5. Ideale Bose-Systeme

(1)

5. Ideale Bose-Systeme

1 5.1 Ideales Bose-Gas

Grenzwert hoher Temperaturen

Grenzwert niedriger Temperaturen (Bose-Einstein-Kondensation)

2 5.2 Photonen

3 5.3 Phononen

G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I – Kapitel 5 10. Mai 2016 1 / 35

(2)

5.1 Ideales Bose-Gas

N Teilchen in einem Volumen V = L

³

, periodische Randbedinungen H ˆ =

N

X

i=1

H ˆ

_i

Einteilchen-Hamilton-Operator H ˆ

i

=

_2m¹ p

ˆ

²_i

, i = 1, · · · , N Einteilcheneigenfunktionen (in der Ortsdarstellung)

Ψ

i

(r) = Ψ

k,ms

(r) = 1

√ V

e^ikr

mit m

s

= −s , · · · , s

Sei

k

=

^2π_L

(n

_x,n_y,n_z

) mit n

_α

∈

Z

und α = x, y, z ;

n_α

heißen Quantenzahlen

Dann beschreibt

i

= [k, ˆ m

s

] ˆ = [(n

x

, n

y

, n

z

), m

s

] Einteilchenzustand Einteilcheneigenwerte

_i

=

~²k²

2m

(3)

Thermodynamik

J = k

B

T

X

i

ln (1 − exp[−β(

_i

− µ)])

= k

_B

T

g

|{z}

=(2s+1)

X

{n_x,ny,nz}

ln

1 − exp[−β(

~²

2m

k²

− µ)]

g ist der Entartungsgrad

Wegen ∆kα= ^2π_L∆nα,α=x,y,z, wird ∆kαf¨ur großeLsehr klein Somit

J ∼ kBTg L

2π ³Z

R³

dkln

1−exp[−β(~²

2mk²−µ)]

+Jk=0

= k_BTg L³ 8π³4π

| {z }

V 2π2

Z ∞

0

dkk²ln

1−exp[−β(~²

2mk²−µ)]

+J_k₌₀

mit = ~²k²

2m ; k = 2m

~²

^1/2

; d=~²

mkdk; k²dk =√ d

2m

~² ^3/21

2

(4)

folgt schließlich

J = k

_B

Tg Vm

^3/2

√ 2π

²~³ Z ∞

0

d √

ln (1 − exp[−β ( − µ)]) +

J=0

=

= − 2 3

Vm

^3/2

√ 2π

²~³

g

Z ∞ 0

d

^3/2

exp[β ( − µ)] − 1 +

k_BTg

ln(1

−

exp[βµ])

wobei der letzte Term von Gleichung (1) f¨urk= 0 (bzw.= 0) herr¨uhrt Bemerkungen

Zahl der Zust¨ande, Ω_[₁_,₂_], mit Energie∈[₁, ₂] ist gegeben durch

Ω_[₁_,₂_] = X

{nx,n_y,n_z};mitk=^2π_L(n_x,n_y,n_z)und ^~_2m²^k²∈[1,₂]

1∼ Z 2

1

dD()

∼ L

2π

³Z k₂(₂)

k1(1)

dk= V 2π²

Z k₂(₂)

k1(1)

dkk²

= V

2π² 1 2

2m

~²

^3/2Z ₂

1

d√ = V

4π²

2m

~²

^3/2Z ₂

1

d√

(5)

Daraus folgt (eine m¨ ogliche Entartung ist in

D() nicht ber¨

ucksichtigt !)

D()

ˆ =

Z

0

d

⁰

D(

⁰

) = 2 3 D() Thermodynamik (Version 1)

J = −PV = − 2 3

Vm

^3/2

√ 2π

²~³

g

Z ∞ 0

d

^3/2

exp[β( − µ)] − 1 +

+

kBTg

ln (1

−

exp[βµ])

= −g

Z ∞

0

d D()f ˆ

_BE

() +

kBTg

ln (1

−

exp[βµ]) hNi

_g

= k

B

T ∂

∂µ ln Z

g

= − ∂J

∂µ = · · · (muehsam) · · · =

= V

4π

²

2m

~² 3/2

g

Z ∞

0

d

√

exp[β ( − µ)] − 1 +

g z

1

−z

= g

Z ∞

0

d D()f

_BE

() +

g z

1

−z mit

z = exp[βµ]

