6. Ideale Fermi-Systeme

(1)

6. Ideale Fermi-Systeme

1

6.1 Ideales Fermi-Gas

(2)

6.1 Ideales Fermi-Gas

N Teilchen in einem Volumen V = L

³

, periodische Randbedingungen H ˆ = ∑

^N

i=1

H ˆ

i

Einteilchen-Hamilton-Operator H ˆ

i

=

_2m¹

ˆ p

²_i

, i = 1, ⋯ , N Einteilchen Eigenfunktionen (in der Ortsdarstellung)

Ψ

_i

( r ) = Ψ

_k,m_s

( r ) = 1

√ V e

^ikr

mit m

s

= − s, ⋯ , s

Sei k =

^2π_L

( n

_x

, n

_y

, n

_z

) mit n

_α

∈ Z und α = x, y , z

dann beschreibt iˆ =[ k, m

_s

] ˆ = [( n

_x

, n

_y

, n

_z

) , m

_s

] Einteilchenzustand Einteilcheneigenwerte

_i

= h ̵

²

k

²

2m

(3)

Thermodynamik (Version 1) J = − k

B

T ∑

i

ln ( 1 + exp [− β (

_i

− µ )])

⟨ N ⟩

g

= ∑

i

1 exp [ β (

i

− µ )]+ 1 n

_i

= ( exp [ β (

_i

− µ )]+ 1 )

⁻¹

⟨ E ⟩

g

= ∑

i

_i

n

_i

= ∑

i

_i

exp [ β (

_i

− µ )]+ 1 Kontinuumslimit:

∑

ms

⋯ ⇒ g = 2s + 1

∑

k≙{nx,ny,nz}

⋯ ⇒ ( L 2π )

³

∫

R

d k ⋯ = V 8π

³

4π 1

2 ( 2m h ̵

²

)

^3/2

∫

∞ 0

d √

⋯

(4)

Thermodynamik (Version 2)

J = −PV = − 2 3

Vm

^3/2

√ 2π

²

h ̵

³

g ∫

∞

0

d

^3/2

exp [ β ( − µ )]+ 1

= −gV k

B

T

Λ

³

f

_5/2

(z ) = −g ∫

∞

0

d D()f ˆ

FD

()

⟨ N ⟩

g

= V 4π

²

( 2m

h ̵

²

)

^3/2

g ∫

∞

0

d

^1/2

exp [ β ( − µ )]+ 1

= g V

Λ

³

f

_3/2

( z ) = g ∫

∞

0

d D( ) f

_FD

( )

⟨ E ⟩

g

= Vm

^3/2

√ 2π

²

h ̵

³

g ∫

∞

0

d

^3/2

exp [ β ( − µ )]+ 1

= 3

2 gV k

_B

T

Λ

³

f

_5/2

( z ) = g ∫

∞

0

d D( ) f

_FD

( )

(5)

mit (vergleiche Formelsammlung) f

ν

( z ) = 1

Γ(ν) ∫

∞

0

dx x

^ν−1

e

^x

z

⁻¹

+ 1 und mit der Zustandsdichte D( )

D( ) = V 4π

²

( 2m

h ̵

²

)

^3/2

√ Bemerkungen

D( ) wie bei Bose-Teilchen

○ thermische Zustandsgleichung P = P ( T , ⟨ N ⟩

g

)

○ kalorische Zustandsgleichung ⟨ E ⟩

g

= ⟨ E ⟩

g

( T , ⟨ N ⟩

g

) durch Eliminieren von z aus der Gleichung f¨ ur ⟨ N ⟩

g

und Einsetzen in die Gleichung f¨ ur

⟨ E ⟩

g

(6)

0 0.5 1 1.5 2

-2 -1 0 1 2 3

Verteilungsfunktionen

FD MB BE

⟨ N

_i

⟩ =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎩

1

e^x−1

BE

1

e^x

MB

1

e^x+1

FD

⟨N

_i

⟩(x )

x =

_k^ε−µ

BT

(7)

(a) Grenzwert hoher Temperaturen

Ist T groß, dann gilt (ohne Beweis) µ → −∞ ;

somit ist z = exp [ βµ ] ≪ 1 und es gilt (Rechnungen analog zu den Bose-Teilchen)

PV ∼ ⟨N⟩

g

k

B

T (1+ Λ

³

2

^5/2

1 g

⟨ N ⟩

g

V )

daher durch Antisymmetrisieren erfolgt eine Erh¨ ohung des Drucks im Vergleich zum idealen Gas, die wiederum einer Abstoßung der

Teilchen entspricht (b) absoluter Nullpunkt

Grundzustand: niedrigste Einteilchenzust¨ ande sind einfach besetzt

⇒ jeder k-Wert tritt g -fach auf

(8)

T→0

lim f

FD

() = Θ(µ − ) Stufenfunktion

µ ( T = 0 ) =

F

heißt Fermi-Energie, T

F

=

_k¹_F

F

Fermi-Temperatur Bestimmung von

_F

N = g ∫

₀^F

d D() ⇒

F

= ( 6π

²

g )

2/3

h ̵

²

2m ρ

^2/3

mit ρ = ⟨ N ⟩

g

V

weiters:

P ( T = 0 ) = 2 5 ( 6π

²

g )

3/2

̵ h

²

2m ρ

^5/3

Nullpunktsdruck

⟨ E ⟩

g

( T = 0 ) = 3 5

F

⟨ N ⟩

g

somit

PV = 2

3 E

(9)

Entartungsdruck des Fermigases bei T → 0

Bose- (

⁷

Li; T

_C

= 540 nK) und Fermi- (

⁶

Li) Gas: Bose-Gas kontrahiert, Fermi-Gas ver¨ andert auf Grund des Entartungsdrucks Form bei T < T

_F

nicht. Elliptische Form des Gemisches auf Grund des Fallenpotentials.

