Offline Bewegungsplanung: Translation und Rotation

(1)

Offline Bewegungsplanung: Translation und Rotation

Elmar Langetepe University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 6.1.15 Kollisionsfreie Wege cElmar Langetepe WS ’1415 1

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Jetzt: Translation und Rotation!

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Konvexer Roboter, m Ecken

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Polygonale Szene, n Ecken

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Bewegung, Translation und Rotation gleichzeitig

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Startpunkt S, Endpunkt T

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Kollisionsfreie Bewegung?

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Wie aufwendig ist die Berechnung? Untere Schranke!

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Jetzt: Translation und Rotation!

• Wie aufwendig ist die Berechnung? Untere Schranke!

• Kann ich einen Weg angeben? Obere Schranke!

(10)

Kapitel 2.3 Beispiel!

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Kapitel 2.3 Beispiel!

Bewegung von A nach B mit Rotation und Translation

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Kapitel 2.3 Beispiel!

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

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Kapitel 2.3 Beispiel!

s

t

(53)

Untere Schranke! Th. 2.25

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Liniensegment bewegen

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Von s nach t in Szene mit n Kanten

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Untere Schranke! Th. 2.25

s

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Untere Schranke! Th. 2.25

s

t

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Mindestens Ω(n²) Bewegungsschritte

s

t

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Translation, Rotation im Wechsel

s

t

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Konstruktiv!

s

t

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Untere Schranke! Th. 2.25

• Konstruktiv!

s

t

(62)

Untere Schranke! Th. 2.24

(63)

Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

LowerBound.html

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

LowerBound.html

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

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Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

(83)

Untere Schranke! Th. 2.24

2

3 4 5

6 7

7 5 3 6 4

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

12

(84)

Untere Schranke! Th. 2.24

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(85)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Einen B Block ¨uberwinden,

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(86)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Einen B Block ¨uberwinden, in die Kerbe

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(87)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Dazu: Sukzessive Reihe von A Bl¨ocken ¨uberwinden

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(88)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Dazu: Sukzessive Reihe von C Bl¨ocken ¨uberwinden

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(89)

Untere Schranke! Th. 2.24

• N¨achster B Block: zur¨uck!!

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(90)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Ω(n) f¨ur jeden B-Block!

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(91)

Untere Schranke! Th. 2.24

• Ω(n) f¨ur jeden B-Block! n Bl¨ocke: Ω(n²)

6

L

C B A

2 3 4 6 7

1 5

123 45

67

1 5 3 4

2

(92)

Berechne 3D Konfigurationsraum? Ein Hindernis!

θ

Konfigurationsraum Arbeitsraum

CP_i

R P

x

y

y x

(93)

Ideen!

(94)

Ideen!

• Konfigurationsraum berechnen:

(95)

Ideen!

– Problem: Kurven als Kanten

(96)

Ideen!

• Diskrete Orientierungen:

(97)

Ideen!

• Diskrete Orientierungen: θ_i = i · ³⁶⁰_k ^◦, 0 ≤ i ≤ k − 1

(98)

Ideen!

• Diskrete Orientierungen: θ_i = i · ³⁶⁰_k ^◦, 0 ≤ i ≤ k − 1 – Vereinigung

(99)

Ideen!

– Problem: (x, y, θ_i), (x, y, θ_i+1) in C_frei , dazwischen nicht!

(100)

Ideen!

– Abhilfe: Vergr¨oßern!

(101)

Ideen!

– Abhilfe: Vergr¨oßern!

– Keine Korrekte Bahnplanung!

(102)

Kritische Platzierung: 2.3.1

(103)

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Ansatz: Wann ¨andert sich der Konfigurationsraum substantiell

(104)

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Neue Kante, neuer Knoten

(105)

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Definition: Kritische Platzierungen

(106)

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Zum Beispiel bei Kontakten mit Hindernissen!

(107)

Kritische Platzierung: 2.3.1

• Zum Beispiel bei Kontakten mit Hindernissen!

S1W1

W3 W2 S3

S2 R

S1W1

W3 W2 S3

S2 R

(108)

Anderung des Konfigurationsraumes! ¨

Auch bei Wechsel parallel und nicht-parallel! Neue Knoten

θ

Konfigurationsraum Arbeitsraum

CP_i

R P

x

y

y x

(109)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

(110)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

R konvexer Roboter m Ecken, P_i polygonale Hindernisse

(111)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

R konvexer Roboter m Ecken, P_i polygonale Hindernisse Kontaktpaar O = (W, S),

(112)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

R konvexer Roboter m Ecken, P_i polygonale Hindernisse Kontaktpaar O = (W, S), W ber¨uhrt S

(113)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

i) W ist eine Hinderniskante und S eine Roboterecke (Typ I) oder ii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterkante (Typ II) oder iii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterecke (Typ III)

(114)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

Freie Plazierung (x, y, θ):

(115)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

Freie Plazierung (x, y, θ): Kritische Plazierung

(116)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

Freie Plazierung (x, y, θ): Kritische Plazierung

• drei paarweise verschiedene Kontaktpaare vom Typ I oder II oder

• Kontaktpaar vom Typ III und Kontaktpaar vom Typ I oder II

(117)

Kritische Platzierungen Def.: 2.27

W₃ R

S₁ W₁

W₃

(i) (ii) (iii)

W₂ S₂

P₂ S₃

S₃

W₃

R W S R

S W

P₃

P₁ P₁

P₁

P₃

(118)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

(119)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Jede Zelle von C_{f rei} besitzt Krit. Platzierung!

(120)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

(121)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(122)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

(123)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(124)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(125)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

(126)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

(127)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(128)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

(129)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk

(130)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk 1.

(iii)

(131)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk 1.

(iii)

Pi

(132)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk 1.

(iii)

Pi

(iii)

(133)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk 1.

(iii)

Pi

(iii)

Pj

Pi

(134)

Zelle C

_{f rei}

: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28

Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii) Pi

Pk

(iii)

Pk 1.

(iii)

Pi

(iii)

Pj

Pi

(iii)

(135)

Kurven in C

_{f rei}

! Bem. 2.29

(136)

Kurven in C

_{f rei}

! Bem. 2.29

• Zwei Kontakte behalten

(137)

Kurven in C

_{f rei}

! Bem. 2.29

• Kurve eines Referenzpunktes (x, y)

K O2 O1

R

(138)

Kurven in C

_{f rei}

! Bem. 2.29

• Kurve eines Referenzpunktes (x, y)

K O2 O1

R