(6)

hE i

_g

= −

∂

∂β ln Z

_g

µ,V

+ µhNi

_g

= · · · (muehsam) · · · =

= Vm

^3/2

√ 2π

²~³

g

Z ∞

0

d

^3/2

exp[β( − µ)] − 1 + 0

= g

Z ∞

0

d D()f

_BE

() Bemerkungen

Aus den Ausdr¨ ucken f¨ ur PV und hE i

_g

folgt bei hohen Temperaturen PV = 2

3 hE i

_g

¨ ahnlich dem Gesetz f¨ ur das klassische ideale Gas Aber

hE i

_g6=

3 2 hNi

_g

k

_B

T

(7)

Thermodynamik (Version 2)

J = −PV = −gV k

_B

T

Λ

³ g_5/2(z)

+

kBTg

ln(1

−z

) hNi

_g

= g V

Λ

³g_3/2(z)

+

g z

1

−z

hE i

_g

= 3

2 gV k

_B

T

Λ

³ g_5/2(z)

+ 0 mit

Λ =

s

h

²

2mπk

B

T und (vergleiche Formelsammlung!)

g

ν

(z ) = 1 Γ(ν)

Z ∞ 0

dx x

^ν−1 e^x

z

⁻¹

− 1

(8)

5.1 Ideales Bose-Gas Grenzwert hoher Temperaturen

5.1.1 Grenzwert hoher Temperaturen Ist T groß,

dann gilt (ohne Beweis) µ→ −∞;

somit ist z = exp[βµ] 1 und es gilt J = −PV = −gV k

_B

T

Λ

³

g

_5/2

(z ) ∼ −gV k

_B

T Λ

³

z + z

²

2

^5/2

+ · · ·

hNi

_g

= g V

Λ

³

g

_3/2

(z) ∼ g V Λ

³

z + z

²

2

^3/2

+ · · ·

hEi

_g

= 3

2 gV k

_B

T Λ

³

z + z

²

2

^5/2

+ · · ·

Nun wird aus der Gleichung f¨ ur hNi

_g

n¨ aherungsweise (iterativ) ein Zusammenhang zwischen z (bzw. µ) und hNi

_g

hergestellt

z ∼ Λ

³

Vg hNi

_g

− 1 2

^3/2

Λ

³

Vg hNi

_g

2

+ · · ·

∼ Λ

³

Vg hNi

_g

1 − 1

2

^3/2

Λ

³

Vg hNi

_g

= exp[βµ]

(9)

5.1 Ideales Bose-Gas Grenzwert hoher Temperaturen

Somit

−J = PV ∼ gV Λ

³

k

B

T

z

1 +

z

2

^5/2

∼ hNi

_g

k

B

T

1 − Λ

³

2

^5/2

1 g

hNi

_g

V

Daher: durch Symmetrisieren erfolgt eine Verringerung des Drucks im Vergleich zum idealen Gas, die wiederum einer Anziehung der Teilchen entspricht (”Clusterbildung”)

(10)

5.1 Ideales Bose-Gas Grenzwert niedriger Temperaturen (Bose-Einstein-Kondensation)

5.1.2 Grenzwert niedriger Temperaturen (Bose-Einstein-Kondensation)

◦

erstmals vorhergesagt von Bose (1924) und Einstein (1925)

◦

erstmals experimentell verifiziert in Boulder (Colorado) und am MIT (1995)

◦

Nobelpreis 2001: E.A. Cornell, C.E. Wiemann, W. Ketterle

hohe Temperaturen Bose-Teilchen sind entsprechend der BE-Verteilung auf dem gesamten Spektrum der Energien verteilt

↔

Phasen¨ ubergang sehr tiefe Temperaturen niedrigster Energiezustand makroskopisch besetzt

(11)

Verfeinfachungen f¨ ur die weiteren Rechnungen:

◦

s = 0 ⇒ g = 1

◦

hNi

_g

⇒ N

◦

hE i

_g

⇒ E

Wir betrachten thermodynamischen Grenzwert bei fester Temperatur T N → ∞ V → ∞

mit

N/V =

ρ

=

const.