(Quelle: Science 2001)

(10)

(c) 0 < T ≪ T

_F

(starke Entartung) D( ) = V

4π

²

( 2m h ̵

²

)

^3/2

√

= A √

⟨ N ⟩

g

= g A ∫

∞ 0

√ ε ⋅ f

_FD

d ε

⟨ E ⟩

g

= g A ∫

∞

0

ε

^3/2

⋅ f

_FD

d ε Betrachte allgemein

I[g ] = ∫

^∞

−∞

g (ε)f

FD

dε = G (ε)f

FD

∣

^∞

−∞

− ∫

^∞

−∞

G (ε)f

_FD^′

dε mit

G ( ε ) = ∫

_−∞^ε

g ( x ) dx

Erster Term verschwindet weil G (−∞) = 0, f

_FD

(∞) = 0.

(11)

f

_FD^′

( ε ) ≠ 0 nur in einem kleinen Bereich von ∼ k

B

T um µ. Daher kann man G ( ε ) um ε = µ entwickeln!

G (ε) ≈ G (µ) + (ε − µ)g (µ) + 1

2 (ε − µ)

²

g

^′

(µ) + . . . somit

I[g ] = − ∫

^∞

−∞

[G (µ) + (ε − µ)g (µ) + 1

2 (ε − µ)

²

g

^′

(µ) + . . .] f

_FD^′

dε

= G ( µ ) I

₀

+ ( k

_B

T ) g ( µ ) I

₁

+ 1

2 ( k

_B

T )

²

g

^′

( µ ) I

₂

+ . . . mit der Definition

I

_k

= − ∫

_−∞^∞

dxx

^k

f

_FD^′

( x ) = ⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪ ⎪⎩

0 k ungerade

1 k = 0

π²

3

k = 2

(12)

wir erhalten die Sommerfeld-Entwicklung

∫

∞

−∞

g ( ε ) 1

e

^β(ε−µ)

+ 1 dε ≈ ∫

_−∞^µ

g ( ε ) dε + π

²

6 ( k

_B

T )

²

g

^′

( µ ) + O (( k

_B

T )

⁴

)

⟨ N ⟩

g

= 2

3 gAµ

^3/2

[ 1 + π

²

8 ( 1

βµ )

²

+ ⋯]

⟨ E ⟩

g

= 2

5 gAµ

^5/2

[ 1 + 5π

²

8 ( 1

βµ )

²

+ ⋯]

wegen

⟨ N ⟩

g

= g ∫

₀^F

d D( ) = g 2 3 A

^3/2_F

folgt aus der Reihendarstellung f¨ ur ⟨ N ⟩

g

^3/2_F

= µ

^3/2

[ 1 + π

²

8 ( 1

βµ )

²

+ ⋯] ∼ µ

^3/2

⎡⎢ ⎢⎢

⎢⎢ ⎢⎢

⎢⎢ ⎣ 1 + π

²

8 ⎛ ⎜⎜

⎜⎜ ⎜

⎝ 1 β

F

=T/T

±

F

⎞ ⎟⎟

⎟⎟ ⎟

⎠

2

⎤⎥

⎥⎥ ⎥⎥

⎦

(13)

also

µ ∼

F

[ 1 + π

²

8 ( 1

β

_F

)

²

]

−2/3

∼

F

⎡⎢ ⎢⎢

⎢⎣ 1 + (− 2 3 ) π

²

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 8

−^π

2 12

( 1 β

_F

)

²

⎤⎥

⎥⎥ ⎥⎦

aus der Reihendarstellung f¨ ur ⟨ E ⟩

g

folgt

⟨ E ⟩

g

= g 2

5 Aµ

^5/2

[ 1 + 5π

²

8 ( 1

βµ )

²

+ ⋯]

∼ g 2 5 (⟨ N ⟩

g

3 2

1 g

^−3/2_F

) µ

^5/2

[ 1 + 5π

²

8 ( 1

βµ )

²

]

= 3 5 ⟨ N ⟩

g

µ

^5/2

^3/2_F

[ 1 + 5π

²

8 ( 1

βµ )

²

]

∼ 3

5 ⟨ N ⟩

g

_F

[ 1 + 5π

²

12 ( 1

β

_F

)

²

] mit 1 β

_F

= T

T

_F

(14)

analog

P ∼ 2 5 ( 6π

²

g )

3/2

h ̵

²

2m ( ⟨ N ⟩

g

V )

5/3

[ 1 + 5π

²

12 ( 1

β

_F

)

²

]

= P ( T = 0 ) [ 1 + 5π

²

12 ( 1

β

_F

)

²

] d.h., es erfolgt eine Druckerh¨ ohung

somit

C

_V

= ( ∂E

∂T )

V

= ⟨ N ⟩

g

k

_B

π

²

2 k

_B

_F

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

γ

T ∝ T

in kristallinen Metallen gilt somit

C

_V^ges

= C

_V^e⁻

+ C

_V^Phononen

∼ γT + C T

³

γ .... Sommerfeldkonstante