a_2,n+1 . . . a_2,m

. . . ...

. . . a_n,n ≥ a_n,n+1 . . . a_n,m Komplette Spalte n + 1 Streichen!!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Letzte Zeile erreicht!

a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 . . . a_1,n ≥ a_1,n+1 . . . a_1,m a_2,2 ≥ a_2,3 . . . a_2,n ≥ a_2,n+1 . . . a_2,m

. . . ...

. . . a_n,n ≥ a_n,n+1 . . . a_n,m Komplette Spalte n + 1 Streichen!!

Weiter mit Vergleich: a_n,n < a^? _n,n+2

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Letzte Zeile erreicht!

a_1,1 ≥ a_1,2 ≥ a_1,3 . . . a_1,n ≥ a_1,n+1 . . . a_1,m a_2,2 ≥ a_2,3 . . . a_2,n ≥ a_2,n+1 . . . a_2,m

. . . ...

. . . a_n,n ≥ a_n,n+1 . . . a_n,m Komplette Spalte n + 1 Streichen!!

Weiter mit Vergleich: a_n,n < a^? _n,n+2 Beispiel!!!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 11

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

• Zeilenmaxima von A⁰ und A identisch

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

• Zeilenmaxima von A⁰ und A identisch

• Analyse:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

• Zeilenmaxima von A⁰ und A identisch

• Analyse:

– O(m) Vergleiche

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

• Zeilenmaxima von A⁰ und A identisch

• Analyse:

– O(m) Vergleiche

– O(m) Zeiger f¨ur Rekonstruktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.7: Spaltenreduktion

• Input: monotone n × m Matrix A, m ≥ n

• Output: monotone n × n Matrix A⁰

• Zeilenmaxima von A⁰ und A identisch

• Analyse:

– O(m) Vergleiche

– O(m) Zeiger f¨ur Rekonstruktion

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 12

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix T ⁿ₂

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix T ⁿ₂ – Rekonstruktion (Zeiger) Zeilenmaxima von C

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix T ⁿ₂ – Rekonstruktion (Zeiger) Zeilenmaxima von C O(m)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix T ⁿ₂ – Rekonstruktion (Zeiger) Zeilenmaxima von C O(m) – Berechnung Zeilenmaxima von B

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13

Alg. 1.8: Zeilenmaxima

• Input: monotone n × m Matrix B

• Output: alle linkesten Zeilenmaxima max(i), 1 ≤ i ≤ n

• Algorithmus:

– C Zeilen von B mit geradem Index O(n) – C⁰ durch Spaltenreduktion(C) O(m)

– Rekursiv: Zeilenmaxima(C’), ⁿ₂ × ⁿ₂ Matrix T ⁿ₂ – Rekonstruktion (Zeiger) Zeilenmaxima von C O(m) – Berechnung Zeilenmaxima von B O(m)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 13















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Berechnung Zeilenmaxima von B















x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x















O(m) Schritte !!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 14

Gesamtbeispiel

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











5 4 3 2 1 0 1 7 3 9 4 3 4 6 5 8 6 7

1 4 2 6 7 8











Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8











Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8











Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

9 3

6 8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

9 3 6 ⇒8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Zeilenreduktion:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Zeilenreduktion: 6 8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Zeilenreduktion: 6 8

Spaltenreduktion:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Zeilenreduktion: 6 8

Spaltenreduktion: 8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Gesamtbeispiel











⇒5 4 3 2 1 0 1 7 3 ⇒9 4 3 4 6 5 ⇒8 6 7 1 4 2 6 7 ⇒8









 Zeilenreduktion:

1 7 3 9 4 3 1 4 2 6 7 8

Spaltenreduktion:

⇒9 3 6 ⇒8

Zeilenreduktion: 6 8

Spaltenreduktion: ⇒8

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 15

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

≤ T

n 4

+ C

m + n 2

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

≤ T

n 4

+ C

m + n 2

... ...

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

≤ T

n 4

+ C

m + n 2

... ...

≤ T(1) + C



m + n

logn

X

i=1

1 2ⁱ





Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

≤ T

n 4

+ C

m + n 2

... ...

≤ T(1) + C



m + n

logn

X

i=1

1 2ⁱ



 ∈ O(m)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.20: Maxima f¨ ur monotone Matrizen

Laufzeitanalyse:

T(m) ≤ T

n 2

(Rek.) + C × m (Sp.Red.+ Rekonstr. + Ber.)

≤ T

n 4

+ C

m + n 2

... ...

≤ T(1) + C



m + n

logn

X

i=1

1 2ⁱ



 ∈ O(m)

Nur O(m) viele Vergleiche!!!

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 16

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

• n × n Matrix A (symbolisch)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

• n × n Matrix A (symbolisch)

• Preprocessing Guibas/Hershberger O(n)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

• n × n Matrix A (symbolisch)

• Preprocessing Guibas/Hershberger O(n)

• Zeilenmaxima von A mit O(n) Vergleichen

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

• n × n Matrix A (symbolisch)

• Preprocessing Guibas/Hershberger O(n)

• Zeilenmaxima von A mit O(n) Vergleichen

• Je Vergleich O(log n) Aufwand f¨ur Wert

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

Theorem 1.21: Durchmesser eines Polygones

• n × n Matrix A (symbolisch)

• Preprocessing Guibas/Hershberger O(n)

• Zeilenmaxima von A mit O(n) Vergleichen

• Je Vergleich O(log n) Aufwand f¨ur Wert

• Gesamtlaufzeit: O(n log n)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 17

1.2.4 Shortest Watchman Routes

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem,

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

• Polygonale Szene: NP-hart Theorem 1.22

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

• Polygonale Szene: NP-hart Theorem 1.22

• Beweis: TSP reduzieren auf SWR

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

• Polygonale Szene: NP-hart Theorem 1.22

• Beweis: TSP reduzieren auf SWR

s

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

• Polygonale Szene: NP-hart Theorem 1.22

• Beweis: TSP reduzieren auf SWR

s

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

1.2.4 Shortest Watchman Routes

• Agent mit Sichtsystem, Startpunkt s

• Route: Einmal alles sehen und zur¨uck

• Tour: Einmal alles sehen (offen)

• Polygonale Szene: NP-hart Theorem 1.22

• Beweis: TSP reduzieren auf SWR

s

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 18

Polynomiell innerhalb einfacher Polygonen

Offline Bewegungsplanung 27.10.14 K¨urzeste Wege cElmar Langetepe WS ’1415 19