Somit

N = V

Λ

³

g

_3/2

(z) + z

1 − z = N 1

Λ

³ρ

g

_3/2

(z ) + z

1 − z =

N⁰

+

N0

Beachte: damit aber die hn

_i

i

_g

> 0, muß µ ≤

0

= 0 und somit

z ≤

1 sein

(nisind Besetzungszahlen,0ist das tiefste Energieniveau – vgl. Abschnitt 5.3)

Weiters: die Funktionen g

_3/2

(z ) und g

_5/2

(z ) sind f¨ ur 0 ≤ z ≤ 1 ’brav’ mit

g_3/2

(1)

∼

2.612 und

g_5/2

(1)

∼

1.342

(12)

Diskussion der Beitr¨ age zu

N

◦ N⁰

=

N_Λ¹3ρg_3/2

(z) beschr¨ ankt, da g

_3/2

(z ) f¨ ur 0 ≤ z ≤ 1 beschr¨ ankt

◦ N0

=

_1−z^z

divergiert bei z = 1 Also:

(i)

Wenn

Λ³ρ≤g_3/2(1)

= 2.612, dann ist der Beitrag

_1−z^z

vernachl¨ assigbar wenn N → ∞ und V → ∞

Daher: N

₀

= 0 und alle N Teilchen sind in angeregten Zust¨ anden ( > 0) untergebracht, d.h. N

⁰

= N

Weiters: z ist L¨ osung von N

V = ρ = 1

Λ

³

g

_3/2

(z )

(13)

(ii) WennΛ³ρ >g_3/2(1)= 2.612, dann reichen die angeregten Zust¨ande nicht mehr aus, um alle Teilchen aufzunehmen

N0 ist dannmakroskopisch groß⇒z ∼1 Aus der Bestimmungsgleichung vonN folgt dann

N=N 1

Λ³ρg_3/2(z ∼1) + z 1−z

| {z }

N₀

N0=N

1− 1

Λ³ρg_3/2(1)

∼N

1−CT^3/2 da Λ∼T^−1/2

Zusammenfassend:

Der Ubergang ¨ zwischen den Situationen (i) und (ii) erfolgt bei Λ

³ρ

= g

_3/2

(1) = 2.612

bzw.

k

_B

T

_c

(ρ) = 2π

~²

m

ρ

2.612

2/3

(14)

(i) T >T_c:N=N⁰ und N₀= 0 (ii) T <T_c:N₀=N

1−

T Tc

3/2

undN⁰ =N−N₀

Thermodynamische Eigenschaften

P = k

B

T

Λ

³

g

_5/2

(z ) − 1

V k

B

T ln(1 − z)

(i) T >Tc

P∼k_BT

Λ³ g_5/2(z) mit z aus: ρ= 1

Λ³g_3/2(z) (ii) T <Tc (z ∼1)

P= kBT

Λ³ g_5/2(z = 1)

| {z }

1.342

− lim

V→∞;z→1

1

VkBTln(1−z)

da (ohne Beweis) limV→∞z ∼1−_V¹, verh¨alt sich der zweite Term wie limV→∞ 1

V lnV = 0, somit gilt unabh¨angig vom Volumen P= 1.342kBT

Λ³

(15)

Aus der Bedingung Λ

³

ρ = g

_3/2

(1) = 2.612 folgt weiters V

c

= NΛ

³

2.612 (P

,V

)-Phasendiagram

(i) V >Vc:

P = kBT Λ³ g_5/2(z)

∼ k_BT Λ³

z+ z²

2^5/3+· · ·

(der erste Term entspricht dem idealen Gas) (ii) V <Vc:P=const.

