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Zykloiden (Radkurven)
Zykloide und Trochoide
Eine Zykloide ist eine Kurve, die ein Peripheriepunkt eines Kreises (Punkt auf der Kreis- linie) mit Radius a beschreibt, wenn der Kreis längs einer Geraden abrollt ohne zu gleiten.
Die allgemeine Parameterdarstellung lautet:
x t( )=a t b sin t ( )
und
y t( ) =a b cos t( ) mit t, a, b IR und a0b0.
Das Verhältnis λ b
= a wird Übersetzung genannt.
Gilt λ = 1
,
spricht man von einer gewöhnlichen (spitzen) Zykloide.Verlängerte Zykloiden ( λ > 1 ) und verkürzte Zykloiden ( λ < 1 ) (Trochoiden) werden von einem Punkt beschrieben, der sich außerhalb oder innerhalb eines Kreises auf einer vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Speiche befindet.
Beispiel 1: Gewöhnliche Zykloide
Radius des abrollenden Kreises: a 2 Übersetzung: λ=1, also a=b Parameterdarstellung: x t( ) a t a sin t ( ) ; y t( ) aa cos t ( ) ; Spitzen: ( k 2 πa / 0) mit k ∈ Z.
Scheitelpunkte: ( 2 k( 1)πa / 2 a ) mit k ∈ Z.
Abrollbewegung:
Definitionen
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2 2 4 6
Gewöhnliche Zykloide
x-Achse
y-Achse
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Beispiel 2: Verkürzte Zykloide (Trochoide)
Radius des abrollenden Kreises: a 2; Radius des Peripheriepunktes: b 1 Parameterdarstellung: x t( ) a t b sin t ( ) ; y t( ) ab cos t ( ) ; t ∈ IR.
Abrollbewegung:
Definitionen
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2 2 4 6
Verkürzte Zykloide
x-Achse
y-Achse
Beispiel 3: Verlängerte Zykloide (Trochoide)
Radius des abrollenden Kreises: a 2; Radius des Peripheriepunktes: b 3 Parameterdarstellung: x t( ) a t b sin t ( ) ; y t( ) ab cos t ( ) ; mit t ∈ IR.
Abrollbewegung:
Definitionen
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2 2 4 6
Verlängerte Zykloide
x-Achse
y-Achse
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