Gram-Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren gegeben: Folgende Vektoren des R3:
~x=
1 2 0
~y=
0 2 1
~z =
2 0
−1
w~ =
1
−2 0
gesucht: Eine Orthonormalbasis des von diesen Vektoren aufgespannten Raum- es.
1. ~x ist der 1. Richtungsvektor (v~1). ||~x||=√
1 + 4 + 0 = √ 5.
Erste normierter Richtungsvektor u~1 = √15
1 2 0
2. Berechnung des n¨achsten Richtungsvektorsv~2 durch Einbeziehung von
~
y nach der Formel
~
v2 =~y− hu~1, ~yi ·u~1
NR: hu~1, ~yi= √15(0 + 4 + 0) = √45
~ v2 =
0 2 1
− 4
√5 · 1
√5
1 2 0
=
0 2 1
−4 5
1 2 0
= 1 5
−4 2 5
Mit||v~2||= 45√
16 + 4 + 25 =. . .= √35 ergibt sich der zweite normierte Richtungsvektor u~2 = ||v~1
2||v~2 = √5·53
−4 2 5
= 3√15
−4 2 5
3. Berechnung des n¨achsten Richtungsvektorsv~3 durch Einbeziehung von
~
z nach der Formel
~
v3 =~z− hu~1, ~zi ·u~1− hu~2, ~zi ·u~2
NR: hu~1, ~zi= √25, hu~2, ~zi= −3√135
~ v3 =
2 0
−1
− 2
√5· 1
√5
1 2 0
+ 13 3√
5· 1 3√
5
−4 2 5
=. . .= 2 9
2
−1 2
Wir begn¨ugen uns damit, den Richtungsvektor v~˜3 =
2
−1 2
zu nor- mieren, um damit u~3 zu erhalten:
||v~˜3||=√
4 + 1 + 4 = 3. u~3 = 13
2
−1 2
4. Die Einbeziehung des 4. Vektors w~ bringt keinen weiteren Beitrag zur Orthonormalbasis, wie folgende Rechnung zeigt:
~
v4 =w~ − hu~1, ~wi ·u~1− hu~2, ~wi ·u~2− hu~3, ~wi ·u~3 =. . .=~0 L¨osung: Die Vektoren u~1,u~2 und u~3 bilden damit die gesuchte Basis.