Grenzkurve:

P =

^k^B_Λ3^T

g

_5/2

(1) V

c

= NΛ

³_g ¹

3/2(1)







⇒ · · · ⇒ PV

_c^5/3

= h

²

2mπ

g

_5/2

(1) g

_3/2

(1)

5/3

N

^5/3

(16)

spezifische W¨ arme, W¨ armekapazit¨ at

C

V

= ∂E

∂T

N,V

E = 3 2 V k

_B

T

Λ

³

g

_5/2

(z) wobei nur die angeregten Zust¨ ande beitragen

(i) T >Tc:

N= V

Λ³g_3/2(z) somit

E = 3

2Nk_BTg_5/2(T)

g_3/2(T) ⇒ · · · ⇒C_V =Nk_B 15

4

g_5/2(z) g_3/2(z)−9

4 g_3/2(z) g_1/2(z)

(ii) T <Tc:hier istz = 1, also temperaturunabh¨angig

CV =3

2Vg5/2(z = 1)kB

∂

∂T T

Λ³

= 15

4 kBg5/2(1)V

Λ³ ∼T^3/2

(17)

◦ z →0:klassischer Grenzfall C_V NkB

→ 3 2

◦ T =Tc (z ∼1):

dann divergiertg1/2(1), somit CV

NkB

= 15 4

g_5/2(z∼1)

g_3/2(z∼1) ∼1.925

◦ T <Tc:

CV

Nk_B ∼T^3/2

(18)

5.2 Photonen

Thermische Eigenschaften des Strahlungsfeldes (Photonengas)

Betrachten elektromagnetsiches Feld in einem evakuierten Hohlraum mit Volumen V (= L

³

)

Dieser wird auf eine einheitliche Temperatur T erhitzt; entspricht einem Temperaturbad

W¨ ande emittieren und absorbieren st¨ andig elektromagnetische Strahlung (Photonen); daher:

◦ im Gleichgewicht ist eine gewisse Menge an elektromagnetischer Strahlung (bzw. eine gewisse Zahl von Photonen) im Hohlraum vorhanden

◦ es erfolgt laufend ein Energieaustausch zwischen der elektromagnetischen Strahlung und den W¨anden

(19)

5.2 Photonen

Bemerkungen

Die Wechselwirkung zwischen Photonen ist vernachl¨ assigbar:

Streuquerschnitt ∼ 10

⁻⁵⁴

m

²

;

daraus kann man mittlere Stoßzeit τ absch¨ atzen: τ ∼ 10

⁴⁶

ρ sec m

⁻³

zum Beispiel

T ∼300 K⇒τ∼10³¹ sec T ∼10⁷K ⇒τ ∼10¹⁸sec

daher stellen Photonen ein ideales (also nicht-wechselwirkendes) Quantengas dar

Die Zahl der Photonen ist nicht erhalten, bzw. nicht fixiert bei jeder endlichen Temperatur (also T > 0) k¨ onnen Photonen absorbiert und emittiert werden

⇒

chemisches Potential veliert seine Bedeutung; es wird in der Folge als

µ

= 0 angenommen (bzw.

z

= 1)

Zwei Spineinstellungen (=Polarisationen) sind m¨ oglich,

π

=

±1;

entspricht links- bzw. rechtspolarisierter elektromagnetischer Strahlung

⇒

Entartungsfaktor

g

= 2

(20)

5.2 Photonen

Dispersionsrelation

_k,π

=

_k,π

=

~

ck =

~

ω

_k,π

= c |p|

bzw.

ω

_k,π

= ck System beschrieben durch:

(a)

Hamilton-Operator ˆ

H

E ˆ

_k,π⁽¹⁾

und ˆ B

_k,π⁽¹⁾

sind Operatoren der elektromagnetischen Felder

(vgl. Erg¨anzungen zu Kapitel 5)

H ˆ =

X

k,π

ck 2

E ˆ

_k,π⁽¹⁾

2

+ B ˆ

_k,π⁽¹⁾

2

=

X

k,π

H ˆ

_k,π

H ˆ als Summe von ”Einteilchen”-Hamilton-Operatoren ˆ H

_k,π

Energieeigenwerte

E

_k,π

=

n_k,π

+ 1 2

~

ω

_k,π

wobei

n_k,π

= 0, 1, 2, · · · die Besetzungszahl zum Wellenvektor

k

und zur Polarisation

π

ist

(21)

5.2 Photonen

(b)

