1 Maxwellsche Gleichungen

(1)

Maxwellsche Gleichungen

Bisher: Elektrostatik im Vakuum (keine Felder in Materie), keine Magnetfelder

differenzielle Form ↔ integrale Form

Gauß

 

0 0 0

Stokes

( )

0 0

A V

r r Q

E E da dV

E E dr

 

  

      

    

 



Verschiedene Ladungsverteilungen

bisher: Punktladung, homogen geladener Stab, Plattenkondensator (i) Geladene Hohlkugel mit konstanter Flächenladungsdichte s

 

   

2

0 0

0

4 : 4 1

4 1

4 : 0 0 const 1

4

A

r

A

Q R

Q Q

r R E dA E r E r

r r E r dr Q

r

r R E dA E r r Q

R

 s

   

  



  

       



  



      





(2)

2 (ii) Geladene Vollkugel mit konstanter Ladungsdichte 

   

 

3

2

0 0 0

3 2

3 3

0 0

2 2

3 3

0 0

4 3

1 1

: 4

4 4

: 4

4 const 3

4 2 4 2 2

A

Q R

Q Q Q

r R E dA E r E r r

r r

Q r Q r

r R E dA E r E r

R R

Q r Q r

r R R R

 

 

    

   

    

  

        

 

        



 

          



 

0

0 0

1 4

1 1

const

4 4 2

R Q

R

Q Q

R R

  

   

 

 

 

(iii) Elektrisches Feld an geladenen Flächen

"Gauß-Box" mit unterer/oberer Fläche A, Stirnflächen ≈ 0, Flächenladung s , Normalvektor n nach oben:

Normalkomponente des E-Felds springt um s / 

₀

(Spezialfall unendlich ausgedehnte Platt s. letzte Vorlesung)

Linienintegral mit Tangentialvektor t : Tangentialkomponente ist stetig an einer Flächenladung vgl. Gravitationsfeld und -potenzial



² ¹



² ¹

0 0

2A

E da n E E A s A E E s



^ ^



       





² ¹



² ¹

0 E dr    E  E  t  E  E



(3)

 

D 3 3

0

4 3 3

0 0

1 1

( ) grad ( ) grad grad( )

4 1 1

cos 3 3 cos

4 4

r

E r r q r d r d

r r e

q r d d p e p

r r r

p q d

  

 

   

 

             

 

               

 

D 3 2

0 0 0

1 1

( ) cos

4 / 2 / 2 4 4

q q r d q d

r r d r d r r

 

     

  

 

   

        

(iv) Elektrischer Dipol q

₁=



q₂= q

Potenzial

weil

Elektrisches Feld

r1

r2

r

 d

elektrisches Dipolmoment

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 2

/ 2 ( / 2) 1 / / (4 )

r d

r r

r d r d r r d r d r

  

    

      

Drehmoment eines elektrischen Dipols in einem äußeren homogenen elektrischen Feld D        d F d q E p E

Kraft auf einen elektrischen Dipol in einem äußeren inhomogenen elektrischen Feld

 ⁽ ⁾ ^{( )}  ^dE ^dE

F q E r d E r q d p

dr dr

         zum Beispiel: x-Komponente

grad

^x ^x ^x

x x x y z

E E E

F p E p p p

x y z

  

       

  

(4)

4 1.6 Der Kondensator

Ein Kondensator speichert Ladungen und damit auch Energie in einem elektrischen Feld. Kondensatoren bestehen i.d.R. aus zwei leitenden Objekten. Beispiele:

- Leidener Flasche (historisch) - Plattenkondensator

- Kugelkondensator (zwei konzentrische Kugelflächen) - Drehkondensator (variable Fläche)

In der Elektronik verwendete Kondensatoren bestehen i.d.R. aus aufgerollten Platten (große Fläche, kleiner Abstand) mit einem "Dielektrikum" zwischen den Platten (Material, das bewirkt, dass bei gegebener Spannung mehr Ladung im Kondensator gespeichert wird, s. später).

Generell: Je höher die elektrische Spannung (Potenzialunterschied), desto höher die Ladung:

Leidener Flasche (um 1800)

  1 F (Farad) V

1 C 





 C U C

Q Kapazität

  ^x ^a ^x ^b

x a

x         



 



 



 

   

integriert integriert

2 2

(Laplace)

0 Plattenkondensator Plattenabstand d = x

₂



x₁

Ansatz mit 1-dim. Laplace-Gleichung führt

zu einem linearen Verlauf des Potenzials:

(5)

0

0 0 0

grad

const E

E U

x d

Q Q d Q A

E U C

A A U d



s 

  

 

    



       

 

(weiter oben gezeigt s. Gaußsches Gesetz)

große Fläche, kleiner Abstand

→ große Kapazität

Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren am Beispiel von Plattenkondensatoren



 



i i

U C Q

C U Q

C U

C Q

1 1

C : 1 Reihe in

1 : parallel

gesamt gesamt

(6)

6 Experimente mit Plattenkondensatoren

Mit zwei verschiedenen Plattenkondensatoren (s. Abb. rechts) und Messgeräten (Messung der elektrischen Feldstärke oben, Messung der Ladung auf einer Kondensatorplatte unten) wurden Versuche durchgeführt. Qualitativ wurde gezeigt:

- die elektrische Feldstärke erhöht sich, wenn die angelegte Spannung erhöht wird (weil damit auch die Ladung auf den Kondensatorplatten größer wird).

- die elektrische Feldstärke erhöht sich, wenn der Plattenabstand verkleinert wird (weil damit die Kapazität und bei fester

Spannung wieder die Ladung größer wird).

- die Ladung auf den Kondensatorplatten wird größer, wenn der Plattenabstand verkleinert wird.

Quantitativ folgten die angezeigten Werte nicht immer der Erwartung. Ein möglicher Grund ist eine "Streukapazität", die neben der Kapazität der Platten existiert und durch die Geometrie der Anordnung (Zuleitungen, Standfuß etc.) erzeugt wird.

Experiment: Funkenentladung

An zwei metallische Kugeln, die einer geerdeten Platte gegenüber stehen, wird die gleiche Hochspannung angelegt. Durch

demokratischen Beschluss wurde entschieden, dass eine

Entladung (Funke wie in Abb. rechts) zuerst von der kleinen

Kugel ausgehen müsse, was tatsächlich der Fall war (Erklärung

folgt später nach Berechnung der Kapazität einer Kugel) .

(7)

Symbole für Kondensatoren (Auswahl) allgemein

gepolter Kondensator

Drehkondensator

(ohne Hilfsmittel einstellbar)

Trimmkondensator

(mit Hilfsmittel einstellbar)

(alt)

Experiment zur Bestimmung der Dielektrizitätskonstanten

Durch die direkte Ladungsmessung am Plattenkondensator kann die Dielektrizitätskonstante 

₀

bestimmt werden:

mit der Fläche A = 510,4 cm

²

und Plattenabstand d von 1 bis 8 mm.

Die Ladung Q wird über einen Präzisionskondensator elektronisch bestimmt und als Gleichstrom angezeigt (1 mA entspricht 1 nC). Die ermittelten Werte für 

₀

(blaue Kurve) ähneln dem Literaturwert (gestrichelte Linie), nehmen aber mit d zu. Diese Abhängigkeit wird durch Einführung einer Streukapazität C