Universit¨ at Siegen

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Logik II SS 2020

Ubungsblatt 7 ¨

Aufgabe 1

Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob ( N , ≤) | = ∃x∀y(x ≤ y) gilt, indem Sie den Satz von Khoussainov und Nerode verwenden.

L¨ osung

Auf ¨ Ubungsblatt 5, Aufgabe 1. a) hatten wir gezeigt, dass ( N , ≤) isomorph zu der folgenden, automatischen Struktur ist: ({a}

, ≤

) mit a

≤

a

genau dann, wenn i ≤ j. Dabei ist

1 2

(a, a) (#, a)

(#, a)

ein 2-Bandautomat f¨ ur ≤

.

Als erstes wandeln wir die Formel ∃x∀y(x ≤

y) so um, dass kein ∀-Quantor vorkommt, da dieser im Beweis zum Satz von Khoussainov und Nerode nicht vorkommt und mit Hilfe der Negation und des ∃-Quantors ausgedr¨ uckt werden kann. Es gilt

∃x∀y(x ≤

y) ≡ ∃x¬∃y¬(x ≤

y).

Sei nun F = ∃x¬∃y¬(x ≤

y). Wir beginnen mit der Teilformel F

= x ≤

y, welche im Fall 1 (Folie 67) aus dem Beweis zum Satz von Khoussainov und Nerode behandelt wird.

Das bedeutet, dass wir einen synchronen 2-Bandautomen B

konstruieren, so dass K(B

) = {(w

, w

) ∈ {a}

× {a}

| w

≤

w

}

In diesem Fall sind wir bereits fertig, da der oben gezeichnete 2-Bandautomat genau diese Sprache erkennt. Beachten Sie, dass hier nichts zu tun ist, weil alle Variablen von F bereits in F

frei vorkommen und wir die Reihenfolge der Variablen so annehmen, wie Sie auch in F

auftritt - daher ist der Homomorphismus aus Fall 1 auf Folie 67 die Identit¨ atsfunktion.

Als n¨ achstes kommt die Teilformel F

= ¬F

= ¬(x ≤

y). Entsprechend dem Fall 3 (Folie 68) suchen wir einen 2-Bandautomaten B

mit

L(B

) = {w

⊗ w

| w

, w

∈ {a}

} \ L(B

).

Entsprechend suchen wir einen 2-Bandautomaten B

, so dass K(B

) = {(a

, a

) | n > m}

gilt. Dies realisiert der folgende Automat:

1

1 2

(a, a) (a,#)

(a,#)

Als n¨ achstes kommt die Teilformel F

= ∃yF

= ∃y¬(x ≤

y). Diese Situation entspricht Fall 5 (Folie 69). Sei f so, dass f (w

⊗ w

) = w

(siehe Folie 69). Wir suchen einen Automaten B

mit

L(B

) = f(L(B

)).

Das bedeutet, dass die zweite Komponente wird einfach ignoriert werden kann:

1 2

a a

a

Beachten Sie, dass dieser nicht-deterministische Automat die gleiche Sprache akzeptiert wie der folgende deterministische Automat:

1 2

a a

Als n¨ achstes betrachten wir die Teilformel F

= ¬F

= ¬∃y¬(x ≤

y), die wiederum Fall 3 (Folie 68) entspricht. Es ist leicht zu sehen, dass das Komplement von L(B

) nur das leere Wort ε enth¨ alt. Von daher ist B

der folgende Automat, den man auch erh¨ alt in dem man die Endzust¨ ande und Nicht-Endzust¨ ande im zuletzt dargestellten deterministischen Automat vertauscht:

1 2

a a

Die Formel F hat die gew¨ unschte Form F = ∃xF

(siehe Folie 70). Nun gilt ({a}

, ≤

) | = F genau dann wenn L(B

) 6= ∅. Wie wir bereits gesehen haben ist L(B

) = {ε} und somit ist F ∈ Th( N , ≤).

2

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass Th( C , +, ·) entscheidbar ist.

L¨ osung

Man kann Th( C , +, ·) mit Hilfe von Th( R , +, ·) entscheiden:

Dazu wandeln wir eine Formel F , f¨ ur die wir pr¨ ufen wollen ob F ∈ Th( C , +, ·) gilt, in eine Formel F

um und pr¨ ufen stattdessen F

∈ Th( R , +, ·). Es gilt dann F ∈ Th( C , +, ·) genau dann wenn F

∈ Th( R , +, ·).

Die einfache Idee dahinter ist, dass wir eine komplexe Zahl eindeutig durch zwei reelle Zahlen beschreiben k¨ onnen, n¨ amlich den Realteil un den Imagin¨ arteil der komplexen Zahl.

Dementsprechend ersetzen wir jede Variable x in F durch zwei neue Variablen x

, x

in F

, wobei x

den Realteil und x

den Imagin¨ arteil von x repr¨ asentiert. Entsprechend ¨ ubersetzt man Teilformeln der Form ∃xG zu ∃x

∃x

G und ∀xG zu ∀x

∀x

G. Die Rechenregeln ergeben sich entsprechend: Man ¨ ubersetzt x + y = z zu

(x

+ y

= z

) ∧ (x

+ y

= z

) und x · y = z zu

(x

y

− x

y

= z

) ∧ (x

y

+ x

y

= z

).

Diese F¨ alle gen¨ ugen, da Th( R , +, ·)

entscheidbar ist genau dann, wenn Th( R , +, ·) ent- scheidbar ist, und ebenso Th( C , +, ·)

entscheidbar ist genau dann, wenn Th( C , +, ·) entscheidbar ist.

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