Besetzungszahloperator ˆ

N_k,π

, ˆ 1 ist der Einheitsoperator H ˆ =

X

k,π

N ˆ

_k,π

+ 1 2 ˆ 1

~

ω

_k,π

N

ˆ

_k,π

ist der Besetzungszahloperator zum Wellenvektor

k

und zur Polarisation

π

Thermodynamik

Berechnung ¨ uber die ”kanonische” Zustandssumme

Z⁰ Z⁰

=

X

{n_k}

exp



−βX

k,π

E

_k,π





=

X

{n_k}

exp



−βX

k,π

(n

_k,π

+ 1/2)

~

ω

_k





= Π

_k





∞

X

nk=0

exp [−β(n

_k

+ 1/2)

~

ω

_k

]





2

= Π

_k





exp

h

−β

^~^ω₂^ki

1 − exp [−β~ω

_k

]





2

(22)

5.2 Photonen

F⁰

= −k

_B

T ln

Z⁰

= −k

_B

T

X

k

2 ln

h

exp

h

−β

~

ω

_k

2

i

(1 − exp[−β

~

ω

_k

])

⁻¹i

= 2

X

k

~

ω

_k

2 + 2k

_B

T

X

k

ln (1 − exp[−β

~

ω

_k

])

E⁰

= − ∂

∂β ln

Z⁰

= 2

X

k

~ω_k

2 + 2

X

k

~

ω

_k

exp[~βω

k

] − 1 Der Term 2

P

k~ωk

2

entspricht einer unendlich großer Nullpunktsenergie und wird im folgenden weggelassen (E

⁰ ⇒E)

somit

E

= 2

X

k

~

ω

_k

exp[

~

βω

_k

] − 1 =

X

k,π

n_k,π_k

wobei

n_k,π

die Besetzungszahl des Zustandes

{k, π}

ist n

_k,π

= (exp[

~

βω

_k

] − 1)

⁻¹

(23)

5.2 Photonen

Daraus folgt die mittlere Photonenzahl

N

N =

X

k,π

(exp[

~

βω

_k

] − 1)

⁻¹

Kontinuumslimit:

ist L groß, dann ist bei periodischen Randbedingungen ∆k

_α

= 2π

^∆n_L^α

(α = x, y , z ) klein; somit

E = 2

X

k6=0

~

ω

_k

exp[

~

βω

_k

] − 1 ∼ 2 V (2π)

³

Z

R³

d

k ~

ω

_k

exp[

~

βω

_k

] − 1

= 2 · V (2π)

³

4π

Z ∞ 0

k

²

dk

~

ck exp[β

~

ck ] − 1

| {z }

1 β(β~c)3

Z ∞ 0

x

³

dx

e^x

− 1

| {z }

g4(1)=π4/15

= π

²

15 V (

~

c )

³

β

⁻⁴

(24)

5.2 Photonen

kalorische Zustandsgleichung

E = π

²

k

_B⁴

15(

~

c )

³

VT

⁴

= aVT

⁴ Stefan−Boltzmann

−

Gesetz

(1879!) a = 7.567 10

⁻¹⁶Jm⁻³K⁻⁴

ist die Strahlungskonstante

σ = ac /4 = 5.67 10

⁻⁸Js⁻¹m⁻²K⁻⁴

ist die Stefan-Boltzmann Konstante thermische Zustandsgleichung

(folgt aus P = −(∂F /∂V )

_T

mit V ⇔ k) P = 1

3 aT

⁴

woraus sich die

E

= 3PV ergibt (⇔ Dispersionsrelation !) weiters (ohne Rechnung):

C

_V

= 4aVT

³

S = 4 3 aVT

³

(25)

5.2 Photonen

mittlere Teilchenzahl

N =

X

k,π

(exp[β

~

ω

_k

] − 1)

⁻¹

∼ 2 · 4π V (2π)

³

Z ∞ 0

k

²

dk 1 exp[β

~

ck] − 1

| {z }

1 (β~c)3

Z ∞ 0

x

²

dx

e^x

− 1

| {z }

g3(1)

= 1

π

²

k

B

~

c

3

g

3

(1)VT

³

∼ 0.244 k

B

~

c

3

V

T³

E ∼ V π

²

Z ∞ 0

k

²

dk

~

ck

exp[βc

~k]

− 1 = [ω = ck ; ω = c 2π/λ] =

= V

Z ∞ 0

e_ω

(ω,

T

)d ω = V

Z ∞

0

e_λ

(λ,

T

)d λ

(26)

5.2 Photonen

mit

e_ω

(ω,

T

) =

~

π

²

c

³

ω

³

exp[β

~

ω] − 1

Planck

(1900) bzw.

e_λ

(λ,

T

) = 8πhc λ

⁻⁵

exp[βhc/λ] − 1

Jene Frequenz, bei der e

ω

(ω, T ) maximal ist, ergibt sich aus

∂

∂ω e

_ω

(ω, T ) = 0 somit

~ωmax

∼ 2.821k

_BT

Verschiebungsgesetz vonWien

(1893/1894)

ω eω

λ eλ

(27)

5.2 Photonen

N¨ aherungen f¨ ur e

_ω

(ω, T ) (bereits vor Planck bekannt) Rayleigh-Jeans (1900 - 1905)

β~ω

1 ⇒ exp[β

~

ω] − 1 ∼ β

~

ω somit

e_ω

(ω,

T

) ∼ k

_B

T π

²

c

³

ω

²

hergeleitet aus der klassischen Theorie der elektromagnetischen Wellen; e

_ω

(ω, T ) divergiert mit ω

²

⇒ Ultraviolett-Katastrophe Wien (1896)

β~ω

1 ⇒ exp[β

~

ω] − 1 ∼ exp[β

~

ω]

somit

eω

(ω,

T

) ∼

~

ω

³

π

²

c

³

exp[−β

~

ω]

(28)

5.3 Phononen

Quantisierung der Hamilton-Funktion in Normalkoordinaten

(vgl. Erg¨anzungen zu Kapitel 5)

H ˆ =

3N

X

i=1

H ˆ

_i mit Energieeigenwerten

E

_i

=

n

_i

+ 1 2

~

ω

_i

Dieser Hamilton-Operator entspricht dem Operator eines Systems von 3N unabh¨ angigen (nicht-wechselwirkenden) Oszillatoren

Somit:

der Zustand des Systems ist durch den Satz

{n₁,n2,· · · ,n_3N}

charakterisiert, wobei n

_i

= 0, 1, 2, · · ·

die Gesamtenergie des Zustands ist durch E

_{n₁_,n₂_,···_,n_3N_}

=

3N

X

i=1

(n

_i

+ 1/2)

~

ω

_i

gegeben

(29)

5.3 Phononen

Berechnung der Thermodynamik

Z

=

X

{n₁,n2,···,n_3N}

exp

"

−β

3N

X

i=1

(n

_i

+ 1/2)

~

ω

_i

#

=

X

{n1,n2,···,n_3N}

Π

^3N_i=1

exp [−β (n

i

+ 1/2)

~ωi

]

= Π

^3N_i=1

∞

X

ni=0

exp [−β (n

_i

+ 1/2)

~

ω

_i

]

| {z }

exp[−β~ωi/2]

1−exp[−β~ωi]

ln

Z

=

3N

X

i=1

ln (exp[−β

~

ω

_i

/2]) −

3N

X

i=1

ln (1 − exp[−β

~

ω

_i

])

F

= −k

_B

T ln

Z

= 1 2

3N

X

i=1

~

ω

_i

+ k

_B

T

3N

X

i=1

ln (1 − exp[−β

~

ω

_i

])

(30)

5.3 Phononen

E

= − ∂

∂β ln

Z

= 1 2

3N

X

i=1

~

ω

_i

| {z }

E0 (endlich)

+

3N

X

i=1

~

ω

_i

exp[β~ω

i

] − 1

Einf¨ uhrung der Zustandsdichte

g

(ω) [fr¨ uher D(ω)]

g

(ω)d

ω

ist die Zahl der Normalmoden mit Frequenz aus [ω, ω +

dω]

mit

der Normierung

Z ∞

0

g (ω)d ω = 3N

weiters wird ein

ωmax

eingef¨ uhrt, wobei

g

(ω) = 0 f¨ ur

ω > ωmax

somit

E ∼ E

₀

+

Z ∞

0

d ωg (ω)

~

ω exp[β

~ω]

− 1 mit

E

0

∼

Z ∞

0

d ωg (ω) 1 2

~ω

(31)

5.3 Phononen

Somit ergibt sich f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at C

_V

=

∂E

∂T

N

= k

_B

β

² Z ∞

0

d ωg (ω)

~²

ω

²

exp[β

~

ω]

(exp[β

~

ω] − 1)

²

Ist

T

groß, dann ist

β~ω

1 und somit exp[β

~

ω] ∼ 1 + β

~

ω + · · · ; dann gilt

C_V

= k

_B Z ∞

0

d ωg(ω) = 3Nk

_B Gesetz von Dulong−Petit

(1819) N¨ aherungen bzw. Annahmen f¨ ur

g

(ω)

(i)

Einstein-N¨ aherung

g

E

(ω) = 3Nδ(ω − ω

E

) somit ist

E

= 3N 1

2

~ωE

+3N~ω

E

1 exp[β

~

ω

E

] − 1 = 3N~ω

E

1 2 + 1

exp[β

~

ω

E

] − 1

(32)

5.3 Phononen

CV

= ∂E

∂T

N

= · · · = 3Nk

B

(β~ω

E

)

²

exp[β~ω

E

] (exp[β

~

ω

_E

] − 1)

²

f¨ ur

k_BT ~ω_E

gilt

C

_V

∼ 3Nk

_B

(β

~

ω

_E

)

²

exp[−β

~

ω

_E

]

bzw.

lim

T→0

C

_V

= 0 Experiment: anderes funktionales Verhalten wird beobachtet

(ii)

Debye-N¨ aherung

Annahmen:

◦ Phononen durchWellenvektorkaus demreziproken Gitterund durch denPolarisationsindexp= 1,2,3 charakterisiert

◦ ω_i ⇒ω_k,p=ck, d.h.nur akustische Moden (c_l,c_t)

◦ alle Phononen mitω_k,p≤ω_max=ω_D treten auf

(33)

5.3 Phononen

dann ist

g

_D

(ω) =

X

k,p

δ(ω − ω

_k,p

)

∼

L

2π

3Z

R³

d

k

[δ(ω − c

_l

k) + 2δ(ω − c

_t

k)]

= V

8π

³

4π

Z ∞

0

k

²

dk [δ(ω − c

_l

k) + 2δ(ω − c

_t

k)]

= V

2π

²

ω

²

1 c

_l³

+ 2 c

_t³

wegen

Z ωD

0

g

_D

(ω)d ω = 3N folgt

ω

_D³

= 18N V π

²

1 c

_l³

+ 2

c

_t³ −1

(34)

5.3 Phononen

somit

g_D

(ω) =

(

9N

_ω^ω3² D

ω ≤ ω

D

0 ω > ω

D

f¨ ur die Energie E ergibt sich E = 1

2

Z ωD

0

d ω

~

ω9N

ω² ω_D³

+

Z ωD

0

d ω

~

ω

exp[β

~

ω] − 1 9N

ω² ω_D³

= E

0

+ 9N (k

_B

T )

⁴

(

~

ω

_D

)

³

Z β~ωD

0

dx x

³

exp(x) − 1

= E

₀

+ 3Nk

_B

T

D

(β

~ω_D

)

D(x)

≡

_x³3

Rx

0

dx

⁰_exp(x^x⁰³0)−1

heißt Debye-Funktion (x = β

~

ω

_D

)

(35)

5.3 Phononen

Grenzwerte

◦ kBT ~ωD, d.h.,x1; dann ist

D(x)∼π⁴ 5 x⁻³ und weiters

E =E0+3

5π⁴N(kBT)⁴ (~ωD)³ CV = 12

5 π⁴N k_B⁴ (~ωD)³T³

◦ k_BT ~ω_D, d.h.,x1; dann ist D(x)∼1 und weiters

E =E0+ 3NkBT CV = 3NkB